专题10 二元一次方程组的实际应用问题-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题训练（十）二元一次方程组的实际应用问题

示例：在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（       ）

A．12种 B．13种 C．14种 D．15种

【答案】C

【题意分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数=260；C种奖品个数为3或4个，设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．

【详解】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，

当C种奖品个数为3个时，根据题意得

整理得

都是正整数，

当C种奖品个数为4个时，根据题意得

整理得

都是正整数，

有种购买方案。故选：C．

1．某校计划购买数学、语文两种书若干本用于图书角建设，已知购买2本数学书和1本语文书需100元：购买6本数学书与购买7本语文书的价格相同．

(1)求数学和语文这两种书的单价：

(2)若购买数学和语文两种书共50本，总价不超过1600元，求这所学校最多购买多少本数学书?

2．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

(2)请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？

(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．

示例：某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？

【答案】甲的速度是 m/s，乙的速度是m/s ．

【题意分析】利用题中的等量关系有：①反向而行，则两人30秒共走400m；②同向而行，则80秒乙比甲多跑400m，进而得出方程组求出即可．

【详解】设甲的速度是xm/s，乙的速度是ym/s．

根据题意可得：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400；

②根据同向而行，得方程为90（y﹣x）＝400．

那么列方程组 ，

解得： ，

答：甲的速度是m/s，乙的速度是m/s．

3．汽车在上坡时速度为28千米/时，下坡时速度为42千米/时，从甲地到乙地用了4小时，返回时用了4小时，从甲地到乙地上、下坡各是多少千米？

4．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为20千米，他们前进的路程为s（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：小时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息回答下列问题：

(1)甲的速度是　   　千米/小时，乙比甲晚出发　   　小时；

(2)分别求出甲、乙两人前进的路程s与甲出发后的时间t之间的函数关系式；

(3)求甲经过多长时间被乙追上，此时两人距离A地有多远？

5．一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，从乙地到甲地逆流航行用10小时．（请列方程或方程组解答）

(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；

(2)若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？

示例：甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地．

【答案】17

【题意分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案．

【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得：

，

，

设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得：

，

化简得：，

解得：．

故答案为：17．

6．甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？

7．市级重点工程盘溪立交改造正在进行中，某建筑公司承建了修筑其中一段公路的任务，指派甲、乙两队合作，天可以完成，共需施工费元，如果甲、乙两队单独完成此项工程，乙队所用时间是甲队的倍，乙队每天的施工费比甲队每天的施工费少元．

(1)甲、乙两队每天的施工费用各需多少元？

(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？

示例：弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁．

【答案】15

【题意分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可．

【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁，

由题意：，解得：，

∴此时哥哥的年龄是15岁，故答案为：15．

8．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．

9．一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．

示例：草莓基地为了提高收益，对收获的草莓分拣成A，B两个等级销售．每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓的销售额多4元．

(1)问A，B两个等级草莓每千克各是多少元？

(2)某超市从草莓基地购进200千克草莓，A级草蒋不少于40千克，且均价不超过19元．

①问最多购进了A级草莓多少千克？

②超市对购进草莓进行包装销售（如下表），全部包装销售完．当包装A级草莓多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

【答案】(1)每千克A级草莓为28元，每千克B级草莓为16元；(2)①50，②9200

【题意分析】

（1）根据每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓的销售额多4元，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得每千克A级草莓、B级草莓的利润分别为多少元；

（2）①根据A级草莓不少于40千克，且均价不超过19元，可得出结论；

②根据题意和①中的结果，可以得到w与m之间的函数关系式；然后根据一次函数的性质，即可得到该经销商如何进货，使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．

【详解】(1)解：设每千克A级草莓为a元，每千克B级草莓为b元，

由题意得： ，解得： ，

答：每千克A级草莓为28元，每千克B级草莓为16元；

(2)解：①由题意可得，设购进A级草莓m千克，则购进B级草莓（200﹣m）千克，

根据题意可知

解得40≤m≤50，

∴最多购进了A级草莓50千克；

②设总利润为w元，

根据题意可知，w＝（80﹣28）m+（120﹣2×16）×＝8m+8800，

∵8＞0，且40≤m≤50，

∴当m＝50时，所获利润最大，此时w的最大值为8×50+8800＝9200，

即当进货方案是A级草莓50千克，即A级草莓50包，B级草莓150千克时，使销售总利润最大，总利润的最大值是9200元．

10．某商场按标价销售某种商品时，每件可获利30元．元旦节期间，为庆祝2022年虎年的到来，商场开展打折销售活动，按标价的八折销售该商品10件与在标价的基础上降低25元销售该商品12件所获利润相等．

(1)求该商品进价，标价分别是多少？

(2)若此商场共销售该商品200件，其中打八折销售x件，其余均按标价销售，请写出此商场销售完该商品共获利润W（元）与x的函数关系式．

11．在“新冠病毒”疫情防控期间，某药店分两次购进酒精消毒液与测温枪进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：

(1)求酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是多少元？

(2)该药店决定酒精消毒液以每件15元出售，测温枪以每件200元出售．为满足市场需求．需购进这两种商品共1000件，设购进测温枪m件，获得的利润为W元，请求出获利W（元）与购进测温枪件数m（件）之间的函数关系式．若测温枪的数量不超过300件，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．

12．为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．

求：(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？

(2)若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用．

示例：在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入形状、大小完全相同的四个小长方形后得图①、图②，已知大长方形长为a，大长方形未被覆盖的部分均用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（用含a的代数式表示（       ）

A． B．a C． D．

【答案】C

【题意分析】设小长方形的长为，宽为，则由①图可知，，，可得，，由②图可知，大长方形的宽为，表示出两个图中阴影部分的周长，计算求解．

【详解】解：设小长方形的长为，宽为

由①图可知，，

∴，

由②图可知，大长方形的宽为

∴①图阴影部分周长为

②图阴影部分周长为

∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是；故选C．

13．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？

解：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．

设AE＝xm，BE＝ym，

根据问题中涉及长度、产量的数量关系，

列方程组：

解得：___________

14．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和16两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边的长．

15．与互补，比的3倍的大20°，求、的大小．