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专题16 立体几何选填题-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）
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2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题16 立体几何选填题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·第9题) 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，又，则，
所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以．
故选：C．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的展开图问题
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第9题
2．(2022年全国甲卷理科·第7题) 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则 ( )
A． B．与平面所成的角为
C． D．与平面所成的角为
【答案】D
解析：
如图所示：
不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．
对于A，，，，A错误；
对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；
对于C，，，，C错误；
对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．
故选：D．
【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第7题
3．(2022年全国甲卷理科·第4题) 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为 ( )
( )
A. 8B．12C．16D．20
【答案】B
解析：由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积．
故选：B．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第4题
4．(2022年全国乙卷理科·第9题) 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 ( )
AB．C．D．
【答案】C
解析：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，故选：C
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第9题
5．(2022年全国乙卷理科·第7题) 在正方体中，E，F分别为中点，则 ( )
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
解析：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A．
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A．
【题目栏目】
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第7题
6．(2022新高考全国II卷·第7题) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2022新高考全国II卷·第7题
7．(2022新高考全国I卷·第8题) 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析: ∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是． 故选：C．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2022新高考全国I卷·第8题
8．(2022新高考全国I卷·第4题) 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为() ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析: 依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2022新高考全国I卷·第4题
9．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第5题) 正四棱台上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析:作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积,故选D．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第5题
10．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第4题) 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为(单位：)，则S占地球表面积的百分比约为 ( )
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
解析:由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
,故选C．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第4题
11．(2021年新高考Ⅰ卷·第3题) 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析:设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得,故选B．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的结构特征
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第3题
12．(2020年新高考I卷（山东卷）·第4题) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 ( )
A20°B．40° ( )
C．50° D．90°
【答案】B
解析：画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线．是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得．．
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为．故选：B
【题目栏目】立体几何\空间角\直线与平面所成的角
【题目来源】2020年新高考I卷（山东卷）·第4题
13．(2021年高考全国乙卷理科·第5题) 在正方体中，P为中点，则直线与所成的角为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以．
故选：D
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第5题
14．(2021年高考全国甲卷理科·第11题) 已如A． B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第11题
15．(2021年高考全国甲卷理科·第6题) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为
故选：D
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第6题
16．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第10题) 已知为球球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积．
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第10题
17．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第3题) 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得(负值舍去)．
故选：C．
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的结构特征
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第3题
18．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题) 已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 ( )
A． B． C．1 D．
【答案】C
解析：
设球的半径为，则，解得：．
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离．
故选：C．
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题
19．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第7题) 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：根据三视图，画出多面体立体图形，
上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,
∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为．
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第7题
20．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题) 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 ( )
( )
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
【答案】C
解析：根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的表面积
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题
21．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题) 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
( )
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】
取中点，如图连接辅助线，在中，为中点，为中点，所以，所以，共面相交，选项C，D错误．平面平面，，平面，又,∴平面，从而，．所以与均为直角三角形．不妨设正方形边长，易知，所以，,，故选B．
【点评】本题比较具有综合性，既考查了面面垂直、线面垂直等线面关系，还考查了三角形中的一些计算问题，是一个比较经典的题目．
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\平面的基本性质
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题
22．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第7题) 设、为两个平面，则的充要条件是 ( )
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B.
【点评】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
【题目栏目】立体几何\线面、面面平行的判定与性质\平面与平面平行的判定与性质
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第7题
23．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第12题) 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：三棱锥为正三棱锥，取中点，连接，则，
，可得平面，从而，又，可得，
又，所以平面，从而，从而正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，可将该三棱锥还原成一个以为棱的正方体，正方体的体对角线即为球的直径，即，所以球的体积为．
【题目栏目】立体几何\球的问题\面面垂模型的外接球问题
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第12题
24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第10题) 设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：设的边长为，则，此时外接圆的半径为，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时，故选B．
点评：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由为三角形的重心，计算得到，再由勾股定理得到，进而得到结果，属于较难题型．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第10题
25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第3题) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体．则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )
( )
【答案】A
解析：依题意，结合三视图的知识易知，带卯眼的木构件的俯视图可以是A图．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第3题
26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第9题) 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，所以
因为
所以异面直线与所成角的余弦值为，故选C．
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第9题
27．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第12题) 已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面而积的最大值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析一】根据题意，平面与正方体对角线垂直，记正方体为不妨设平面与垂直，且交于点．平面与平面与分别交于．正方体中心为,则容易证明当从运动到时，截面为三角形且周长逐渐增大:当从运动到时，截面为六边形且周长不变;当从运动到时，截面为三角形且周长还渐减小。我们熟知周长一定的多边形中，正多边形的面积最大，因此当运动到点时，截面为边长为的正大边形，此时截面面积最大，为
【解析二】由题意可知，该平面与在正方体的截面为对边平行的六边形，如图所示，则截面面积为
所以当时，
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\空间几何体的截面问题
【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第12题
28．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第7题) 某圆柱的高为，底面周长为,其三视图如右圈，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为．圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度：，故选B．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的展开图问题
【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第7题
29．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第7题) 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,则表面中含梯形的面积之和为,故选B．
【考点】简单几何体的三视图
【点评】三视图往往与几何体的体积、表面积及空间线面关系、角、距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第7题
30．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题) 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】法一：如图，画出圆柱的轴截面
，所以，那么圆柱的体积是，故选B．
法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为
根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的体积为，故选B．
【考点】圆柱的体积公式
【点评】(1)求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
【题目栏目】立体几何\球的问题\找球心模型的外接球问题
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题
31．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题) 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力
【解析】解法一：常规解法
在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑
﹑﹑，并相互连接．
由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面
直线和所成的夹角为或其补角，
通过几何关系求得，，
，利用余弦定理可求得异面直线
和所成的夹角余弦值为．
解法二：补形
通过补形之后可知：或其补角为异面
直线和所成的角，通过几何关系可知：
，，，由勾股定理
或余弦定理可得异面直线和所成的
夹角余弦值为．
解法三：建系
建立如左图的空间直角坐标系，，，，
∴ ，
∴
解法四：投影平移-三垂线定理
设异面直线和所成的夹角为
利用三垂线定理可知：
异面直线和所成的夹角余弦值为．
【知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方
法大体有两个方向：1．几何法；2．建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算
量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍．
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题
32．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题) 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若,,,,则的最大值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使球的体积最大,必须球的半径最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值,此时球的体积为,故选B.
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题
33．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第9题) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )
A． B． C．90 D．81
【答案】B
【解析】由三视图知该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,如图
所以该几何体的表面积为,故选B.
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第9题
34．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】还原几何体后是一个高为4底面半径为2的圆柱与底面半径为2高为 的圆锥的组合体
而圆锥的侧面积为：，而圆柱的侧面积为：，圆柱的底面积为：
所以几何体的表面积为：，故选C
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题
35．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第11题) 平面过正方体的顶点，平面CB1D1，平面，平面，则所成角的正弦值为 ( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A【解析】如图所示：
∵，∴若设平面平面，则
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴，故 同理可得：
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而(均为面对交线)，因此，即．
故选A．
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第11题
36．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是 ( )
( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A【解析】由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题
37．(2015高考数学新课标2理科·第9题) 已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
【题目栏目】立体几何\球的问题\找球心模型的外接球问题
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第9题
38．(2015高考数学新课标2理科·第6题) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．
考点：三视图．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第6题
39．(2015高考数学新课标1理科·第11题) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则=
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B．
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第11题
40．(2015高考数学新课标1理科·第6题) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
( )
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【答案】B
解析：设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1．62≈22，故选B．
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第6题
41．(2014高考数学课标2理科·第11题) 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，
则BM与AN所成的角的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：分别以轴，建立空间直角坐标系，令，则，
，故选C。
考点：(1)异面直线所成的角；(2)利用空间向量求线线角。
难度：C
备注：一题多解
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第11题
42．(2014高考数学课标2理科·第6题) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由三视图知该零件由两个半径分别为3,2的圆柱构成，用原来圆柱的体积减去现在零件的体积得到削掉部分的体积：利用体积公式可得答案为C。
考点：(1)三视图；(2)圆柱的体积计算。
难度：B
备注：应用题
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第6题
43．(2014高考数学课标1理科·第12题) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为 ( )
( )
A． B． C．6 D．4
【答案】C
【解析】:如图所示,原几何体为三棱锥,
其中,,故最长的棱的长度为,
选C．
考点:(1)几何体的三视图(2)空间几何体的直观图(3)数形结合的思想
难度:C
备注:典型题
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2014高考数学课标1理科·第12题
44．(2013高考数学新课标2理科·第7题) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为 ( )
( )
【答案】A
解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以平面为投影面，则得到正视图，所以选A．
考点：(1)9．1．2几何体的三视图；(2)9．6．1空间直角坐标系的运算
难度： B
备注：高频考点
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第7题
45．(2013高考数学新课标2理科·第4题) 已知为异面直线，平面，平面．直线满足，，则 ( )
A．且 B．且
C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于
【答案】D
解析：利用空间直线平面的平行与垂直的判定与性质定理可得答案为D
考点：(1)9．5．1直线与平面垂直的判定与性质；(2)9．5．2平面与平面垂直的判定与性质
(3)9．4．1直线与平面平行的判定与性质；(4)9．3．2空间直线的位置关系
难度：A
备注：高频考点、易错题。
【题目栏目】立体几何\线面、面面垂直的判定与性质\平面与平面垂直的判定与性质
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第4题
46．(2013高考数学新课标1理科·第8题) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】Ａ
解析：将三视图还原成直观图为：
由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选A．
考点:(1)9．2．3由三视图求几何体的表面积、体积．
难度：Ｂ
备注：高频考点
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第8题
47．(2013高考数学新课标1理科·第6题) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
【答案】Ａ
解析：设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为=，故选A．
考点: (1)9．2．2几何体的体积．
难度：Ａ
备注：高频考点
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第6题
二、多选题
48．(2022新高考全国II卷·第11题) 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则 ( )
( )
A． B．
C． D．
【答案】CD
解析：
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确． 故选：CD．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2022新高考全国II卷·第11题
49．(2022新高考全国I卷·第9题) 已知正方体，则 ( )
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
解析： 如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确． 故选：ABD
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\空间中点线面的位置关系
【题目来源】2022新高考全国I卷·第9题
50．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题) 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
解析:设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接，则，
故(或其补角)为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误．
对于B，如图(2)所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确．
对于C，如图(3)，连接，则，由B的判断可得，故，故C正确．
对于D，如图(4)，取的中点，的中点，连接，则，
因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，故不垂直，故D错误．故选BC
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\空间中点线面的位置关系
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题
51．(2021年新高考Ⅰ卷·第12题) 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则 ( )
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】BD
解析:
易知，点在矩形内部(含边界)．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确,故选BD．
【题目栏目】立体几何\空间向量及其运算\空间向量的运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第12题
三、填空题
52．(2020年新高考I卷（山东卷）·第16题) 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】．
解析：如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2020年新高考I卷（山东卷）·第16题
53．(2020新高考II卷（海南卷）·第13题) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________
【答案】
解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点
所以
故答案为：
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2020新高考II卷（海南卷）·第13题
54．(2021年高考全国乙卷理科·第16题) 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可)．
【答案】③④
解析：选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥．
故答案为：③④．
【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第16题
55．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题) 设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①②③④
【答案】①③④
解析：对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题．
综上可知，，为真命题，，为假命题，
真命题，为假命题，
为真命题，为真命题．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题．
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\空间中点线面的位置关系
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题
56．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题) 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：．
故答案为：．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
【题目栏目】立体几何\球的问题\空间几何体的内切球问题
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题
57．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题) 学生到工厂劳动实践，利用D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________．
【答案】118.8
【解析】由题意得，四棱锥的底面积为，其高为点到底面的距离为，则此四棱锥的体积为．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．
【点评】此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题
58．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第16题) 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 (本题第一空分，第二空分).
【答案】共有个面；棱长为.
【解析】由图可知第一层与第三层各有个面，计个面，第二层共有个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，∵，
∴，∴，即该半正多面体棱长为．
【点评】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．
本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的直观图
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第16题
59．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题) 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若 的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
解析：因为母线、所成角的余弦值为，所以母线、所成角的正弦值为．设母线长为，则的面积为，解得，又与圆锥底面所成角为45°，可得底面半径，所以该圆锥的侧面积是．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的表面积
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题16 立体几何选填题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·第9题) 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，又，则，
所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以．
故选：C．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的展开图问题
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第9题
2．(2022年全国甲卷理科·第7题) 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则 ( )
A． B．与平面所成的角为
C． D．与平面所成的角为
【答案】D
解析：
如图所示：
不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．
对于A，，，，A错误；
对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；
对于C，，，，C错误；
对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．
故选：D．
【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第7题
3．(2022年全国甲卷理科·第4题) 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为 ( )
( )
A. 8B．12C．16D．20
【答案】B
解析：由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积．
故选：B．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第4题
4．(2022年全国乙卷理科·第9题) 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 ( )
AB．C．D．
【答案】C
解析：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，故选：C
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第9题
5．(2022年全国乙卷理科·第7题) 在正方体中，E，F分别为中点，则 ( )
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
解析：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A．
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A．
【题目栏目】
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第7题
6．(2022新高考全国II卷·第7题) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2022新高考全国II卷·第7题
7．(2022新高考全国I卷·第8题) 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析: ∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是． 故选：C．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2022新高考全国I卷·第8题
8．(2022新高考全国I卷·第4题) 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为() ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析: 依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2022新高考全国I卷·第4题
9．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第5题) 正四棱台上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析:作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积,故选D．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第5题
10．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第4题) 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为(单位：)，则S占地球表面积的百分比约为 ( )
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
解析:由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
,故选C．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第4题
11．(2021年新高考Ⅰ卷·第3题) 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析:设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得,故选B．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的结构特征
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第3题
12．(2020年新高考I卷（山东卷）·第4题) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 ( )
A20°B．40° ( )
C．50° D．90°
【答案】B
解析：画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线．是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得．．
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为．故选：B
【题目栏目】立体几何\空间角\直线与平面所成的角
【题目来源】2020年新高考I卷（山东卷）·第4题
13．(2021年高考全国乙卷理科·第5题) 在正方体中，P为中点，则直线与所成的角为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以．
故选：D
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第5题
14．(2021年高考全国甲卷理科·第11题) 已如A． B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第11题
15．(2021年高考全国甲卷理科·第6题) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为
故选：D
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第6题
16．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第10题) 已知为球球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积．
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第10题
17．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第3题) 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得(负值舍去)．
故选：C．
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的结构特征
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第3题
18．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题) 已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 ( )
A． B． C．1 D．
【答案】C
解析：
设球的半径为，则，解得：．
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离．
故选：C．
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题
19．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第7题) 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：根据三视图，画出多面体立体图形，
上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,
∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为．
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第7题
20．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题) 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 ( )
( )
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
【答案】C
解析：根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的表面积
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题
21．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题) 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
( )
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】
取中点，如图连接辅助线，在中，为中点，为中点，所以，所以，共面相交，选项C，D错误．平面平面，，平面，又,∴平面，从而，．所以与均为直角三角形．不妨设正方形边长，易知，所以，,，故选B．
【点评】本题比较具有综合性，既考查了面面垂直、线面垂直等线面关系，还考查了三角形中的一些计算问题，是一个比较经典的题目．
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\平面的基本性质
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题
22．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第7题) 设、为两个平面，则的充要条件是 ( )
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B.
【点评】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
【题目栏目】立体几何\线面、面面平行的判定与性质\平面与平面平行的判定与性质
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第7题
23．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第12题) 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：三棱锥为正三棱锥，取中点，连接，则，
，可得平面，从而，又，可得，
又，所以平面，从而，从而正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，可将该三棱锥还原成一个以为棱的正方体，正方体的体对角线即为球的直径，即，所以球的体积为．
【题目栏目】立体几何\球的问题\面面垂模型的外接球问题
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第12题
24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第10题) 设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：设的边长为，则，此时外接圆的半径为，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时，故选B．
点评：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由为三角形的重心，计算得到，再由勾股定理得到，进而得到结果，属于较难题型．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第10题
25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第3题) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体．则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )
( )
【答案】A
解析：依题意，结合三视图的知识易知，带卯眼的木构件的俯视图可以是A图．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第3题
26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第9题) 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，所以
因为
所以异面直线与所成角的余弦值为，故选C．
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第9题
27．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第12题) 已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面而积的最大值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析一】根据题意，平面与正方体对角线垂直，记正方体为不妨设平面与垂直，且交于点．平面与平面与分别交于．正方体中心为,则容易证明当从运动到时，截面为三角形且周长逐渐增大:当从运动到时，截面为六边形且周长不变;当从运动到时，截面为三角形且周长还渐减小。我们熟知周长一定的多边形中，正多边形的面积最大，因此当运动到点时，截面为边长为的正大边形，此时截面面积最大，为
【解析二】由题意可知，该平面与在正方体的截面为对边平行的六边形，如图所示，则截面面积为
所以当时，
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\空间几何体的截面问题
【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第12题
28．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第7题) 某圆柱的高为，底面周长为,其三视图如右圈，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为．圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度：，故选B．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的展开图问题
【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第7题
29．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第7题) 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,则表面中含梯形的面积之和为,故选B．
【考点】简单几何体的三视图
【点评】三视图往往与几何体的体积、表面积及空间线面关系、角、距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第7题
30．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题) 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】法一：如图，画出圆柱的轴截面
，所以，那么圆柱的体积是，故选B．
法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为
根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的体积为，故选B．
【考点】圆柱的体积公式
【点评】(1)求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
【题目栏目】立体几何\球的问题\找球心模型的外接球问题
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题
31．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题) 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力
【解析】解法一：常规解法
在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑
﹑﹑，并相互连接．
由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面
直线和所成的夹角为或其补角，
通过几何关系求得，，
，利用余弦定理可求得异面直线
和所成的夹角余弦值为．
解法二：补形
通过补形之后可知：或其补角为异面
直线和所成的角，通过几何关系可知：
，，，由勾股定理
或余弦定理可得异面直线和所成的
夹角余弦值为．
解法三：建系
建立如左图的空间直角坐标系，，，，
∴ ，
∴
解法四：投影平移-三垂线定理
设异面直线和所成的夹角为
利用三垂线定理可知：
异面直线和所成的夹角余弦值为．
【知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方
法大体有两个方向：1．几何法；2．建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算
量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍．
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题
32．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题) 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若,,,,则的最大值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使球的体积最大,必须球的半径最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值,此时球的体积为,故选B.
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题
33．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第9题) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )
A． B． C．90 D．81
【答案】B
【解析】由三视图知该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,如图
所以该几何体的表面积为,故选B.
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第9题
34．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】还原几何体后是一个高为4底面半径为2的圆柱与底面半径为2高为 的圆锥的组合体
而圆锥的侧面积为：，而圆柱的侧面积为：，圆柱的底面积为：
所以几何体的表面积为：，故选C
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题
35．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第11题) 平面过正方体的顶点，平面CB1D1，平面，平面，则所成角的正弦值为 ( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A【解析】如图所示：
∵，∴若设平面平面，则
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴，故 同理可得：
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而(均为面对交线)，因此，即．
故选A．
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第11题
36．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是 ( )
( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A【解析】由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题
37．(2015高考数学新课标2理科·第9题) 已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
【题目栏目】立体几何\球的问题\找球心模型的外接球问题
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第9题
38．(2015高考数学新课标2理科·第6题) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．
考点：三视图．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第6题
39．(2015高考数学新课标1理科·第11题) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则=
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B．
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第11题
40．(2015高考数学新课标1理科·第6题) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
( )
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【答案】B
解析：设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1．62≈22，故选B．
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第6题
41．(2014高考数学课标2理科·第11题) 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，
则BM与AN所成的角的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：分别以轴，建立空间直角坐标系，令，则，
，故选C。
考点：(1)异面直线所成的角；(2)利用空间向量求线线角。
难度：C
备注：一题多解
【题目栏目】立体几何\空间角\异面直线所成的角
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第11题
42．(2014高考数学课标2理科·第6题) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由三视图知该零件由两个半径分别为3,2的圆柱构成，用原来圆柱的体积减去现在零件的体积得到削掉部分的体积：利用体积公式可得答案为C。
考点：(1)三视图；(2)圆柱的体积计算。
难度：B
备注：应用题
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第6题
43．(2014高考数学课标1理科·第12题) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为 ( )
( )
A． B． C．6 D．4
【答案】C
【解析】:如图所示,原几何体为三棱锥,
其中,,故最长的棱的长度为,
选C．
考点:(1)几何体的三视图(2)空间几何体的直观图(3)数形结合的思想
难度:C
备注:典型题
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2014高考数学课标1理科·第12题
44．(2013高考数学新课标2理科·第7题) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为 ( )
( )
【答案】A
解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以平面为投影面，则得到正视图，所以选A．
考点：(1)9．1．2几何体的三视图；(2)9．6．1空间直角坐标系的运算
难度： B
备注：高频考点
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第7题
45．(2013高考数学新课标2理科·第4题) 已知为异面直线，平面，平面．直线满足，，则 ( )
A．且 B．且
C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于
【答案】D
解析：利用空间直线平面的平行与垂直的判定与性质定理可得答案为D
考点：(1)9．5．1直线与平面垂直的判定与性质；(2)9．5．2平面与平面垂直的判定与性质
(3)9．4．1直线与平面平行的判定与性质；(4)9．3．2空间直线的位置关系
难度：A
备注：高频考点、易错题。
【题目栏目】立体几何\线面、面面垂直的判定与性质\平面与平面垂直的判定与性质
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第4题
46．(2013高考数学新课标1理科·第8题) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】Ａ
解析：将三视图还原成直观图为：
由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选A．
考点:(1)9．2．3由三视图求几何体的表面积、体积．
难度：Ｂ
备注：高频考点
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\由三视图求几何体的表面积、体积
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第8题
47．(2013高考数学新课标1理科·第6题) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
【答案】Ａ
解析：设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为=，故选A．
考点: (1)9．2．2几何体的体积．
难度：Ａ
备注：高频考点
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第6题
二、多选题
48．(2022新高考全国II卷·第11题) 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则 ( )
( )
A． B．
C． D．
【答案】CD
解析：
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确． 故选：CD．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2022新高考全国II卷·第11题
49．(2022新高考全国I卷·第9题) 已知正方体，则 ( )
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
解析： 如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确． 故选：ABD
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\空间中点线面的位置关系
【题目来源】2022新高考全国I卷·第9题
50．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题) 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
解析:设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接，则，
故(或其补角)为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误．
对于B，如图(2)所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确．
对于C，如图(3)，连接，则，由B的判断可得，故，故C正确．
对于D，如图(4)，取的中点，的中点，连接，则，
因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，故不垂直，故D错误．故选BC
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\空间中点线面的位置关系
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题
51．(2021年新高考Ⅰ卷·第12题) 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则 ( )
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】BD
解析:
易知，点在矩形内部(含边界)．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确,故选BD．
【题目栏目】立体几何\空间向量及其运算\空间向量的运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第12题
三、填空题
52．(2020年新高考I卷（山东卷）·第16题) 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】．
解析：如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题
【题目来源】2020年新高考I卷（山东卷）·第16题
53．(2020新高考II卷（海南卷）·第13题) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________
【答案】
解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点
所以
故答案为：
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2020新高考II卷（海南卷）·第13题
54．(2021年高考全国乙卷理科·第16题) 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可)．
【答案】③④
解析：选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥．
故答案为：③④．
【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的三视图
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第16题
55．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题) 设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①②③④
【答案】①③④
解析：对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题．
综上可知，，为真命题，，为假命题，
真命题，为假命题，
为真命题，为真命题．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题．
【题目栏目】立体几何\空间点、直线、平面之间的位置关系\空间中点线面的位置关系
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题
56．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题) 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：．
故答案为：．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
【题目栏目】立体几何\球的问题\空间几何体的内切球问题
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题
57．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题) 学生到工厂劳动实践，利用D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________．
【答案】118.8
【解析】由题意得，四棱锥的底面积为，其高为点到底面的距离为，则此四棱锥的体积为．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．
【点评】此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的体积
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题
58．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第16题) 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 (本题第一空分，第二空分).
【答案】共有个面；棱长为.
【解析】由图可知第一层与第三层各有个面，计个面，第二层共有个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，∵，
∴，∴，即该半正多面体棱长为．
【点评】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．
本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的直观图
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第16题
59．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题) 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若 的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
解析：因为母线、所成角的余弦值为，所以母线、所成角的正弦值为．设母线长为，则的面积为，解得，又与圆锥底面所成角为45°，可得底面半径，所以该圆锥的侧面积是．
【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积\空间几何体的表面积
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题
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