2021-2022学年福建省福州市平潭县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州市平潭县八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各点中，在函数的图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )

A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形

4. 已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是(    )

A.  B.  C.  D. 或

5. 在下列命题中，正确的是(    )

A. 一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6. 对于任意实数，关于的方程的根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定

7. 若一次函数都是常数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图是小明和小华射击成绩的统计图，两人都射击了次，下列说法正确的是(    )

A. 小明成绩的方差比小华成绩的方差大
B. 小明和小华成绩的众数相同
C. 小明成绩的中位数比小华成绩的中位数大
D. 小明和小华的平均成绩相同

9. 对任意实数，直线一定经过点(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：平分；平分；；其中正确结论的个数为(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 当 ______ 时，二次根式有意义．
12. 如图，已知，数轴上点对应的数是______．

13. 在一次投篮比赛中，某小组名同学的成绩单位：分分别是：，，，，，，，，则这组数据的中位数是______ ．
14. 直线和的交点的横坐标为，则______．
15. 直线：分别交轴、轴于、两点，直线：分别交轴、轴于、两点，在直线上存在一点，能使得，则满足条件的点的坐标为______．

16. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线：点，过点作轴的平行线交直线于点，以，，为顶点构造矩形；再过点作轴平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以，，为顶点构造矩形；；照此规律，直至构造矩形，则矩形的周长是______．

三．解答题（本题共9小题，共86分）

17. 解方程：
    ；
    ．
18. 已知，，求和的值．
19. 如图，在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？
     

20. 如图，矩形的对角线相交于点，，．
    求证：四边形是菱形．

21. 某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才，笔试中包括专业水平和创新能力考察，他们的成绩百分制如下表：

若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照：：：的比确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？
若公司根据经营性质和岗位要求认为：面试成绩中形体占，口才占，笔试成绩中专业水平占，创新能力占，那么你认为该公司应该录取谁？

22. 如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，，交于点．
    求点的坐标；
    求直线的解析表达式；
    求的面积．

23. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进、两种花草，第一次分别购进、两种花草棵和棵，共花费元；第二次分别购进、两种花草棵和棵．两次共花费元两次购进的、两种花草价格均分别相同．
    、两种花草每棵的价格分别是多少元？
    若购买、两种花草共棵，且种花草的数量少于种花草的数量的倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
24. 如图，在正方形中，点是边上一个动点，连结，以为边，在右侧作，且，，与交于点．
    
    当时，求证：≌；
    在点的运动过程中．
    判断的大小是否发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由；
    如图，连接，，探索四边形面积的变化规律．
25. 如图，平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴正半轴于点．
    求点的坐标；
    如图，直线交轴负半轴于点，，为线段上一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；
    在的条件下，为延长线上一点，且，在直线上方的直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标及的长度；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
D、，是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，把点代入函数关系式：，故此点不在函数图象上；
，把点代入函数关系式：，故此点不在函数图象上；
，把点代入函数关系式：，故此点在函数图象上；
，把点代入函数关系式：，故此点不在函数图象上；
故选：．
只要把个点的坐标分别代入函数关系式，满足关系式的则在此函数图象上．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是把点的坐标代入函数关系式，满足关系式的则在此函数图象上，反之，则不在．
 

3.【答案】 

【解析】解：
四边形是平行四边形，
当或时，四边形为菱形，故A、结论正确；
当时，四边形为矩形，故C结论正确；
当时，四边形为矩形，故D结论不正确，
故选：．
分别根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可．
本题主要考查菱形、矩形和正方形的判定，掌握菱形、矩形、正方形是特殊的平行四边形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：分两种情况：、都为直角边，由勾股定理得，斜边为；
为直角边，为斜边，由勾股定理得，直角边为第三边长的平方是或，
故选：．
已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项错误．
故选：．
本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：
，
方程无实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：一次函数过一、二、四象限，
则函数值随的增大而减小，因而；
图象与轴的正半轴相交则，
因而一次函数的一次项系数，
随的增大而增大，经过一三象限，
常数项，则函数与轴负半轴相交，
因而一定经过一三四象限，
故选：．
根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定，的取值范围，再根据，的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值随的增大而减小；函数值随的增大而增大；
一次函数图象与轴的正半轴相交，一次函数图象与轴的负半轴相交，一次函数图象过原点．
 

8.【答案】 

【解析】解：由折线统计图可知小华射击成绩的方差大于小明射击成绩的方差，
小明射击次的成绩分别为：环、环、环、环、环、环、环、环、环、环，
小明射击成绩的众数为：环，
小明射击成绩的中位数为：环，
小明射击成绩的平均数为：环，
小华射击次的成绩分别为：环、环、环、环、环、环、环、环、环，
小华射击成绩的众数为：环，
小华射击成绩的中位数为：环，
小华射击成绩的平均数为：环，
小华和小明成绩的中位数相同、他们的中位数也相同、小明的平均成绩大于小华的平均成绩，
故选：．
根据折线统计图虚线表示小明的射击成绩，实现表示小华的射击成绩，可看出小明成绩的上下起伏比小华的小，从而推出小华成绩的方差大于小明成绩的方差，再结合折线统计图及中位数、众数和平均数的定义，进行求解可知小华和小明成绩的中位数相同、他们的中位数也相同、小明的平均成绩大于小华的平均成绩，进而得出正确选项．
本题考查折线统计图、加权平均数、中位数、众数及方差，应充分理解折线统计图、加权平均数、中位数、众数及方差的概念，从其定义出发结合题意进行求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
直线一定经过平面内一个定点，
故选：．
先将一次函数解析式变形，得，当时，函数与的取值无关，即可确定．
本题考查了一次函数上点的坐标特征，理解题意直线过定点也即函数与的取值无关是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】
证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，正确；
，，
，
平分，正确；
，
，
，
，
，
正确；
，，
垂直平分，即垂直平分，
，故正确．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，解得．
故填．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
，
又点在原点的左侧，
点所表示的数为，
故答案为：．
根据勾股定理求出的长，即的长，再根据实数的意义求出答案．
本题考查数轴，理解数轴表示数的方法是正确解答的前提，确定一个数的符号和绝对值是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，
由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故答案为：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
此题主要考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入，，可得：
解得：，
故答案为：．
由题意得到，即可求得的值．
本题考查了两条直线的交点问题，解题的关键是知道交点坐标同时符合两个解析式．
 

15.【答案】或或． 

【解析】解：直线分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点，
，，，，
，，，

当在轴的下方时，如图，设，作轴于，
，
，
，解得，
；

当在轴的下方时，如图，设，作轴于，
当在轴的下方时，如图，设，作轴于，
当在轴的下方时，如图，设，作轴于，
，
，
解得，故．
当在轴的下方时，如图，设，作轴于，
，
，
，解得，
．
综上，在直线上存在一点，使得，此时的坐标为或．
故答案为：或或．
分两种情况分别讨论：当在轴的下方时，设，根据，列出关于的方程，解方程即可；当在轴的上方时，设，根据列出关于的方程，解方程即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，作出辅助线构建梯形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线：与轴正半轴夹角，
轴，轴，，轴，
轴，轴，，轴，
四边形；；矩形都是正方形，
，，，在直线：上，
，，，，
，
，
，
，
的周长；
故答案为；
根据直线与轴的成角和已知，可以判断是正方形，再由直线平行内错角相等得到，，，，可以求得，所以，即可求解；
本题考查一次函数图象及性质，直角三角形的性质；利用直线与轴的成角，平行线的性质，在直角三角形中利用角的关系得到边的关系是解题的关键．
 

17.【答案】解：方程整理得：，
分解因式得：，即，
所以或，
解得：，；
方程整理得：，
这里，，，
，
，
解得：，． 

【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，，
；
． 

【解析】先计算除，，再利用完全平方公式和通分得到，，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．注意使用整体代入的方法计算．
 

19.【答案】解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处． 

【解析】本题考查勾股定理的实际运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
根据题意设，再由勾股定理列出方程求解即可．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形． 

【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
 

21.【答案】解：形体、口才、专业水平、创新能力按照：：：的比确定，
则甲的平均成绩为，
乙的平均成绩为，
显然乙的成绩比甲的高，
所以应该录取乙
面试成绩中形体占，口才占，笔试成绩中专业水平占，创新能力占，
则甲的平均成绩为，
乙的平均成绩为，
显然甲的成绩比乙的高，所以应该录取甲． 

【解析】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求形体、口才、专业水平、创新能力成绩的平均数，对平均数的理解不正确．
根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数．
 

22.【答案】解：由，令，得，
，
；

设直线的解析表达式为，
由图象知：，；
，，
，
，
直线的解析表达式为；
由，
解得，
，
，
． 

【解析】此题考查的是一次函数的图像，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．
已知的解析式，令求出的值即可；
设的解析式为，由图联立方程组求出，的值；
联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出．
 

23.【答案】解：设种花草每棵的价格元，种花草每棵的价格元，根据题意得：
，
解得：，
种花草每棵的价格是元，种花草每棵的价格是元．

设种花草的数量为株，则种花草的数量为株，
种花草的数量少于种花草的数量的倍，
，
解得：，
是正整数，
，
购买花草总费用为，
，
随的增大而增大，
当时，元．
答：购进种花草的数量为株、种株时，费用最省，最省费用是元． 

【解析】本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用．
设种花草每棵的价格元，种花草每棵的价格元，根据第一次分别购进、两种花草棵和棵，共花费元；第二次分别购进、两种花草棵和棵，两次共花费元列出方程组，即可解答．
设种花草的数量为株，则种花草的数量为株，根据种花草的数量少于种花草的数量的倍，得出的范围，设总费用为元，根据总费用两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；

解：结论：；
理由：如图中，过点作交的延长线于点．

，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
．

结论：四边形面积是定值．
理由：过点作于点，设，则，
．
四边形的面积不变，是定值． 

【解析】根据证明≌即可；
结论：如图中，过点作交的延长线于点证明是等腰直角三角形即可；
结论：四边形面积是定值．过点作于点，设，则，推出可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

25.【答案】解：交轴于点，
，，
直线解析式为，
令，，；
，，
，，
，
，
，
点，
设直线解析式为，
，

直线解析式为，
在直线上，
可设点，
轴，且点在 上，
，
；
过点作于，
，
轴，
，
，
，
在与中，，
≌，
，，
过点作于，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，可设，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
即 
在直线：上，
，
，
，，
，，
． 

【解析】由于交轴于点，解方程于是得到结论；
根据勾股定理得到，得到点，设直线解析式为，解方程组得到直线解析式为，由于在直线上，可设点，即可得到结论；
过点作于，根据全等三角形的性质得到，，过点作于，过点作于点，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，可设，根据全等三角形的性质得到，，得到 根据在直线：上，得到方程求得，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．