2021-2022学年安徽省合肥市长丰县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市长丰县八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列的式子一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

6. 下列说法中不正确的是(    )

A. 三个角度之比为：：的三角形是直角三角形
B. 三边之比为：：的三角形是直角三角形
C. 三个角度之比为：：的三角形是直角三角形
D. 三边之比为：：的三角形是直角三角形

7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8. 如图为在某居民小区中随机调查的户家庭一年的月均用水量单位：的条形统计图，则这户家庭月均用水量的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9. 如图，在中，延长至，使得，过中点作点位于点右侧，且，连接若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、若，，则的长为(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 点在第二象限，化简 ______ ．
12. 若，，则______．
13. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为______．
14. 如图，正方形中，对角线，是上任意一点，由点作，，垂足分别为、点，则的值为______．

15. 如图，在梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动，点、分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
    经过______，四边形是平行四边形．
    经过______，四边形是矩形．

三．解答题（本题共7小题，共55分）

16. 计算：．
17. 用配方法解方程：．
18. 观察下列
    各式：，，，
    猜想并写出第个等式；
    证明你写出的等式的正确性．
19. 如图，用长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为米的两扇小门．
    设花圃的一边长为米，请你用含的代数式表示另一边的长为______米；
    若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽．
     

20. 如图所示，某人到岛上去探宝，从处登陆后先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再转向北走到处往东一拐，仅走就找到宝藏．问登陆点与宝藏埋藏点之间的距离是多少？

21. 某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是这个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题：
    
    根据统计图，求这名工人加工出的合格品数的中位数；
    写出这名工人加工出的合格品数的众数的可能取值；
    厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于件为技能合格，否则，将接受技能再培训．已知该厂有同类工人名，请估计该厂将接受技能再培训的人数．
22. 如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，．
    求证：≌；
    小亮同学经过探究发现：请你帮助小亮同学证明这一结论．
    若，判定四边形是否为菱形，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、当时，，无意义，故本选项错误；
B、当时，无意义；故本选项错误；
C、，符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当时，，无意义；故本选项错误；
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项作出判断即可．
本题考查了二次根式的定义．一般形如的代数式叫做二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是，因为；
B、不是，因为，，不是正整数；
C、不是，因为；
D、是，因为且、、是正整数．
故选：．
根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．
此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：正多边形的一个内角是，
该正多边形的一个外角为，
多边形的外角之和为，
边数，
这个正多边形的边数是．
故选：．
根据正多边形的一个内角是，则知该正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角之和为，即可求出正多边形的边数．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为，此题难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程：移项、二次项系数化为，配方，开方．根据配方法，可得方程的解．
【解答】

解：，
移项，得，
配方，得．
故选D．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，且，
．
故选：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

6.【答案】 

【解析】解：不正确，因为根据三角形内角和定理求得各角的度数，其中没有直角；
B正确，因为其三边符合勾股定理的逆定理；
C正确，根据内角和公式求得三角的度数，有直角；
D正确，因为其三边符合勾股定理的逆定理；
故选：．
根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
判定直角三角形可用勾股定理的逆定理或用求角中是否有角等于度来判定．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是，
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，
这组数据的中位数是，
故选：．
根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量，然后根据中位数和众数的概念进行求解．
本题主要考查了条形统计图的运用及中位数和众数的计算方法，关键是掌握中位数的定义．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是解答本题的关键．
取的中点，连接，根据三角形的中位线定理得：，设，则，证明四边形是平行四边形，可得．
【解答】
解：取的中点，连接，

是的中点，
是的中位线，
，
设，则，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：矩形对边，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形是菱形，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据矩形的对边相等可得，然后求出，从而得解．
本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出是等边三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
，，
，
故答案为：．
先根据象限求出、的范围，再根据二次根式的性质开出来即可．
本题考查了二次根式的性质，象限的应用，注意：当时，，当时，．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，


，
故答案为：．
利用多项式乘多项式的法则，可得，然后代入进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，，
即直角三角形的两条直角边的长分别为，，
所以直角三角形的斜边长为．
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两条直角边的长分别为，，然后利用勾股定理计算直角三角形的斜边长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了勾股定理．
 

14.【答案】 

【解析】解：已知正方形中，对角线，是上任意一点，由点作，，
，
四边形为矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又正方形中，对角线，
．
故答案为：．
由，和正方形，得四边形为矩形，再证明是等腰直角三角形，所以，从而求出的值．
此题考查的是正方形的性质，关键是由已知得四边形为矩形，并确定所求线段的和为．
 

15.【答案】   

【解析】解：设经过时，四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
即经过时，四边形是平行四边形，
故答案为：；

设经过时，四边形是矩形，
，，，
，
，
，
即经过时，四边形是矩形．
故答案为：．
设经过时，四边形是平行四边形，根据，代入后求出即可；
设经过时，四边形是矩形，根据，代入后求出即可．
本题考查了梯形性质，平行四边形和矩形的性质的应用，注意：平行四边形的对边相等，矩形的对边相等．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程配方法：先把二次项系数化为，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：观察题目所给的规律易得出：
取整数；
左式：，
右式：，
左式右式，故猜想成立． 

【解析】通过观察规律得出第个等式的式子．
本题利用算术平方根的概念考查了数字规律的变化问题，观察出被开方数的整数部分与分数部分的是解题的关键．
 

19.【答案】解：；
由题意可得：，
解得：；，
当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意．             
答：花圃的长为米，宽为米． 

【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，用未知数表示出线段的长是解题的关键．
用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出的长；
由在上用其他材料造了宽为米的两个小门，故长边为，令面积为，解得．
【解答】
解：设宽为，
则长米；
见答案．
 

20.【答案】解：过点作于，则，，
在中，由勾股定理求得．
所以登陆点与宝藏埋藏点之间的距离是． 

【解析】本题需要把实际问题转化为数学模型，过点作过点的直线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理完成．
本题的关键是把实际问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解．
 

21.【答案】解：把合格品数从小到大排列，第，个数都为，
中位数为；

众数要看剩余的人可能落在哪里，有可能合格品是的有人，合格品是的有人，或合格品是的有人，合格品是的有人，所以推出，，；和；和都可能为众数．
故众数可能为，，；和；和；

这名工人中，合格品低于件的人数为人，
故该厂将接受再培训的人数约有人． 

【解析】将合格品数从小到大排列，找出第与个数，求出平均数即可求出中位数；
众数的话要看剩余的人可能落在哪里，有可能合格品是的有人，合格品是的有人，或合格品是的有人，合格品是的有人，所以推出，，都可能为众数；
名工人中，合格品低于件的有人，除以人求出百分比，再乘以即可求出所求．
此题考查了条形统计图，用样本估计总体，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是的中点，，
是的中点，
是线段的垂直平分线，
，，
，
≌；
证明：过点作于，
，而，
≌，
，
由可得，
≌，
，
；
四边形是菱形，
证明：，
，
，
，
由得，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形． 

【解析】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．
依据条件得出，，依据是的中点，，即可得到是线段的垂直平分线，进而得到，，利用即可判定≌；
过点作于，判定≌，可得，由可得，即可得到≌，依据，即可得出；
依据，可得，进而得到，故AE，再根据四边形是平行四边形，即可得到四边形是菱形．