2021-2022学年内蒙古赤峰市元宝山区第一中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2021-2022学年内蒙古赤峰市元宝山区第一中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．函数的导数记为，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导后代入即可.

【详解】，.

故选：D.

2．设，则在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的坐标表示判断

【详解】对应的点为，在第二象限.

故选：B

3．若，则（            ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由导数的定义即可求解.

【详解】解：由导数的定义，可得，

故选：A.

4．甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（       ）

A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙、丁可以知道对方的成绩

C．乙可以知道四人的成绩 D．丁可以知道四人的成绩

【答案】A

【分析】根据四人所知只有自己看到，结合老师所说以及最后甲所说的话，分析推理即可.

【详解】由题意得，甲看乙、丙的成绩，因此乙和丙一个是优秀，一个是良好；

当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩，

由于甲和丁也是一个优秀，一个良好，所以丁知道甲的成绩后，就能够知道自己的成绩，

但是丁不知道乙和丙的成绩.

综上所述：乙，丁可以知道自己的成绩.

故选：A.

5．观察下面（a），（b），（c），（d）四个平面图形，找出每一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系，比如图形（d）的顶点数为10，边数为15，区域数为6．若某个平面图形有2021个顶点，且围成了2022个区域，则这个平面图形的边数为（       ）

A．4043 B．4042 C．2023 D．2022

【答案】B

【分析】利用条件可得顶点数＋区域数－边数＝1，即得.

【详解】由题意可得下表：

由图表，我们可以推断，任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间，都有如下关系：顶点数＋区域数－边数＝1．

则所求边数＝顶点数＋区域数－1＝2021＋2022－1＝4042．

故选：B.

6．给出下列结论：①；②；③若，则；.其中正确的个数是（     ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】直接求导计算即可，属于简单题

【详解】对于①，，故①错；

对于②，，故②错；

对于③，，则，则③错

故选：A

7．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对阴影部分的面积分成两部分，根据定积分的几何意义写出面积和，再利用定积分的可加性进行积分运算.

【详解】所求面积为．

故选：.

【点睛】本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当时，，其积分值是负数，且该负数的绝对值或相反数才是对应阴影部分的面积．

8．若是函数的极值点，则的值为

A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2

【答案】B

【解析】由题意可知，这样可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点.

【详解】，由题意可知，或

当时，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；

当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B.

【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.

9．函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..

【详解】详解：为奇函数，排除A,

，故排除D.

，

当时，，所以在单调递增，所以排除C；

故选：B.

10．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．

11．函数在处有极值10，则为（       ）

A． B．15 C．或15 D．不存在

【答案】B

【分析】依据函数极值的定义列方程组即可求得的值.

【详解】由，得

则，解之得或

当时，，

则在定义域上单调递增，在处无极值，不符合题意，舍去.

当时，，

则在处取极小值10，符合题意.

则

故选：B

12．由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为(　　)

A． B．

C． D．1

【答案】B

【详解】由曲线和曲线可得交点坐标为，

则曲线和曲线围成的封闭图形的面积为，故选B.

二、填空题

13．是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________.

【答案】

【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.

【解析】复数的运算.

14．将正整数有规律地排列如下：

则在此表中第行第列出现的数字是___________.

【答案】2020

【分析】根据表中数据得到第行有个数字，前行的数字个数为个，可得前44行共个数，从而求出结果．

【详解】解：由题意可知，第行有个数字，

前行的数字个数为个，可得前44行共个数，

即第44行最后一个数为1936，

所以第45行第84列出现的数字是，

故答案为：2020．

【点睛】本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是基础题．

15．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.

【详解】

【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

16．______.

【答案】

【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分．

【详解】因为

故答案为2π．

【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.

三、解答题

17．已知复数在复平面内对应点Z．

(1)若，求；

(2)若点Z在直线上．求m的值．

【答案】(1)29

(2)或

【分析】（1）由复数的运算法则求解

（2）由复数的几何意义求解

【详解】(1)时，，故

(2)若点Z在直线上，则

解得或

18．求下列函数的导数．

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由导数的运算法则可求出；

（2）由导数的运算法则可求出.

【详解】（1）由导数的运算法则可得；

（2）由导数的运算法则可得.

【点睛】本题考查的导数计算，熟悉导数的四则运算法则是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.

19．计算下列定积分：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】(1)直接得出其原函数计算定积分可得答案；

(2)直接得出其原函数计算定积分可得答案；

 (3)将积分中的括号展开，可求得其原函数，进而计算定积分可得答案；

(4)将积分中分式整理为，求出其原函数计算定积分可得答案.

【详解】（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

【点睛】本题主要考查的是定积分的简单计算，题型较为简单，在平时的学习中应熟练掌握.

20．已知函数 ，曲线在点处的切线方程为 ，处有极值．

（1）求的解析式．

（2）求在上的最小值．

【答案】（1）；（2）

【分析】由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；

结合中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．

【详解】，．

曲线在点P处的切线方程为，

即

在处有极值，所以，

由得，，，

所以

由知．

令，得，．

当时，，单调递增；

当时，；单调递减；

当时，，单调递增.

．

又因，所以在区间上的最小值为．

【点睛】本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．

21．已知函数.

（1）求；

（2）求曲线在点处的切线方程；

（3）求的单调区间.

【答案】（1）； （2）；（3）单调递增区间是，，单调递减区间是．

【解析】（1）利用导数的运算法则可求得；

（2）求出和，得出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（3）分别解不等式和可求得函数的增区间和减区间.

【详解】（1），；

（2）由（1）可得，，切点坐标为，

因此，曲线在点处的切线方程为，即；

（3）解不等式，即，即，解得或；

解不等式，得，即，解得.

因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

【点睛】本题导数的计算、利用导数求解函数图象的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于基础题.

22．（1）已知，求证：．

（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】（1）利用不等式的性质，即可证明结论．

（2）本题考查等差数列的证明、反证法的证题方法，由“不可能成等差数列”自然想到反证法，先假设数列 成等差数列，在此基础上进行推理，由推理结果矛盾使问题得证．

【详解】（1）证明：

因为，所以

从而，即．所以．

（2）证明：假设成等差数列，则．

又成等差数列，所以．

则，即．

故，即有：，所以．

从而．这与公差矛盾．

从而假设不成立，所以不可能成等差数列．

【点睛】本题考查不等式的证明，考查综合法，反证法．反证法是一种间接证法，一般地由证明转向证明与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出为真的方法叫做反证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论．