第03天：轴对称-2022年暑假人教版八升九数学培优提高训练

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第03天：轴对称
一、单选题
1．下列说法正确的是（   ）．
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．所有的轴对称图形都只有一条对称轴
【答案】B
【解析】根据全等三角形的定义以及轴对称的性质可判断选项A和B；根据等腰三角形的性质可判断选项C；根据对称轴的性质可判断选项D．
【详解】解：A、如果两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称，故本选项不合题意；
B、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意；
C、等腰三角形是关于底边上的中线呈轴对称的图形，故本选项不合题意；
D、等边三角形就有三条对称轴，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握性质进行逐一判断．
2．如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（       ）

A．0 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】分别连接OP1，OP2，P1P2，由三角形三边的关系及对称的性质，可确定P1P2的范围，根据这范围即可确定答案．
【详解】解：分别连接OP1，OP2，P1P2，如图所示，

则，
由对称知：，
∴，
∵，
∴．
∴A、C、D三个选项中提供的数值均不在上述范围内．
故选：B．
【点评】本题考查了对称的性质，三角形三边的不等关系：任两边之和大于第三边，掌握此关系是关键．
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
【详解】解：如图，根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，


∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
又∵，
∴．
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
4．如图，在等边△ABC中，∠BAD＝20°，AE＝AD，则∠CDE的度数是（　　）

A．10° B．12.5° C．15° D．20°
【答案】A
【解析】先求出，根据等腰三角形性质求出，可求出，再根据三角形的外角性质求出，即可求出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，解题的关键是考查了学生运用定理进行推理和计算的能力．
5．已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一条底边的长等于（　　）
A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm
【答案】D
【解析】根据全等三角形的性质得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况进行讨论，求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，
分为两种情况：
①当BC是底边时，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′，
∵等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，
∴△A′B′C′中一定有一条底边B′C′的长是8cm，
②BC是腰时，腰是8cm，
∵等腰△ABC的周长为18cm，
∴△A′B′C′中一定有一条底边的长是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，
即底边长是8cm或2cm，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是要进行分类讨论．
6．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，为等边三角形，则等于（       ）


A．48° B．52° C．66° D．72°
【答案】C
【解析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，
【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=，AB=BC，
∵△ABF为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=108°-60°=48°，
∴∠BFC=(180°−∠FBC)=66°
故选：C．
【点评】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
7．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（       ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④
【答案】A
【解析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
③在AC上截取AE=PA，易证△OPA≌△CPE，可得AO=CE，即可解题；
④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
【详解】解：①连接OB，如图1，

∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，

∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD=S△CHP，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD=S△AHC，
∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，
∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
8．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（       ）


A．500m B．1000m C．1500m D．2000m
【答案】B
【解析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．
【详解】解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．


由题意：AC=BD，∠A’CM=∠BDM=90°，
∴A′C=BD，
在△A′CM与△BDM中，
，
∴△A′CM≌△BDM，
∴CM=DM，M为CD的中点，A′M=BM，
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=2A′M=1000米．
故最短距离是1000米．
故选：B．
【点评】此题考查了轴对称的性质和“两点之间线段最短”，全等三角形的判定和性质等，解答时注意应用全等三角形的性质是解题关键．
9．已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用全等三角形的判定定理中的可得出，由全等三角形的对应边相等得到；
②由得到一对角相等，再由等腰直角三角形的性质及等量代换得到；
③由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到；
④由全等三角形的对应角相等可知：，因此只有当时，才成立，
【详解】①∵，
∴，
即．
∵在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④∵
∴只有当时，才成立，故④错误．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
10．已知一个等腰三角形的两条边长分别是4和8，则它的周长是（       ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】A
【解析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【详解】解：当腰长为4时，4+4=8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8时，符合三边关系，其周长为8+8+4=20．
故该等腰三角形的周长为20．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
11．已知：如图，是的边上的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，，则的周长等于（       ）

A．17 B．13 C．22 D．16
【答案】B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴△BEC的周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=4+9=13，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．如图，在等腰中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则（       ）

A．62° B．58° C．52° D．46°
【答案】C
【解析】先由等腰△ABC中，∠ABC=116°，可求得∠A=∠C=32°，进而结合垂直平分线的性质求得∠A=∠ABE=32°，∠C=∠CBQ=32°，最后由∠EBQ=∠ABC−∠ABE−∠CBQ即可求得
【详解】解：∵在等腰中，，
∴，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．
13．如图，在△AOB和△DOC中，，，，．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（          ）个

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】证明△AOC≌△BOD，判断②正确；根据△AOC≌△BOD，推出∠OAC=∠OBD，根据三角形内角和判断①；根据全等的性质得到，推出OE=OF即可判断④；假设∠DOM=∠AOM，证明△COM≌△BOM，推出OA=OC，由与OA＜OC矛盾判断③．
【详解】∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，
∵∠AOB＝∠COD＝108°，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC=72°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝36°，
∵∠AOB＝∠COD，∠BOD=∠AOB+∠AOD，∠AOC=∠AOD+∠COD，
即∠AOC=∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，∠OAC=∠OBD，故②正确；
∵∠OAB+∠OBA=36°，
∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠OAC+∠ABD=∠MAB+∠ABM=∠AMD=36°×2=72°，
∴∠AMB=180°-∠AMD=180°-72°=108°，故①正确；
过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，即有∠OFM=∠OEM=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，，
∴OE=OF，
∴Rt△OFM≌Rt△OEM，
∴∠FMO=∠EMO，
∴MO平分∠BMC，故④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠AOD，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠AMD，∠AMB=∠DMC，
∴∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA＜OC矛盾，
∴③错误；
故选：B．

【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，假设法，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（     ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】∵∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，
∵，
∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF与△CEF为等腰三角形，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，
△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，
∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，
∴②③正确，①④不正确，
∵∠A＝80°，
∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，
∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
15．如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与的角平分线交于点E；如果；那么下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确的有（       ）个．


A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】利用三角形全等的性质、等腰三角形的三线合一、角之间的关系、平行线的判定定理逐个分析各个结论的正误即可．
【详解】解：依题意有
∴，故结论①正确；
∵
∴为等腰三角形，又
∴AD垂直平分，故结论②正确；
∵
∴
∴
又∵
∴
∴，故结论③错误；
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴∥，故结论④正确；
综上，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质、线段的垂直平分、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，为三角形的综合题，解题的关键是熟练掌握三角形相关的知识定理．
二、填空题
16．等腰三角形的周长为，若有一边长为，则等腰三角形的其他两边长分别是____________．
【答案】9cm、1cm或5cm、5cm．
【解析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
【详解】解：①当9cm为腰长时，则腰长为9cm，底边=19-9-9=1cm，因为9+1＞9，
所以能构成三角形；
②当9cm为底边时，则腰长=（19-9）÷2=5cm，因为5+5＞9，所以能构成三角形．
则等腰三角形其他两边长分别为9cm、1cm或5cm、5cm．
故答案为：9cm、1cm或5cm、5cm．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
17．如图，在RtABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，E是AC的中点，DE⊥AC交AB于D，连接CD．若AD=8，BD的长等于_____．

【答案】4
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到CD=AD，从而得到∠DCB=∠DCA=30°，再根据直角三角形的性质可以求出BD的长度．
【详解】解：由已知可得DE为线段AC的垂直平分线，
∴CD=AD=8，
∴∠A=∠ACD=90°-∠ACB=90°-60°=30°
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°-30°=30°，
∴BD=，
故答案为4 ．
【点评】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握含30°角直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解题关键．
18．在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.

【答案】127.5°或7.5°
【解析】过D作DF⊥AB于F，根据直角三角形DEF求出∠DEF=30°，求出结果．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，DC⊥AC，
∴DF=DC，∠ADF=67.5°，
当点E在线段AB上时，


∵DE=2CD=2DF，∠DFE=90°，
∴DEF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=67.5°-60°=7.5°；
当点E在线段AB的延长线上时，


同理可得∠ADE=∠ADF+∠EDF=67.5°+60°=127.5°；
综上述：∠ADE=7.5°或127.5°．
【点评】本题考查角平分线的性质和直角三角形的性质，解决问题的关键是遇到角平分线作垂线段．
19．如图，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．设运动时间为t(0＜t＜4)s，当t＝______时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．

【答案】或3
【解析】连结PB，过点Q作QE⊥CD，分PQ＝PB或PQ＝QB两种情况进行讨论；当PQ＝PB时，先证明Rt△PEQ≌Rt△PCB，得出PE＝PC，用t表示出PC，根据PD＋PC＝8，列出关于t的方程，解方程即可；当PQ＝QB时，在Rt△PQE中，根据勾股定理，列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】连结PB，过点Q作QE⊥CD，如图所示：

若△PQB是以PQ为腰的等腰三角形，则有两种情况：
①当PQ＝PB时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EQ，
∴Rt△PEQ≌Rt△PCB(HL)，
∴PE＝PC，
由题意得PD＝2t，AQ＝t，四边形ADEQ是矩形，
∴PE＝2t－t＝t，
∴PC＝t，
∵PD＋PC＝8，
∴2t＋t＝8，解得t＝（s）；
②当PQ＝QB时，PQ＝QB＝8－t，在Rt△PQE中，PQ＝8－t，PE＝t，EQ＝4，
∴(8－t)2＝t2＋42，解得t＝3（s）；
综上可知，当t＝s或3s时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
20．如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为______．

【答案】
【解析】根据△A1B1A2为等边三角形，可知∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，根据∠MON=30°，进而可得∠A1B1O=30°，由此可知△OA1B1为等腰三角形，同理可证△OA2B2为等腰三角形，OA2=A2B2= A2A3=2，依次类推可知△OA3B3为等腰三角形，则OA3=A3B3= A3A4=，同理可知△OA4B4为等腰三角形，则OA4=A4B4= A4A5=，由此可找到边长的变化规律推导出边长即可．
【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴△OA1B1为等腰三角形，
∴A1B1= OA1，
∴A1B1= A1A2= OA1，
∵OA1=1 ，
同理可知△OA2B2为等腰三角形，
∴OA2=A2B2= A2A3=2，
同理可知△OA3B3为等腰三角形，
∴OA3=A3B3= A3A4=，
同理可知△OA4B4为等腰三角形，
∴OA4=A4B4= A4A5=，
依次类推：OAn=AnBn= AnAn+1=,
∴△A2021B2021A2022的边长为：=，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，归纳，总结，验证，应用的能力，能够发现规律并应用规律是解决本题的关键．
三、解答题
21．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为BC下方一点，且AE＝BE，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

(1)作出线段AB的垂直平分线；
(2)作出△ABC的中线BN.
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【解析】（1）根据△ABC中，AB=AC， AD⊥BC于点D，推出BD=CD= BC，根据∠BAC＝90°，推出AD=BC，推出AD=BD,得到点D在AB的垂直平分线上，根据AE=BE，得到点E在AB的垂直平分线上，推出DE垂直平分AB；
（2）根据DE是线段AB的垂直平分线，DE交线段AB于点M，得到M是线段AB的中点，CM是AB边的中线，根据AD是BC边的中线，AD与CM交于点O，且BN过点O，得到线段BN是边AC的中线．
(1)
如图1，作直线ED，直线ED即为所求．
证明：∵△ABC中，AB=AC， AD⊥BC于点D，
∴BD=CD= BC，
∵∠BAC＝90°，
∴AD=BC，
∴AD=BD，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∵AE=BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴DE垂直平分AB；

(2)
如图2，1．作线段CM，CM交AD于点O；
２．作线段BO，延长BO交边AC于点N．
线段BN即为所求．
证明： ∵DE是线段AB的垂直平分线，DE交线段AB于点M，
∴M是线段AB的中点，
∴CM是AB边的中线，
∵AD是BC边的中线，AD与CM交于点O，且BN过点O，
∴线段BN是边AC的中线．

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的中线，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线判定和性质，三角形的中线判定和性质，基本作图．
22．如图1，已知等边ABC边长为4cm，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．连接AQ、CP交于点M．


(1)求证：ABQ≌CAP；
(2)在整个运动过种中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)连接PQ，何时PBQ是直角三角形？
(4)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，求∠CMQ的度数．
【答案】(1)见解析
(2)不变，∠CMQ =60°
(3)第秒或第秒
(4)120°
【解析】（1）利用SAS可直接证明；
（2）由ABQ≌CAP得∠BAQ=∠ACP，利用外角的性质并进行等量代换可得∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（3）分∠PQB=90°，∠BPQ=90°两种情况，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半列式求解；
（4）先利用SAS证明△PBC≌△QCA，得出∠BPC=∠MQC，再利用三角形内角和定理得出∠CMQ=∠PBC=120°．
(1)
解：在等边△ABC中，
∵AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
又∵点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
(2)
解：不变，∠CMQ =60°．理由如下：
由（1）得△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
(3)
解：设运动时间为t秒，则AP=BQ=t，PB=4﹣t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°．
∴BQ=PB，即，
解得；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°．
∴PB=BQ，即，
解得；
∴当点 P、Q 运动到第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
(4)
解：∵在等边三角形中，AB=AC，∠ABQ=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
∵点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴，
∴BP=CQ，
在△PBC和△QCA中，
，
∴△PBC≌△QCA（SAS）．
∴∠BPC=∠MQC，
∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=120°．


【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质等知识点，第3问需要分类讨论，有一定难度，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
23．在中，，是边上一点，点在的右侧，线段，且．


(1)如图1，若＝60°，连接CE，DE．则的度数为;   BD与CE的数量关系是．
(2)如图2，若＝90°，连接、．试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)60°；BD＝CE
(2)的形状是直角三角形；理由见解析
【解析】（1）在中，由等腰对等角可得，利用SAS证明可得BD＝CE；
（2）先证，再利用SAS证明，得出，进而得出．
(1)
解：在中，
∵，＝60°
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
，
∴BD＝CE，
故答案为：60°，BD＝CE；
(2)
解：的形状是直角三角形．
理由：
∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴．
在和中，
∵，
，
∴，
∴，
即的形状是直角三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，从所给图形中正确识别出全等三角形是解题的关键．
24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．


(1)在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标．
(2)在y轴上求作一点P，使得最短（保留作图痕迹，不需写出作图过程）．
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析
(3)6
【解析】（1）利用网格，根据轴对称的性质画出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1，C1，再连接A1B1，A1C1，B1C1即可；
（2）连接A1C交y轴于点P，即可；
（3）利用网格，用矩形面积减去三个直角三角形面积求解即可．
(1)
解：如图所示，就是所要求画的．．


(2)
解：如图所示，点P就是所要求作的点．


(3)
解：．
【点评】本题考查利用轴对称性质作轴对称图形，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
25．如图，点C在线段AB上，，，，．求证：CF平分．

【答案】证明见解析
【解析】先证明≌（SAS），得CD=CE，再利用等腰三角形“三线合一”得出结论即可．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴．
∵，
∴CF平分．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
26．如图，图①、图②都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C，D，M，N均在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图：


(1)在图①中，画线段EF，使EF与AB关于直线MN对称；
(2)在图②中，画一条不与CD重合的线段PQ，使PQ与CD关于某条直线对称，且P，Q在格点上．（画出一种即可）
【答案】(1)见详解
(2)见详解，答案不唯一
【解析】（1）找到点A、B关于MN的对称点，连接即可的EF；
（2）根据对称的性质画出PQ即可；
(1)
找到点A、B关于MN的对称点，连接即可的EF；如图：


(2)
如图，PQ与CD关于GR对称，


【点评】本题主要考查轴对称图形的性质，掌握轴对称的概念是解题的关键．
27．如图，已知AD是的边上的中线．


(1)作出的边上的高；
(2)若的面积为10，，求长；
(3)若和的周长差为10，且，求长．
【答案】(1)作图见解析
(2)5
(3)20
【解析】（1）根据三角形中高的定义过A作BC的垂线即可；
（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解三角形ABC的面积，再利用三角形的面积公式即可求解；
（3）利用两个三角形的周长差可得再结合，从而可得答案．
(1)
解：（1）如图所示：线段AE是所求作的BC上的高，


(2)
的面积为10，，AD是的边上的中线．



(3)
和的周长差为10，



，


【点评】本题考查的是作三角形的高，三角形的中线的性质，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义与性质”是解本题的关键．
28．已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．

(1)如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线．
①求∠AFC的度数；
②若AD=5，CE=3，求AC的长
(2)如图2，若∠FAC=∠FCA=30°，求证：AD=CE
【答案】(1)①120；②8
(2)见解析
【解析】（1）①根据角平分线的性质可得根据已知条件与三角形内角和定理，可得，进而可得；
②在AC上截取AG=AD，连接FG，证明，，根据即可求解；
（2）在AE上截取FH=FD，连接 CH，证明，进而证明，即可得证
(1)
①分别平分，
                              
又，故，


②在AC上截取AG=AD，连接FG，

,
        

               
又



(2)
在AE上截取FH=FD,连接 CH，

∵∠FAC=∠FCA=30°
∴FA=FC
在
，
∴
∴AD=CH，∠DAF=∠HCF
∴∠CEH=∠B+∠DAF=60°+∠DAF，
∠CHE= ∠HAC+∠HCA=60°+∠HCF
∴∠CEH=∠CHE
∴CH=CE
∴AD=CE.
【点评】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．