2022届陕西省西安市高新一中学毕业升学考试模拟卷数学卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.一个不透明的布袋里装有5个红球,2个白球,3个黄球,它们除颜色外其余都相同,从袋中任意摸出1个球,是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
2.估算的值是在( )
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
3.如图,一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域,并涂上了相应 的颜色,转动转盘,转盘停止后,指针指向蓝色区域的概率是 ( )
A. B.
C. D.
4.弘扬社会主义核心价值观,推动文明城市建设.根据“文明创建工作评分细则”,l0名评审团成员对我市2016年度文明刨建工作进行认真评分,结果如下表:
人数
2
3
4
1
分数
80
85
90
95
则得分的众数和中位数分别是( )
A.90和87.5 B.95和85 C.90和85 D.85和87.5
5.﹣6的倒数是( )
A.﹣ B. C.﹣6 D.6
6.已知一元二次方程有一个根为2,则另一根为
A.2 B.3 C.4 D.8
7.2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学计数法表示正确的是( )
A.1.35×106 B.1.35×105 C.13.5×104 D.135×103
8.如图,在▱ABCD中,AB=1,AC=4,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC的中点,连接AE交BD于点F.若AC⊥AB,则FD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
9.如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为( )
A.5 B.10 C.10 D.15
10.下列计算错误的是( )
A.a•a=a2 B.2a+a=3a C.(a3)2=a5 D.a3÷a﹣1=a4
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.在我国著名的数学书九章算术中曾记载这样一个数学问题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设羊价为x钱,则可列关于x的方程为______.
12.若代数式x2﹣6x+b可化为(x+a)2﹣5,则a+b的值为____.
13.亚洲陆地面积约为4400万平方千米,将44000000用科学记数法表示为_____.
14.如图,已知圆柱底面周长为6cm,圆柱高为2cm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为_____cm.
15.一个正四边形的内切圆半径与外接圆半径之比为:_________________
16.如图,为了测量河宽AB(假设河的两岸平行),测得∠ACB=30°,∠ADB=60°,CD=60m,则河宽AB为 m(结果保留根号).
17.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BOD=88°,则∠BCD的度数是_________.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,直线y=kx+b交BC于点E(1,m),交AB于点F(4,),反比例函数y=(x>0)的图象经过点E,F.
(1)求反比例函数及一次函数解析式;
(2)点P是线段EF上一点,连接PO、PA,若△POA的面积等于△EBF的面积,求点P的坐标.
19.(5分)许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部,上游接纳清泥河来水,下游为鹿鸣湖等水系供水,承担着承上启下的重要作用,是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A,B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走,走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前走300米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为200米,求A,B两点之间的距离(结果保留一位小数)
20.(8分)将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点B(6,0).点C、D分别在OB、AB边上,DC∥OA,CB=2.
(I)如图①,将△DCB沿射线CB方向平移,得到△D′C′B′.当点C平移到OB的中点时,求点D′的坐标;
(II)如图②,若边D′C′与AB的交点为M,边D′B′与∠ABB′的角平分线交于点N,当BB′多大时,四边形MBND′为菱形?并说明理由.
(III)若将△DCB绕点B顺时针旋转,得到△D′C′B,连接AD′,边D′C′的中点为P,连接AP,当AP最大时,求点P的坐标及AD′的值.(直接写出结果即可).
21.(10分)如图,AB为⊙O直径,过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E,射线DC切⊙O于点C、交AB的延长线于点P,连接AC交DE于点F,作CH⊥AB于点H.
(1)求证:∠D=2∠A;
(2)若HB=2,cosD=,请求出AC的长.
22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2ax与x轴相交于O、A两点,OA=4,点D为抛物线的顶点,并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点,与y轴相交于点C,B点的横坐标是﹣1.
(1)求k,a,b的值;
(2)若P是直线AB上方抛物线上的一点,设P点的横坐标是t,△PAB的面积是S,求S关于t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当PB∥CD时,点Q是直线AB上一点,若∠BPQ+∠CBO=180°,求Q点坐标.
23.(12分)如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB,已知观测点C到旗杆的距离CE=8m,测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°,旗杆底部B的俯角∠ECB=45°,求旗杆AB的髙.
24.(14分)深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划,以下是活动计划书的部分信息:
“读书节“活动计划书
书本类别
科普类
文学类
进价(单位:元)
18
12
备注
(1)用不超过16800元购进两类图书共1000本;科普类图书不少于600本;
…
(1)已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍,若顾客用540元购买的图书,能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本,请求出两类图书的标价;经市场调査后发现:他们高估了“读书节”对图书销售的影响,便调整了销售方案,科普类图书每本标价降低a(0<a<5)元销售,文学类图书价格不变,那么书店应如何进货才能获得最大利润?
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、A
【解析】
让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率.
【详解】
解:因为一共10个球,其中3个黄球,所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是.
故选:A.
【点睛】
本题考查概率的基本计算,用到的知识点为:概率等于所求情况数与总情况数之比.
2、C
【解析】
求出<<,推出4<<5,即可得出答案.
【详解】
∵<<,
∴4<<5,
∴的值是在4和5之间.
故选:C.
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质,解此题的关键是得出<<,题目比较好,难度不大.
3、B
【解析】
试题解析:∵转盘被等分成6个扇形区域,
而黄色区域占其中的一个,
∴指针指向黄色区域的概率=.
故选A.
考点:几何概率.
4、A
【解析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,可得答案.
解:在这一组数据中90是出现次数最多的,故众数是90;
排序后处于中间位置的那个数,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是87.5;
故选:A.
“点睛”本题考查了众数、中位数的知识,掌握各知识点的概念是解答本题的关键.注意中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5、A
【解析】
解:﹣6的倒数是﹣.故选A.
6、C
【解析】
试题分析:利用根与系数的关系来求方程的另一根.设方程的另一根为α,则α+2=6, 解得α=1.
考点:根与系数的关系.
7、B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
解:135000=1.35×105
故选B.
【点睛】
此题考查科学记数法表示较大的数.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
8、C
【解析】
利用平行四边形的性质得出△ADF∽△EBF,得出=,再根据勾股定理求出BO的长,进而得出答案.
【详解】
解:∵在□ABCD中,对角线AC、BD相交于O,
∴BO=DO,AO=OC,AD∥BC,
∴△ADF∽△EBF,
∴=,
∵AC=4,
∴AO=2,
∵AB=1,AC⊥AB,
∴BO===3,
∴BD=6,
∵E是BC的中点,
∴==,
∴BF=2, FD=4.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.
9、B
【解析】
作点E关于BC的对称点E′,连接E′G交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值,过点G作GG′⊥AB于点G′,如图所示,
∵AE=CG,BE=BE′,
∴E′G′=AB=10,
∵GG′=AD=5,
∴E′G=,
∴C四边形EFGH=2E′G=10,
故选B.
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题,矩形的性质等,根据题意正确添加辅助线是解题的关键.
10、C
【解析】
解:A、a•a=a2,正确,不合题意;
B、2a+a=3a,正确,不合题意;
C、(a3)2=a6,故此选项错误,符合题意;
D、a3÷a﹣1=a4,正确,不合题意;
故选C.
【点睛】
本题考查幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;负整数指数幂.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、
【解析】
设羊价为x钱,根据题意可得合伙的人数为或,由合伙人数不变可得方程.
【详解】
设羊价为x钱,
根据题意可得方程:,
故答案为:.
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.
12、1
【解析】
根据题意找到等量关系x2﹣6x+b=(x+a)2﹣5,根据系数相等求出a,b,即可解题.
【详解】
解:由题可知x2﹣6x+b=(x+a)2﹣5,
整理得:x2﹣6x+b= x2+2ax+a2-5,
即-6=2a,b= a2-5,
解得:a=-3,b=4,
∴a+b=1.
【点睛】
本题考查了配方法的实际应用,属于简单题,找到等量关系求出a,b是解题关键.
13、4.4×1
【解析】
分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
详解:44000000=4.4×1,
故答案为4.4×1.
点睛:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
14、2
【解析】
要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.
【详解】
解:如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为6cm,圆柱高为2cm,
∴AB=2cm,BC=BC′=3cm,
∴AC2=22+32=13,
∴AC=cm,
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=2cm.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了平面展开−最短路径问题,圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.
15、
【解析】
如图,正方形ABCD为⊙O的内接四边形,作OH⊥AB于H,利用正方形的性质得到OH为正方形ABCD的内切圆的半径,∠OAB=45°,然后利用等腰直角三角形的性质得OA=OH即可解答.
【详解】
解:如图,正方形ABCD为⊙O的内接四边形,作OH⊥AB于H,
则OH为正方形ABCD的内切圆的半径,
∵∠OAB=45°,
∴OA=OH,
∴
即一个正四边形的内切圆半径与外接圆半径之比为,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆的关系:把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.理解正多边形的有关概念.
16、
【解析】
解:∵∠ACB=30°,∠ADB=60°,
∴∠CAD=30°,
∴AD=CD=60m,
在Rt△ABD中,
AB=AD•sin∠ADB=60×=(m).
故答案是:.
17、136°.
【解析】
由圆周角定理得,∠A=∠BOD=44°,
由圆内接四边形的性质得,∠BCD=180°-∠A=136°
【点睛】
本题考查了1.圆周角定理;2. 圆内接四边形的性质.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1);;(2)点P坐标为(,).
【解析】
(1)将F(4,)代入,即可求出反比例函数的解析式;再根据求出E点坐标,将E、F两点坐标代入,即可求出一次函数解析式;
(2)先求出△EBF的面积,
点P是线段EF上一点,可设点P坐标为,
根据面积公式即可求出P点坐标.
【详解】
解:(1)∵反比例函数经过点,
∴n=2,
反比例函数解析式为.
∵的图象经过点E(1,m),
∴m=2,点E坐标为(1,2).
∵直线 过点,点,
∴,解得,
∴一次函数解析式为;
(2)∵点E坐标为(1,2),点F坐标为,
∴点B坐标为(4,2),
∴BE=3,BF=,
∴,
∴ .
点P是线段EF上一点,可设点P坐标为,
∴,
解得,
∴点P坐标为.
【点睛】
本题主要考查反比例函数,一次函数的解析式以及三角形的面积公式.
19、215.6米.
【解析】
过A点做EF的垂线,交EF于M点,过B点做EF的垂线,交EF于N点,
根据Rt△ACM和三角函数求出CM、DN,然后根据即可求出A、B两点间的距离.
【详解】
解:过A点做EF的垂线,交EF于M点,过B点做EF的垂线,交EF于N点
在Rt△ACM中,∵,
∴AM=CM=200米,
又∵CD=300米,所以米,
在Rt△BDN中,∠BDF=60°,BN=200米
∴米,
∴米
即A,B两点之间的距离约为215.6米.
【点睛】
本题主要考查三角函数,正确做辅助线是解题的关键.
20、(Ⅰ)D′(3+,3);(Ⅱ)当BB'=时,四边形MBND'是菱形,理由见解析;
(Ⅲ)P().
【解析】
(Ⅰ)如图①中,作DH⊥BC于H.首先求出点D坐标,再求出CC′的长即可解决问题;
(Ⅱ)当BB'=时,四边形MBND'是菱形.首先证明四边形MBND′是平行四边形,再证明BB′=BC′即可解决问题;
(Ⅲ)在△ABP中,由三角形三边关系得,AP<AB+BP,推出当点A,B,P三点共线时,AP最大.
【详解】
(Ⅰ)如图①中,作DH⊥BC于H,
∵△AOB是等边三角形,DC∥OA,
∴∠DCB=∠AOB=60°,∠CDB=∠A=60°,
∴△CDB是等边三角形,
∵CB=2,DH⊥CB,
∴CH=HB=,DH=3,
∴D(6﹣,3),
∵C′B=3,
∴CC′=2﹣3,
∴DD′=CC′=2﹣3,
∴D′(3+,3).
(Ⅱ)当BB'=时,四边形MBND'是菱形,
理由:如图②中,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABO=60°,
∴∠ABB'=180°﹣∠ABO=120°,
∵BN是∠ACC'的角平分线,
∴∠NBB′'=∠ABB'=60°=∠D′C′B,
∴D'C'∥BN,∵AB∥B′D′
∴四边形MBND'是平行四边形,
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°,∠NCC'=∠NC'C=60°,
∴△MC′B'和△NBB'是等边三角形,
∴MC=CE',NC=CC',
∵B'C'=2,
∵四边形MBND'是菱形,
∴BN=BM,
∴BB'=B'C'=;
(Ⅲ)如图连接BP,
在△ABP中,由三角形三边关系得,AP<AB+BP,
∴当点A,B,P三点共线时,AP最大,
如图③中,在△D'BE'中,由P为D'E的中点,得AP⊥D'E',PD'=,
∴CP=3,
∴AP=6+3=9,
在Rt△APD'中,由勾股定理得,AD'==2.
此时P(,﹣).
【点睛】
此题是四边形综合题,主要考查了平行四边形的判定和性质,菱形的性质,平移和旋转的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,解(2)的关键是四边形MCND'是平行四边形,解(3)的关键是判断出点A,C,P三点共线时,AP最大.
21、(1)证明见解析;(2)AC=4.
【解析】
(1)连接,根据切线的性质得到,根据垂直的定义得到,得到,然后根据圆周角定理证明即可;
(2)设的半径为,根据余弦的定义、勾股定理计算即可.
【详解】
(1)连接.
∵射线切于点,.
,,,,,由圆周角定理得:,;
(2)由(1)可知:,,,,,设的半径为,则,在中,,,,∴由勾股定理可知:,.
在中,,由勾股定理可知:.
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形,掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键.
22、(1)k=1、a=2、b=4;(2)s=﹣t2﹣ t﹣6,自变量t的取值范围是﹣4<t<﹣1;(3)Q(﹣,)
【解析】
(1)根据题意可得A(-4,0)代入抛物线解析式可得a,求出抛物线解析式,根据B的横坐标可求B点坐标,把A,B坐标代入直线解析式,可求k,b
(2)过P点作PN⊥OA于N,交AB于M,过B点作BH⊥PN,设出P点坐标,可求出N点坐标,即可以用t表示S.
(3)由PB∥CD,可求P点坐标,连接OP,交AC于点R,过P点作PN⊥OA于M,交AB于N,过D点作DT⊥OA于T,根据P的坐标,可得∠POA=45°,由OA=OC可得∠CAO=45°则PO⊥AB,根据抛物线的对称性可知R在对称轴上.设Q点坐标,根据△BOR∽△PQS,可求Q点坐标.
【详解】
(1)∵OA=4
∴A(﹣4,0)
∴﹣16+8a=0
∴a=2,
∴y=﹣x2﹣4x,当x=﹣1时,y=﹣1+4=3,
∴B(﹣1,3),
将A(﹣4,0)B(﹣1,3)代入函数解析式,得,
解得,
直线AB的解析式为y=x+4,
∴k=1、a=2、b=4;
(2)过P点作PN⊥OA于N,交AB于M,过B点作BH⊥PN,如图1,
由(1)知直线AB是y=x+4,抛物线是y=﹣x2﹣4x,
∴当x=t时,yP=﹣t2﹣4t,yN=t+4
PN=﹣t2﹣4t﹣(t+4)=﹣t2﹣5t﹣4,
BH=﹣1﹣t,AM=t﹣(﹣4)=t+4,
S△PAB=PN(AM+BH)=(﹣t2﹣5t﹣4)(﹣1﹣t+t+4)=(﹣t2﹣5t﹣4)×3,
化简,得s=﹣t2﹣ t﹣6,自变量t的取值范围是﹣4<t<﹣1;
∴﹣4<t<﹣1
(3)y=﹣x2﹣4x,当x=﹣2时,y=4即D(﹣2,4),当x=0时,y=x+4=4,即C(0,4),
∴CD∥OA
∵B(﹣1,3).
当y=3时,x=﹣3,
∴P(﹣3,3),
连接OP,交AC于点R,过P点作PN⊥OA于M,交AB于N,过D点作DT⊥OA于T,如图2,
可证R在DT上
∴PN=ON=3
∴∠PON=∠OPN=45°
∴∠BPR=∠PON=45°,
∵OA=OC,∠AOC=90°
∴∠PBR=∠BAO=45°,
∴PO⊥AC
∵∠BPQ+∠CBO=180,
∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC
过点Q作QS⊥PN,垂足是S,
∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR,
可求BR=,OR=2,
设Q点的横坐标是m,
当x=m时y=m+4,
∴SQ=m+3,PS=﹣m﹣1
∴,解得m=﹣.
当x=﹣时,y=,
Q(﹣,).
【点睛】
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会添加常用辅助线,构造特殊四边形解决问题.
23、 (8+8)m.
【解析】
利用∠ECA的正切值可求得AE;利用∠ECB的正切值可求得BE,由AB=AE+BE可得答案.
【详解】
在Rt△EBC中,有BE=EC×tan45°=8m,
在Rt△AEC中,有AE=EC×tan30°=8m,
∴AB=8+8(m).
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题,要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形.
24、(1)A类图书的标价为27元,B类图书的标价为18元;(2)当A类图书每本降价少于3元时,A类图书购进800本,B类图书购进200本,利润最大;当A类图书每本降价大于等于3元,小于5元时,A类图书购进600本,B类图书购进400本,利润最大.
【解析】
(1)先设B类图书的标价为x元,则由题意可知A类图书的标价为1.5x元,然后根据题意列出方程,求解即可.
(2)先设购进A类图书t本,总利润为w元,则购进B类图书为(1000-t)本,根据题目中所给的信息列出不等式组,求出t的取值范围,然后根据总利润w=总售价-总成本,求出最佳的进货方案.
【详解】
解:(1)设B类图书的标价为x元,则A类图书的标价为1.5x元,
根据题意可得,
化简得:540-10x=360,
解得:x=18,
经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意,
则A类图书的标价为:1.5x=1.5×18=27(元),
答:A类图书的标价为27元,B类图书的标价为18元;
(2)设购进A类图书t本,总利润为w元,A类图书的标价为(27-a)元(0<a<5),
由题意得,,
解得:600≤t≤800,
则总利润w=(27-a-18)t+(18-12)(1000-t)
=(9-a)t+6(1000-t)
=6000+(3-a)t,
故当0<a<3时,3-a>0,t=800时,总利润最大,且大于6000元;
当a=3时,3-a=0,无论t值如何变化,总利润均为6000元;
当3<a<5时,3-a<0,t=600时,总利润最大,且小于6000元;
答:当A类图书每本降价少于3元时,A类图书购进800本,B类图书购进200本时,利润最大;当A类图书每本降价大于等于3元,小于5元时,A类图书购进600本,B类图书购进400本时,利润最大.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题,解答本题的关键在于读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程和不等式组求解.
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