贵州省毕节市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-05解答题中档题、提升题知识点分类

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贵州省毕节市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-05解答题中档题、提升题知识点分类
一．二次函数综合题
1．（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2020•毕节市）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为　 　，顶点坐标为　 　；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．

二．三角形综合题
4．（2020•毕节市）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．

（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：　 　．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
三．平行四边形的判定与性质
5．（2022•毕节市）如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．


四．切线的判定与性质
6．（2020•毕节市）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．

五．三角形的内切圆与内心
7．（2021•毕节市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．

六．旋转的性质
8．（2021•毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．

七．相似三角形的判定与性质
9．（2022•毕节市）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BD；
（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．

八．列表法与树状图法
10．（2022•毕节市）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x＜90为网络安全意识强，x＜80为网络安全意识一般）．
收集整理的数据制成如下两幅统计图：

分析数据：

平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
11．（2021•毕节市）学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明一共抽样调查了 　 　名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？
（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．

参考答案与试题解析
一．二次函数综合题
1．（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　（1，0）　，点D的坐标为 　（2，﹣1）　，抛物线的解析式为 　y＝x2﹣4x+3　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，
∴9﹣12+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，x2﹣4x+3＝0，
∴x＝3或x＝1，
∴A（1，0），
∵D是抛物线的顶点，
∴D（2，﹣1），
故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
（2）当m+2＜2时，即m＜0，
此时当x＝m+2时，y有最小值，
则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，
解得m＝，
∴m＝﹣；
当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，
则m2﹣4m+3＝，
解得m＝或m＝，
∴m＝；
当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；
综上所述：m的值为或﹣；
（3）存在，理由如下：
A（1，0），C（0，3），
∴AC＝，
设AC的中点为E，则E（，），
设P（2，t），
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PE＝AC，
∴＝，
∴t＝2或t＝1，
∴P（2，2）或P（2，1），
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．
2．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0）．
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，
令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，
∵该抛物线与直线BC始终有交点，
∴Δ＝9﹣4h≥0，
∴h≤．
∴h的最大值为．
（3）存在，理由如下：
由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，
∴E（2，﹣1），
∴DE＝2，
设点M（m，﹣m2+4m﹣3），
若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分一下两种情况：
①当DE为边时，DE∥MN，
则N（m，m﹣3），
∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，
∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．
∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．
②当DE为对角线时，
设点N的坐标为t，
则N（t，t﹣3），
∴，
解得m或（舍），
∴N（3，0）．
综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．
3．（2020•毕节市）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为　y＝﹣x2+x+4　，顶点坐标为　（4，）　；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
∵：y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣4）2+，
∴顶点坐标为（4，）
故答案为：y＝﹣x2+x+4，（4，）；
（2）点N在直线AC上，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，
∴点A（0，4），即OA＝4，
∵点B（8，4），
∴AB∥x轴，AB＝8，
∴AB⊥AO，
∴∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAM＝90°，
∵AM⊥OB，
∴∠BAM+∠B＝90°，
∴∠B＝∠OAM，
∴tan∠B＝tan∠OAM＝＝＝，
∵将Rt△OMA沿y轴翻折，
∴∠NAO＝∠OAM，
∴tan∠NAO＝tan∠OAM＝，
∵OC＝2，OA＝4，
∴tan∠CAO＝＝，
∴tan∠CAO＝tan∠NAO，
∴∠CAO＝∠NAO，
∴AN，AC共线，
∴点N在直线AC上；
（3）∵点B（8，4），点O（0，0），
∴直线OB解析式为y＝x，
∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，
∴AF∥OB，
∴直线AF的解析式为：y＝x+4，
联立方程组：
解得：或
∴点F（，），
∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，
∴Rt△OMA≌Rt△DEF，OA＝DF，OA∥DF
∴S△OMA＝S△DEF，四边形OAFD是平行四边形，
∵四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF+S△DEF＝S四边形AMDF+S△OAM＝S四边形OAFD，
∴四边形AMEF的面积＝S四边形OAFD＝4×＝22．
二．三角形综合题
4．（2020•毕节市）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．

（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：　x2+5x+6＝（x+3）（x+2）　．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
【解答】解：（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），
所以x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
故答案为：x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，
∴CH＝＝＝；
答：CH的长为；
（3）证明：如图（4），
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC，
∴AB•CH＝AB•OM+AC•ON，
∵AB＝AC，
∴CH＝OM+ON．
即OM+ON＝CH．
三．平行四边形的判定与性质
5．（2022•毕节市）如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．


【解答】（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：连接DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OD，
∴DO＝DC，
∵点F是OC的中点，
∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，
∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，
∴DG＝FG＝AD＝7.5，
∵点E，点F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四边形GEFD是平行四边形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周长为24．

四．切线的判定与性质
6．（2020•毕节市）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．

【解答】（1）证明：连接OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴＝，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC＝＝＝，
∴CD＝＝＝，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝．

五．三角形的内切圆与内心
7．（2021•毕节市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．

【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
又∵∠CAD与∠CBD所对弧为，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
即∠BED＝∠DBE，
故DB＝DE．
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴①，
∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x，
由（1）可得DB＝DE＝4+x，
则①式化为，
解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符题意，舍去），
则DB＝4+x＝4+2＝6．
六．旋转的性质
8．（2021•毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．

【解答】证明（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BFC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE；

（2）AF∥CD，理由如下：
如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴AG＝AH，
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE，
又∵∠BFE＝90°，
∴∠AFD＝45°，
∵∠BDC＝135°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴AF∥CD．
七．相似三角形的判定与性质
9．（2022•毕节市）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BD；
（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．

【解答】（1）证明：连接OE，如图，

∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC．
∵AC⊥BC，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠F．
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠BDE＝∠F，
∴BD＝BF；
（2）解：连接BE，如图，

∵∠BDE＝∠F，
∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，
∵CF＝1，tan∠F＝，
∴CE＝2．
∵BD是⊙O直径，
∴∠BED＝90°，
∴BE⊥EF．
∵EC⊥BF，
∴△ECF∽△BCE，
∴，
∴EC2＝BC•CF．
∴BC＝4．
∴BF＝BC+CF＝5．
∴BD＝BF＝5，
即⊙O的直径为5．
八．列表法与树状图法
10．（2022•毕节市）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x＜90为网络安全意识强，x＜80为网络安全意识一般）．
收集整理的数据制成如下两幅统计图：

分析数据：

平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝　83　，b＝　85　，c＝　70　；
（2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
【解答】解：（1）甲组的平均数a＝＝83（分），
将乙组的10名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85（分），即中位数b＝85，
乙组10名同学成绩出现次数最多的是70分，共出现4次，因此众数是70分，即c＝70，
故答案为：a＝83，b＝85，c＝70；
（2）500×＝200（人），
答：该校八年级500名学生中网络安全意识非常强的大约有200人．；
（3）甲组1名，乙组2名满分的同学中任意选取2名，所有可能出现的结果如下：

共有6种可能出现的结果，其中两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有4种，
所以两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为＝．
11．（2021•毕节市）学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明一共抽样调查了 　40　名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为 　18°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？
（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为22÷55%＝40（名），
表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝18°，
故答案为：40、18°；
（2）C组人数为40﹣（4+22+2）＝12（名），
补全图形如下：

（3）估计该校最近一周睡眠时长不足8小时的人数约为1400×＝140（名）；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率为＝．