2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的值是(    )

A.  B.  C.  D. 以上均不正确

2. 下列调查方式，你认为最合适全面调查的是(    )

A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准
B. 乘坐地铁前的安检
C. 了解广西壮族自治区中学生视力情况
D. 了解全国中学生观看冬奥会节目的情况

3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若，则下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 小红购买了一本数学和数学家的故事，两位小伙伴想知道书的价格，小红让他们猜，小华说：“不少于元”，小强说：“少于元”，小红说：“你们两个人说的都没有错”，则这本书的价格元所在的范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点若点位于第四象限，则、的取值范围分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 将一块含角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中，，点落在直线上，点落在直线上，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人就分不到本，这些书的本数和人数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9. 若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 我国明代数学家程大位所著算法统宗中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有人，小和尚有人．则下列方程或方程组中，正确的有(    )
    ；
    ；
    ；
    ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 写出一个在和之间的无理数______．
12. 在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是______．

13. 如图，雷达探测器测得，，三个目标．如果，的位置分别表示为，则目标的位置表示为______．

14. 用个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图，也可以拼成如图那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则一个小长方形的面积是______．

15. 已知关于，的方程组以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的序号是______．
16. 对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，，若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解不等式组．
    请按下列步骤完成解答：
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；
    Ⅳ原不等式组的解集为______．

18. 解下列方程组：
    ；
    ．
19. 如图，已知，，判断与位置关系并说明理由？

20. 某中学举行了一次庆祝建党周年知识竞赛．比赛结束后，老师随机抽取了部分参赛学生的成绩取整数，满分分作为样本，整理并绘制成如图不完整的统计图表．分数段频数频率

请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
表格中______；______．
把频数分布直方图补充完整．
全校共有名学生参加比赛，请你估计成绩不低于分的学生人数．

21. 平面直角坐标系内，已知，，，平移线段得到对应线段点与点对应．
    画出平移后的线段，并写出点坐标；
    求四边形的面积；
    若线段交轴于点，请直接写出点的坐标．

22. 春茶是咸丰的支柱产业之一，我县某茶厂清明前生产、两种茶叶，若生产千克种茶叶和千克种茶叶，共需投入成本元；若生产千克种茶叶和千克种茶叶，共需投入成本元．
    每千克，两种茶叶的生产成本分别是多少元？
    经测算，种茶叶每千克可获利元，种茶叶每千克可获利元，该厂准备用万元资金生产这两种茶叶．设生产种茶叶千克，总获利为元，且要求生产种茶叶量不少于种茶叶量的倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．
23. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图、图中，都有，设镜子与的夹角．
    如图，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
    如图，若，入射光线与反射光线的夹角探索与的数量关系，并说明理由．
    如图，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．可用含有的代数式表示
     

24. 在平面直角坐标系中，已知点，，，，，满足．
    若，求三角形的面积；
    将线段向右平移个单位，使平移后的三角形的面积小于，求的取值范围；
    若点，连接，将线段向右平移个单位，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
的算术平方根为．
本题主要考查算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为．
 

2.【答案】 

【解析】解：检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.乘坐地铁前的安检，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
C.了解广西壮族自治区中学生视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.了解全国中学生观看冬奥会节目的情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
故选：．
先解出不等式的解集，即可判断哪个选项中的解集符合题意．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，故A不符合题意；
B.，
，故B不符合题意；
C.，不妨设，，
则，故C符合题意；
D.，
，故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
即．
故选：．
根据小红和小强的说法都没有错，即可得出的取值范围，此题得解．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，，
，
故选：．
构建不等式解决问题．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图：

，
．
由三角形外角的性质知：，
，
故选：．
根据平行线的性质知，再由三角形外角的性质知，进而可求出．
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形熟练利用平行线的性质进行角的计算和转化．
 

8.【答案】 

【解析】解：设人数为个，则书有本，
前面的每名同学分本，那么最后一人就分不到本，
，
解得，
为整数，
，
，
答：书有本，人数为个．
故选：．
设人数为个，根据前面的每名同学分本，那么最后一人就分不到本，可得，即可解得书有本，人数为个．
本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出不等式组．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程组的解为，
方程组中，
，
解得：，
故选：．
根据方程组的解，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设大和尚有人，小和尚有人，
依题意，得：；
，
或．
正确．
故选：．
设大和尚有人，小和尚有人，根据个和尚分个馒头且大和尚人分个馒头、小和尚人分一个馒头，即可得出关于，的二元一次方程组，变形后可得出或，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或一元一次方程是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
故答案为：答案不唯一．
估算无理数的大小，写出一个答案即可．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抽取了名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有人，
测试结果为“健康”的频率是：．
故答案为：．
根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比，即频率频数总数，进而得出答案．
此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，的位置分别表示为，则目标的位置表示为 ，
故答案为：．
根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案．
本题考查了坐标确定位置，利用圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设每个小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
则每个小长方形的面积
故答案为：．
设每个小长方形的长为，宽为，观察图形，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，原方程组可整理得：，
解得：，
把代入得：．
即正确；
，
由得：，
若，则，
解得：，
即存在实数，使得，
即正确；
解方程组，
得，
，
不论取什么实数，的值始终不变，
故正确；
解方程组，
得，
若
，
故错误．
所以正确的序号是．
故答案为．
直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，，
解得：，，
，解得，
，解得，
关于的不等式组恰好有个整数解，
，
，
实数的取值范围是，
故答案为：．
根据已知得出关于、的方程组，求出、的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出的范围．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出、的值是解此题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式组，
请按下列步骤完成解答：
Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；

Ⅳ原不等式组的解集为；
故答案为：Ⅰ；
Ⅱ；
Ⅲ数轴表示见解答；
Ⅳ．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为；
，
得：，即，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，以及解三元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
即，
． 

【解析】根据平行线的性质得到，进而得到，即可判定．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：人，
，
，
故答案为：，，

补全频数分布直方图如图所示：


人，
答：全校名学生中成绩不低于分的学生有人．
在第一组的有人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出、的值；
由，可补全频数分布直方图；
样本估计总体，样本中分以上占，因此求人的即可．
本题考查频数分布直方图，理解统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
 

21.【答案】解：如图，线段即为所求；
四边形的面积；
设直线的解析式为，
，，
则有，解得，
直线的解析式为，

 

【解析】利用平移变换的性质作出点的对应点即可；
利用割补法求出四边形面积即可；
求出直线的解析式，可得结论．
本题考查作图平移变换，四边形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会根据一次函数，确定点的坐标，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解设每千克种茶叶生产成本元，每千克种茶叶生产成本元，
则：，
解得：，
答：每千克种茶叶生产成本元，每千克种茶叶生产成本元；

生产种茶叶千克，则生产种茶叶量为：，
根据题意：，
由题意得：，
随的增大而减小，而，
当时，最大，
，
此时：，
答：生产种茶叶千克，种茶叶千克时总获利最大，最大利润为元． 

【解析】直接利用“生产千克种茶叶和千克种茶叶，共需投入成本元，生产千克种茶叶和千克种茶叶，共需投入成本元”分别得出等式求出答案；
根据生产种茶叶千克，表示出生产种茶叶量，进而得出不等关系，进而利用一次函数增减性得出函数最值求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等式是解题关键．
 

23.【答案】解：，理由如下：
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
；
，理由如下：
在中，，
，
，，
，
，
同理可得，，
在中，，




；
或．
理由如下：当时，如下图所示：

，
，
，
，
，
，
则，
则，
由内角和，得．
当时，如果在边反射后与平行，则，
与题意不符；
则只能在边反射后与平行，
如下图所示：

根据三角形内角和定理推出，得
，
由，且由的结论可得，
，
则．
综上所述：的度数为：或． 

【解析】在中，，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得；
在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，，在中，，可得与的数量关系；
分两种情况画图讨论：当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形内角和定理推出，可得，由，且由的结论可得，．
本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
 

24.【答案】解：，，满足．
，
，，
当时，，，，如图，
轴，
，
三角形的面积为；
如图，延长交轴于，
，，
直线解析式为，
当时，，
点向下平移个单位，再左平移到点，
点向下平移个单位，再向左平移个单位到点，

，，，
线段向右平移个单位得到，
，，
当点在点左边时，



，
线段向右平移个单位到达处，使三角形的面积小于，
，
，
当点在点右边时，



，
线段向右平移个单位，使三角形的面积小于，
，
，
综上所述：的取值范围是或；
如图，，，

将线段向右平移个单位得到线段，
，，
，，
点向上平移个单位，再向右平移个单位到点，
点每向上平移一个单位，再向右移动一个单位得到的点必在线段上，
当线段平移到端点和线段相交时，
即：点在线段上，此时点向上平移个单位，再先右平移个单位得到点，
，
，
当线段平移到端点和线段相交时，
即：点在线段上，此时点向上平移个单位，再先右平移个单位得到点，此时点与点重合，
，
，
线段与线段有公共点，
，
故答案为：． 

【解析】先求，，满足可得，进而得出，；
先求出，，判断出轴，进而用三角形的面积公式即可得出结论；
延长交轴于，根据平移得出点的坐标，再分两种情况，得出的面积，再用平移后的三角形的面积小于，即可得出结论；
先表示出点，平移后对应的点，坐标，最后用点，分别落在线段上，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，解方程组的方法，解不等式，找出分界点是解本题的关键．