2021-2022学年北京市昌平区回天高未融合学区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2021-2022学年北京市昌平区回天高未融合学区八年级（下）期中数学试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共8小题，共16分）函数的自变量的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 下列各点中，在一次函数的图象上的点为(    )A.  B.  C.  D. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是(    )A.  B.
C.  D. 若正多边形的边数为，则该正多边形的内角和为(    )A.  B.  C.  D. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是(    )A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行，一组对角相等点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 无法确定已知，▱的周长是，对角线，相交于点，且的周长比的周长小，则的长为(    )A.  B.  C.  D. 如图，点为平行四边形边上的一个动点，并沿的路径移动到点停止，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是(    )A.  B.
C.  D.  二、填空题（本大题共8小题，共16分）▱中，，则______，______．已知正比例函数的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式______．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标______．如图是一个窗户造型，为正八边形，则________．
 将一次函数的图象沿轴向上平移个单位，所得函数表达式______．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解是______ ．
 如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则 ______ ．
 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点下面有四个结论：；；当时，；当时，其中正确的是______．
  三、解答题（本大题共12小题，共68分）已知：如图，点，分别在▱的，边上，且，联结，求证：四边形是平行四边形．
如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，
求证：．
已知一次函数，当时，．
求一次函数的解析式；
将该函数的图象向上平移个单位，求平移后的图象与坐标轴围成的三角形的面积？已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点．
请在平面直角坐标系中描出点和；
若为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出点的坐标．
在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
求点的坐标及直线的表达式；
若是坐标轴上一点不与点重合，且满足，直接写出点的坐标．
先阅读下列材料，再解答问题．
已知：如图，点是的边上一点．
求作：四边形，使得四边形是平行四边形．
小明的做法如下：
分别以点，点为圆心，和的长为半径画弧，两弧交于直线上方一点；
连接和．
四边形即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务．
使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
完成下面的证明．
证明：，______，
四边形为平行四边形．______填写推理依据
如图，在▱中，点，是对角线上两点，且．
求证：四边形是平行四边形．
若，，且，求▱的面积．
为鼓励居民节约用水，某市自来水公司采取分段收费标准，如图反映的是每月收取水费元与用水量吨之间的函数关系．
当月用水量时，收费标准是______ 元吨；
小华家五月份用水吨，应交水费多少元？
按上述分段收费标准，某居民家三、四月份分别交水费元和元，问四月份比三月份节约用水多少吨？
原价为每千克元的优质水果，若批发购买量在千克以上，则有两种优惠政策可以选择．
第一种方案：按原价的折出售，商家负责送货上门．
第二种方案：按原价的折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为元．
分别写出两种方案的付款数元与购买水果质量千克之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围；
根据购买量判断哪种方案更加合算．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．
求的值；
过第二象限的点作平行于轴的直线，交直线于点，交直线于点．
当时，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由；
当时，结合函数的图象则有 ______填“”，“”或“”．阅读下列材料：
问题：如图，在中，点为的中点．
求证：．
小明提供了他研究这个问题的思路：从点为的中点出发，可以构造以，为邻边的平行四边形，结合平行四边形的性质以及三角形两边之和大于第三边的性质便可解决这个问题．
请结合小明研究问题的思路，解决下列问题：
完成上面问题的解答；
如果在图中，，延长到，使得，延长到，使得，连接、，如图，请猜想线段与线段之间的数量关系．并加以证明．
对于点，规定，那么就把叫点的“和合数”．
例如：若，则，那么叫的“和合数”．
在平面直角坐标系中，已知，点．
，，，与点的“和合数”相等的点是______．
若点在直线上，且与点的“和合数”相同，则点的坐标是______．
点是直线上的任意点，点是矩形边上的任意点，点，，，若存在两点，的“和合数”相同，求的取值范围．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意得，
解得．
故选：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
考查求函数自变量的取值；用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数．
 2.【答案】 【解析】解：把各点代入解析式中，只有符合，
故选C．
根据点在一次函数的图象上，把各点的坐标代入一次函数的解析式即可判断．
本题考查一次函数图象点的坐标，关键是把各点的坐标代入一次函数的解析式．
 3.【答案】 【解析】解：、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故B不符合题意；
C、对于的每一个取值，不是都有唯一确定的值与之对应，故C符合题意；
D、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，即可判断．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：多边形的内角和为，
故选C．
利用多边形的内角和公式求解．
本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是熟知多边形的内角和公式．
 5.【答案】 【解析】解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 6.【答案】 【解析】解：，
随的增大而减小，
又点，都在一次函数的图象上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长是，
，
，
的周长比的周长小，
，
，
得：，
，
故选B．
根据平行四边形性质得出，，，求出，，两式相减即可求出．
本题考查了平行四边形性质的应用，关键是能根据题意得出，，题目比较好，难度适中．
 8.【答案】 【解析】解：点沿运动，的面积逐渐变大，设菱形的变形为，，
边上的高为，，
点沿移动，的面积不变；
点沿的路径移动，的面积逐渐减小．
，
故选：．
分三段来考虑点沿运动，的面积逐渐变大；点沿移动，的面积不变；点沿的路径移动，的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
 9.【答案】   【解析】解：在平行四边形中，
，又，
．
．
故答案为：，．
平行四边形的一组邻角互补，对角相等．
本题主要考查平行四边形的性质，能够求解一些简单的常识问题．
 10.【答案】答案不唯一 【解析】解：正比例函数为常数，且的图象经过第二、四象限，
，
函数表达式为．
故答案为：答案不唯一．
先根据正比例函数为常数，且的图象经过第二、四象限得出的取值范围，进而可得结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出的取值范围是解答此题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理，明确任何一个多边形的外角和都是是解题的关键．利用正八边形的外角和等于度即可求出答案．
【解答】解：，
故答案为．  13.【答案】 【解析】解：直将一次函数的图象沿轴向上平移个单位，所得函数表达式为：，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：一次函数的图象与轴的交点为，
当时，．
故答案为．
直接根据函数图象与轴的交点进行解答即可．
本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．
 15.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出，即可求出答案．
本题主要考查对平行四边形性质的理解和掌握，能熟练地运用性质求出和的长是解此题的关键，注意：平行四边形的对边平行且相等．
 16.【答案】 【解析】解：直线经过第一、三象限，
，故正确；
与轴交点在负半轴，
，故错误；
正比例函数经过原点，且随的增大而增大，
当时，；故正确；
当时，正比例函数在一次函数图象的下方，即，故错误．
故答案为．
根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
 17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 【解析】利用平行四边形的性质得出，，进而求出，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出是解题关键．
 18.【答案】证明：是平行四边形，
，即，，
又，
四边形是平行四边形．
．
． 【解析】可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得出结论．
此题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解题关键．
 19.【答案】解：根据题意，得，
解得，，
函数解析式：；
将该函数的图象向上平移个单位得，，即，
当时，；
当时，，
与轴，轴的交点坐标分别为，，
三角形的面积为：． 【解析】把时，代入，根据待定系数法即可求得；
根据平移的规律求得解析式，进而求得与坐标轴的坐标，根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上的点的坐标特征．一次函数图象上点的坐标都能满足该函数的解析式．
 20.【答案】解：如图，点、点为所作；

如图，平行四边形、平行四边形，平行四边形为所作；点坐标为或或． 【解析】利用点和点坐标描点即可；
分别以、、为平行四边形的对角线确定点位置，且写出点坐标．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质．
 21.【答案】解：直线与直线交于点，

，
点的坐标，
直线的表达式为；
如图，的坐标，
，
是坐标轴上一点，，
当点在轴上时，
，
，
当点在轴上时，
过作轴于，
，
点的坐标为和． 【解析】本题考查了两直线相交问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
把点分别代入直线与直线，解方程组即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据，得到，即可得到结论．
 22.【答案】  两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】解：如图，四边形即为所求；

证明：，，
四边形为平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
根据要求作出图形即可；
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 23.【答案】证明：连接，交于，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，，，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
▱的面积的面积． 【解析】先连接，交于，由于四边形是平行四边形，易知，，而，根据等式性质易得，即可得出结论．
由，，，得出，，，证出是等腰直角三角形，得出，得出▱的面积的面积，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
 24.【答案】 【解析】解：当月用水量时，收费标准是元吨，
故答案为：；
当时，设与的函数关系式为，
，得，
即当时，与的函数关系式为，
当时，，
即小华家五月份用水吨，应交水费元；
当时，，得，
即三月份用水吨，
四月份用水吨，
吨，
即四月份比三月份节约用水吨．
根据函数图象中的数据，可以计算出当月用水量时，收费标准是每吨多少钱；
根据函数图象中的数据，可以求得当时对应的函数解析式，从而可以得到小华家五月份用水吨，应交水费多少元；
根据题意，可以分别求得三、四月份的用数量，然后作差，即可得到四月份比三月份节约用水多少吨．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 25.【答案】解：第一种方案：按原价的折出售，商家负责送货上门，
根据题意得：；
第二种方案：按原价的折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为元，
根据题意得：；
根据题意可得：当时，
，
当购买千克时两种购买方案付款相同，
当大于千克时，，
第一种方案付款多，第二种方案付款少，
当小于千克时，，
第一种方案付款少，第二种方案付款多． 【解析】根据两种销售方案，分别得出两种购买方案的付款元与所购买的水果质量千克之间的函数关系式，即单价质量，列出即可；
根据分析与的大小关系，得出不等式的解集可以得出购买方案付款的多少问题．
此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，得出两函数的解析式利用不等式即可得出付费的多少．
 26.【答案】 【解析】解：直线与轴交于点．
．
；
理由如下：

当时，点的坐标为，
过第二象限的点作平行于轴的直线，交直线于点，交直线于点．
点的坐标为，点的坐标为．
，．
；
如图，

过第二象限的点作平行于轴的直线，交直线于点，交直线于点．
点的坐标为，点的坐标为．
，．
，
，
．
故答案为：．
把代入函数，即可求出的值；
求出和，即可判断和之间的关系；
求出点的坐标，可得，，根据即可求解．
本题主要考查了一次函数上点的坐标特点，熟悉一次函数图象上点的特点是解答此题的关键．
 27.【答案】解：如图，延长至，使得，连接，，

，，
四边形是平行四边形，
．
在中，，
，即 ；
，理由如下：
如图，过点作交于，连结，，

，，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
四边形 是平行四边形，
点是的中点，
，互相平分于点，
即，
在和中，
，
≌，
． 【解析】先证四边形是平行四边形，可得，由三角形的三边关系可求解；
过点作交于，连结，，先证四边形 是平行四边形，可得，由“”可证≌，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
 28.【答案】，   【解析】解：点的“和合数”为，点的“和合数”为，点的“和合数”为，点的“和合数”为，
与点的“和合数”相等的点为点，点，
故答案为：，；
点在直线上，
故设点，
点与点的“和合数”相同，
，
解得，
，
点，
故答案为：；
是直线上的任意点，
，
的“和合数”为，
如图，设点，

、的“和合数”相同，
，
，
点在直线上，
点是直线与矩形的交点，
当点在直线上时，，
，
当点在直线上时，，
，
当时，存在两点、的“和合数”相同．
分别求出各点的“和合数”，即可求解；
设点，由“和合数”的定义列出方程可求解；
由“和合数”的定义可得点在直线上，结合图形即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正确理解“和合数”定义是解决问的关键．