陕西省西安市2022届高三下学期第三次质检理科数学试题-

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陕西省西安市2022届高三下学期第三次质检理科数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z对应的点满足方程（       ）

A． B．

C． D．

3．若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（       ）

A．－1 B．1 C．3 D．7

4．已知半径为2的圆经过点（5，12），则其圆心到原点的距离的最小值为（        ）

A．10 B．11 C．12 D．13

5．“0＜λ＜4”是“双曲线的焦点在x轴上”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．如图，在一个正方体中，E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点.平面截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（       ）

A． B． C． D．

7．已知函数满足，，则（       ）

A． B． C． D．

8．小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（       ）

A．第23天 B．第24天 C．第25天 D．第26天

9．袁隆平院士一生致力于杂交水稻的研究，当前我国杂交水稻种植面积超过2.4亿亩，占水稻总种植面积的57%，产量占水稻总产量的65%，以此估算，杂交水稻的单位产量是常规水稻单位产量的（       ）．

A．80% B．110% C．140% D．170%

10．已知数列的通项公式为，记为中第一个七位数字，则（       ）（参考数据：）

A．19 B．20 C．21 D．22

11．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．

12．林老师等概率地从中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从中抽取一个数字，记为Y，已知，其中（，）是的概率，其中，则（       ）

A．3 B．5 C．6 D．8

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．写出一个同时满足下列条件的向量___________.①；②且与的夹角为锐角.

14．函数在点处的切线方程是_________．

15．的展开式中系数为有理数的各项系数之和为________.

16．已知直线，抛物线上一动点到直线l的距离为d，则的最小值是______．

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求B的大小；

(2)若，求的最大值.

18．网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：h）按分组，得到频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．

附：，其中．

19．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点M在线段AB上（包含端点）运动，连接AD.

(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并说明理由.

(2)若，求直线DE与平面EMC所成的角的大小.

20．已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形．

（1）写出椭圆的标准方程；

（2）设点R满足：，．求证：与的面积之比为定值．

21．设函数，.

(1)设l是图象的一条切线，求证：当时，l与坐标轴围成的三角形的面积为定值；

(2)当时，求函数零点的个数.

22．在直角坐标系xOy中，直线l过点，倾斜角为α．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程，并写出l的一个参数方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求cosα．

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最大值为m，正数a，b，c满足，求证：.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

解不等式求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.

【详解】

，解得或，

所以.

，

所以.

所以.

故选：B

2．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用复数模的意义直接计算作答.

【详解】

在复平面内，复数z对应的点为，则，，

因，于是得，

所以z对应的点满足方程是：.

故选：C

3．B

【解析】

【分析】

考查线性规划，画图，找最值，目标函数斜率不存在，找出实数x的最小值即可.

【详解】

画图如下：

目标函数的斜率不存在的竖直直线，所以在 即在处取得最小值，所以.

故选：B.

4．B

【解析】

【分析】

由条件可得圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，然后可得答案.

【详解】

因为半径为2的圆经过点（5，12），

所以圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，

所以圆心到原点的距离的最小值为，

故选：B

5．A

【解析】

【分析】

先根据双曲线的焦点在x轴上得到的范围，进而求得答案.

【详解】

由双曲线的焦点在x轴上可知，.于是“”是“双曲线的焦点在x轴上”的充分不必要条件.

故选：A.

6．D

【解析】

【分析】

根据条件可得平面经过点，然后可得答案.

【详解】

连接

因为E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点

所以，所以平面经过点

所以多面体的正视图为

故选：D

7．B

【解析】

【分析】

利用赋值法，依次求得的值，结合已知条件，求得答案.

【详解】

令 ，则，即，

令 ，则，即，

令 ，则，即，

令 ，则，即，

令 ，则，即，

故选：B

8．B

【解析】

【分析】

由题意可知，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，进而通过等差数列的前n项求和公式建立不等式，解得答案即可.

【详解】

根据题意，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，则，整理得.

设，易知f（n）为递增数列，因为，所以他恰好读完这两本书的时间为第24天.

故选：B.

9．C

【解析】

【分析】

设水稻总产量为a，总种植面积为b，然后根据题意表示出杂交水稻的单位产量和常规水稻的单位产量，相比可得答案

【详解】

设水稻总产量为a，总种植面积为b，则由题意知杂交水稻的单位产量，

常规水稻的单位产量，

所以杂交水稻的单位产量与常规水稻的单位产量之比为．

故选：C

10．B

【解析】

【分析】

由题意有，再解不等式即可求解.

【详解】

若为七位数字，则，所以．所以．

因为，，所以．

故选：B

11．B

【解析】

【分析】

根据已知条件列方程，化简求得，进而求得.

【详解】

设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

依题意，.

故选：B

12．C

【解析】

【分析】

由题设求出各对应值的概率，利用期望的求法求.

【详解】

依题意，，，，，，，，，，，，

所以.

故选：C

13．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据向量的模及向量间的夹角，写出一个满足条件的向量即可.

【详解】

由，可设且，又与的夹角为锐角，

所以，不妨取，则.

故答案为：（答案不唯一）

14．

【解析】

【分析】

求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.

【详解】

由题意，函数，可得，

则且，

所以在点处切线方程是，即．

故答案为：.

15．117

【解析】

【分析】

首先求出二项式展开式的通项，依题意当且仅当，均为整数时展开式的系数为有理数，即可求出，再代入计算可得；

【详解】

解：因为展开式的通项为，则当，均为整数，即或6时，展开式中的系数为有理数，故所求系数之和为.

故答案为：

16．##

【解析】

【分析】

作直线l，抛物线准线且交y轴于A点，根据抛物线定义有，进而判断目标式最小时的位置关系，结合点线距离公式求最小值.

【详解】

如下图示：若直线l，抛物线准线且交y轴于A点，则，，

由抛物线定义知：，则，

所以，要使目标式最小，即最小，

当共线时，又，此时.

故答案为：.

17．(1)；

(2)8.

【解析】

【分析】

（1）由已知条件，结合正弦定理边角关系及三角形内角性质可得，应用和角正弦公式化简求B的大小；

（2）利用余弦定理可得，结合基本不等式求的范围.

(1)

因为，即，

所以，则，

即，

所以，又，即，

所以，又，

所以；

(2)

由（1）及，有，

解得，当且仅当时取等号，

所以的最大值为8.

18．(1)0.03，13.5h；

(2)有

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图各小矩形的面积之和为1求解，再利用平均数的定义求解；

（2）根据列联表求得的值，再与临界值表对照下结论.

(1)

解：因为，

所以，

平均数为；

(2)

因为，

所以有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．

19．(1)点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2，理由见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）依题意可得点O在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，延长EA，FM交于点O，连接OD，再根据三角形全等得到点的位置；

（2）取AE的中点H，连接DH，即可得到平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解；

(1)

解：因为直线平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，

所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，

延长EA，FM交于点O，连接OD，如图所示.

因为，M为AB的中点

所以与全等，

所以，，

故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2，

(2)

解：如图，由已知可得，.又，EA，平面ADE，

所以EF⊥平面ADE，且，平面ABFE，

所以平面ABFE⊥平面ADE，因为，，

所以△ADE为等边三角形，取AE的中点H，连接DH，则，

而平面ABFE⊥平面ADE，平面平面，平面ADE，

所以平面，过点H作直线，以H为坐标原点，以HA，HT，HD分别x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，

所以，，，

设平面EMC的法向量为，

即，取，则，，

所以平面EMC的一个法向量为，

则，

所以直线DE与平面EMC所成的角为.

20．（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据椭圆的定义求出，，即可求出椭圆的标准方程.

（2）直线的斜率分别为，写出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点横坐标坐标，从而求出直线的方程，与椭圆联立求出，面积比即横坐标之比.

【详解】

（1）因为是边长为4的等边三角形，

所以   

所以.

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的斜率分别为，则直线的方程为．

 由直线的方程为．

 将代入，得，

 因为是椭圆上异于点的点，所以．     

 所以 .

 由，所以直线的方程为．

 由 ，得．

 所以．

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.

21．(1)证明见解析；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用导数的几何意义求上任意一点的切线方程，进而求其截距，根据面积公式即可证明结论；

（2）根据零点可得，构造结合导数研究单调性，进而确定其区间值域，并画出函数图象，数形结合法讨论参数a研究零点个数.

(1)

当时，，则，

设上任意一点，切线l斜率为.

过的切线方程为，

令，解得；令，解得.

切线与坐标轴围成的三角形面积为.

所以l与坐标轴围成的三角形的面积为定值；

(2)

显然不是的零点，

所以，

令，且，则，

所以，，

则在上单调递减，在，上单调递增，

在上有极小值；在上，

的图象如下：

由图知：时，零点个数为0；，零点个数为1；时，零点个数为2.

【点睛】

关键点点睛：第二问，应用函数与方程思想，结合导数及函数图象，利用分类讨论研究与的交点个数.

22．(1)，，（t为参数）

(2)

【解析】

【分析】

(1)利用，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线l过点，倾斜角为α的条件，写出其参数方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义表示关系，由此可求cosα．

(1)

因为，，，

所以曲线C的直角坐标方程为．

因为直线l过点，倾斜角为α，所以其参数方程为，（t为参数）．

(2)

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，

，整理得．

设A，B两点对应的参数分别为，，则因为，所以．

所以解得或所以．

23．（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）分别讨论,,时的解析式,进而求解即可；

（2）先将解析式写为分段函数形式,求得的最大值为3,即,再由柯西不等式求证即可.

【详解】

（1）当时,,

由,得,解得,此时；

当时,,

由,得,解得,此时；

当时,,

此时不等式无解,

综上所述,不等式的解集为

（2）证明:由（1）可知,

当时,；

当时,；

当时,,

所以函数的最大值为,则.

由柯西不等式可得,

即,即,

当且仅当时等号成立,

因此.

【点睛】

本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查利用柯西不等式证明不等式.