2021-2022学年江苏省常州市七年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省常州市七年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了多年．他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是(    )

A. 有理数 B. 整数 C. 有限小数 D. 无理数

3. 下列计算一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )

A. 长方体
B. 圆锥
C. 三棱锥
D. 四棱锥

5. 如果是方程的解，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知、、三点，过点可画直线的平行线的条数是(    )

A. 条
B. 条
C. 条
D. 无数条

7. 一副三角尺按如图所示位置放置，为公共边，量角器中心与点重合，为刻度线．如果三角尺一边与刻度线重合，那么边与下列刻度线重合的是(    )

A. 刻度线 B. 刻度线 C. 刻度线 D. 刻度线

8. 任意想一个数，把这个数乘后加，然后除以，再减去原来想的那个数的，计算结果都不变，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 的倒数是          ．
10. 年月日零点，被誉为“中国天眼”的米口径球面射电望远镜正式向全世界开放．的本体是由多块反射面板组成的半径米球反射面，总面积约平方米．数据用科学记数法表示为______．
11. 已知，则的补角等于______ 度．
12. 如图，是线段上一点，是线段的中点，，则线段的长是______．

13. 如图，数轴上的点、对应的数分别为、，且，则代数式的值是______．
14. 七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形如图边长为，则图的“小狐狸”图案中阴影部分面积是______用含的代数式表示．

15. 已知，则的值是______．
16. 据我国古代易经记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

17. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共8小题，共60分）

18. 先化简，再求值：，其中，．
19. 解方程：
    ；
    ．
20. 如图，与互为补角，与互为余角，且．
    求的度数；
    若平分，求的度数．

21. 某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．如果每天生产服装套，那么就比订货任务少生产套．如果每天生产服装套，那么可提前一天完成任务，并且还超过订货任务套，这批服装的订货任务是多少？
22. 如图，所有小正方形的边长都为，点、、、、、都在格点上．
    过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点．
    请在网格中画出垂线、；
    线段与的大小关系是： ______．
    将向上平移个单位，再沿直线翻折，得到，
    请在网格中画出；
    与的大小关系是： ______．

23. 王叔叔在一家游泳馆游泳健身，该游泳馆推出两种收费方式供健身用户选择：
    方式一：单次卡，每次收费元；
    方式二：办理会员年卡，一次性缴纳会员费元，每次游泳另收费元一年内有效．
    若一年内王叔叔游泳次，采用方式二付费，共需付费______元用含的代数式表示；
    若两种付费方式所需费用相等，求王叔叔一年的游泳次数；
    已知去年王叔叔共付费元，求王叔叔去年的游泳次数，并说明王叔叔的付费方式．
24. 如图，边长为的正方形硬纸板的个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为．
    
    这个纸盒的底面积是______，高是______用含、的代数式表示．
    的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：

请通过表格中的数据计算：______，______；
猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：______．
若将正方形硬纸板按图方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．
若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是______，______用含、的代数式表示；
已知，，，四个面上分别标有整式，，，，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值．

25. 点在直线上，点在点右侧，记如果将绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．如图，点的位置用表示．
    已知为的中点，则点的位置用______表示；
    请利用直尺和圆规在图中作出点不写作法，保留作图痕迹；
    已知，且，求点的位置表示；
    点在直线上，若点、、三点中，其中一点到另外两点的距离相等，求点的位置表示．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据整数和分数统称为有理数，可知是分数，所以属于有理数，故A符合题意；
B.不能被整除，所以不是整数，故B不符合题意；
C.是无限循环小数，不是有限小数，故C不符合题意；
D.是无限循环小数，无理数是无限不循环小数，故D不符合题意，
故选：．
根据有理数，整数，有限小数和无理数的意义判断即可．
本题考查了实数，数学常识，近似数和有效数字，熟练掌握有理数，整数，有限小数和无理数的意义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；
B、系数相加字母及指数不变，故B符合题意；
C、不是同类项不能合并，故C不符合题意；
D、系数相加字母及指数不变，故D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项的法则把系数相加即可．
本题考查了合并同类项法则的应用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
 

4.【答案】 

【解析】解：侧面展开图为个三角形，
该几何体是三棱锥，
故选：．
根据侧面展开图为个三角形，所以该几何体是三棱锥．
本题考查了几何体的侧面展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是方程的解，
，
，
故选：．
将代入方程，即可求的值．
本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程解与一元一次方程的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

故选：．
先过，两点画直线，在根据过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行可求解．
本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可知：，，，
．
故选：．
由图可知：，，，进而由可求出的度数，求出结果．
本题主要考查角的计算，关键是熟知三角板的各个角的度数，并能准确计算．
 

8.【答案】 

【解析】解：设这个数是，
由题意得，，
结果不变，
，
，
或，
故选：．
设这个数是，由题意得，，整理后根据结果不变可得的值．
本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
根据倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：的补角等于：，
故答案为：．
根据补角定义直接解答．
本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记补角的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：是线段的中点，，
；
，，
．
故答案为：．
首先根据是线段的中点，可得：，然后用的长度减去、的长度，求出的长度是多少即可．
此题主要考查了两点间的距离．解题的关键是熟练掌握两点间的距离的求法，以及线段的中点的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，




．
故答案为：．
根据题意，先求出的值，再计算．
本题考查了代数式求值，能求出是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

由图可知，阴影部分面积大正方形面积，
故答案为：．
根据图中各部分面积之间的关系求解即可．
本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，即，
，，，，




，
故答案为：．
根据的值，判断，，，的符号，再根据绝对值的定义化简后即可得到答案．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设在第根绳子上的打结数是，根据题意得：
，
解得：，
答：在第根绳子上的打结数是
故答案为：．
设在第根绳子上的打结数是，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案．
本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】根据乘法分配律计算；
先算乘方，再算除法，最后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
 

18.【答案】解：

，
当，时，



． 

【解析】将分式去括号、合并同类项化简后，把，代入计算即可．
本题考查了整式的加减化简求值，掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：． 

【解析】方程移项，合并同类项，即可求出解；
方程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为，求出解．
 

20.【答案】解：与互为余角，
．
，
．
与互为补角，
．
．
平分，
，
． 

【解析】根据余角的性质可得由已知条件，可得，计算即可得出答案．
根据题意与互为补角，可得即可算出的度数，由角平分线的定义可得，的度数，根据代入计算即可得出答案．
本题主要考查了余角和补角，角平分线的定义，熟练掌握余角和补角，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：设这批服装的订货任务为套，依题意得：
，
解得：，
答：这批服装的订货任务是套． 

【解析】可设这批服装的订货任务为套，根据生产时间的关系列出方程，解方程即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
 

22.【答案】   

【解析】解：如图，垂线、即为所求；
线段与的大小关系是：；
故答案为：；

如图，即为所求；
．
故答案为：．
根据垂线的定义即可在网格中画出垂线、；
根据垂线段最短即可比较线段与的大小关系；
根据平移的性质和翻折的性质即可在网格中画出；
根据网格即可比较与的大小关系．
本题考查了作图平移变换，作图翻折变换，垂线段最短，角的大小比较，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
选择方式二的总费用为元，
故答案为：；
选择方式一的总费用为元，选择方式二的总费用为元，
故答案为：；
设王叔叔游泳次，由题意可得，
，解得：，
答：若两种付费方式所需费用相等，王叔叔一年的游泳次数为；
当付费元时，设王叔叔游泳次，
按方式一：，得不合题意，舍去，
按方式二：，得，
王叔叔的付费方式为方式二．
根据题意，可以用含的代数式表示出方式二的总费用；
设王叔叔游泳次，分别用含的代数式表示出两种方式的总费用，列方程求解即可；
根据共付费元，求出两种方式的相应的的值，即可求解．
本题考查列代数式，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系．
 

24.【答案】      先随着的增大而增大，后随着的增大而减小．     

【解析】解：这个纸盒的底面积是，高是，
故答案为：，；
由题意得：
当时，纸盒的容积为，
，
，
，
当时，，
当时，，
故答案为：，；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：先随着的增大而增大，后随着的增大而减小，
故答案为：先随着的增大而增大，后随着的增大而减小；
若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，，
故答案为：，，
由图可知：与相对，与相对，
由题意得：
，
，
，
的值为．
根据长方形的面积公式结合进行计算即可；
利用纸盒的容积的公式求出的值，然后把，代入进行计算即可，
通过计算，，，，，，，，时，纸盒的容积即可解答；
结合图形进行计算即可解答，
结合图形可知与相对，与相对，然后进行即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，列代数式，整式的加减，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：由题意，
故答案为：；

如图中，点即为所求；


如图，点或．


当是中点时，，
当是中点时，．
根据定义可得结论；
根据要求作出图形即可；
分两种情形分别求出点的坐标即可；
分两种情形分别求出点的坐标即可．
本题考查作图复杂作图，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．