湖南师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题及参考答案

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湖南师大附中2021-2022学年度高二第二学期期中考试
数学
一､选择题（共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 若集合，则集合的子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，求得集合，进而求得集合的子集个数，得到答案.
【详解】由，可得，解得，
所以集合，所以集合的子集个数为.
故选：B.
2. 已知复数z满足，则复数z在平面内对应点所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件结合复数的除法运算求出复数z即可判断作答.
【详解】因，则，则复数z在平面内对应点坐标为，
所以复数z在平面内对应点所在象限是第一象限.
故选：A
3. 把函数的图象向左平移，可以得到的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数平移变化可求得平移后的解析式,结合诱导公式化简即可得解.
【详解】把函数的图象向左平移
可得
由诱导公式化简可得
故选:C
【点睛】本题考查了三角函数图象平移变换,诱导公式的简单应用,属于基础题.
4. 已知，则等于（ ）
A B. C. e D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式先求出，再求出即可.
【详解】∵，，又，∴.
故选：C
5. 已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】向量，向量，
，
，且，
的夹角为.
故选：D.
6. 如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（ ）

A. 相互垂直的相交直线
B. 相互垂直的异面直线
C. 相互不垂直的异面直线
D. 夹角为60°的异面直线
【答案】B
【解析】
【分析】连接，可证直线与为异面直线，并可求其所成的角.
【详解】设，连接，

因为平面，平面，，
故直线与异面直线.
在矩形中，因为为所在棱的中点，故，
而，故，
故四边形为平行四边形，故，
所以或其补角为异面直线与所成的角，
在中，，
故，故，
故选：B
7. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简已知可得,进而利用诱导公式化简所求即可计算得解.
【详解】
.
故选：C
8. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A. 6 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点为（m，n），求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得n＝0，进而得到2a+b＝1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解】设切点为（m，n），
y＝ln（x+b）的导数为，
由题意可得=1，
又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），
解得n＝0，m＝2a，
即有2a+b＝1，因为a、b为正实数，
所以，
当且仅当时取等号，
故的最小值为8．
故选：C．
二､多选题（共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若事件A与B互相独立，且，，则
B. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 设随机变量服从正态分布，则
【答案】ABC
【解析】
【详解】若事件A与互相独立，且，，
可得，则，故A正确；
在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故B正确；
若随机变量服从二项分布，则，
，故C正确；
随机变量服从正态分布.
可得，，则，故D错误；
故选：ABC.
10. 以下四个命题表述错误的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，整理直线方程，可化为，当且时，无论取何值，方程恒成立，解方程组即可解得定点，即可判断正误；对于B，求出圆心到直线的距离，结合圆的半径，得出到直线距离为的两条直线与圆的位置关系，即可得出结论；对于C，根据两圆有四条公切线，所以两圆相离，即圆心距大于半径之和，解出的范围即可判断；对于D，当为圆心到直线垂线与直线交点时，切线最短，根据勾股定理求出即可判断正误．
【详解】对于A，因为直线，
即，
令，解得，
即直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为圆的圆心是，半径为，
则圆心到直线的距离为，
故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故B正确；
对于C，曲线，即，
圆心为，半径为，
曲线，即，
圆心，半径为，
若两圆恰有四条公切线，则两圆相离，则，
解得，故C错误；
对于D，因为，
故当最小时，最小，
又最小值为圆心到直线的距离，即，
故的最小值为，故D错误．
故选ACD．
11. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”是假命题的实数a的取值范围为
C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
D. “关于的不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得不等式的解集判断选项A；求得实数a的取值范围判断选项B；举反例否定选项C；求得使不等式在R上恒成立的m的取值范围判断选项D.
【详解】对于A，或，故A正确；
对于B，命题“，”是假命题，恒成立，，故B正确；
对于C，由“且”，可得“”成立故C错；
对于D，当时，，与条件矛盾；
当时，则有，故D对.
故选：ABD.
12. 如图，正方形ABCD与正方形DEFC的边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则以下结论正确的是( )

A. CP的最小值为
B. 的最小值为
C. 当P在直线AE上运动时，三棱锥的体积不变
D. 三棱锥的外接球表面积为
【答案】CD
【解析】
【分析】A：连接PC、PD，证明△PCD是直角三角形即可根据DP最小值求CP最小值；B：连接BF、PD、PF，将翻折到与平面共面，当､､三点共线时，取得最小值DF；C：作于，易知DH为D到平面BPF的距离，易证为定值，从而可判断三棱锥的体积变化情况；D：根据几何关系，可将三棱锥补为正方体，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，据此即可求解．
【详解】对于A，连接DP、CP，

∵，，，
∴平面，易知，
则，故A错误；
对于B，如图，连接BF、PD、PF，

将翻折到与平面共面，如图，

则当､､三点共线时，取得最小值DF，
易知，DE=EF=1，
在△DEF中，由余弦定理得，故B错误；
对于C，作于，

在直线上运动时，的面积等于矩形面积的一半，
矩形的面积为定值，故的面积是定值，
由选项A可知CD⊥平面ADE，∵EF∥AB∥CD，∴EF⊥平面ADE，
∵EF平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面ADE，
∵平面ADE∩平面ABFE=AE，DH⊥AE，DH平面ADE，∴DH⊥平面ABFE，
即点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积不变，故C正确；
对于D，将该几何体补成正方体，

则该正方体外接球即为三棱锥的外接球，其半径为R，则，∴外接球表面积为，故D正确．
故选：CD．
三､填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 已知函数为奇函数，则实数___________.
【答案】12
【解析】
【分析】利用奇函数的性质列方程去求实数的值.
【详解】依题意知为奇函数，
∴，即，
∴.经检验符合题意.
故答案为：12
14. 已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线C的焦点坐标为____________.
【答案】##(0,0.125)
【解析】
【分析】将圆M的圆心代入抛物线的方程可求得，进而可求焦点坐标.
【详解】由题可得圆的圆心为，
代入得，
将抛物线的方程化为标准方程得，
故焦点坐标为.
故答案为：.
15. 若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】设P（，）、M（x，y），根据直线的点斜式方程表示出直线PA、QB的方程，整理两直线方程可得，结合点P（，）在双曲线上可得
，进而得出曲线的方程，即可求出离心率.
【详解】设P（，），则Q（，-），
设点M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），
所以直线PA的方程为①，
直线QB的方程为②．
由①得，由②得，
上述两个等式相乘可得，
∵P（，）在双曲线上，
∴，可得，∴
∴，化简可得，
即曲线的方程为，其离心率为，
故答案为：.

16. 已知函数，若关于x方程有两个不同的零点，则实数t的取值范围为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】作出与的图像，，令，则方程为，令，作出的图像，结合图形，即可得出答案．
【详解】令，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
又，
所以作出与的图像如下：

，
令，则方程为，
则，
令，作出的图像：

当，即时，与没有交点，
所以方程无根，则无解，不合题意．
当，即时，与有1个交点，
所以方程有1个根为，则有1个解，不合题意．
当，即时，与有2个交点，
所以方程有2个根为，，
若时，则有2个解，有1个解，
所以有3个解，不合题意．
若时，则有3个解，有1个解，
所以有4个解，不合题意．
若时，则有1个解，有1个解，
所以有2个解，合题意．
因为，
所以，即，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
四､解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知数列中，，，且（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使得的的最大值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义去求数列的通项公式；
（2）先利用裂项相消法求得，再解不等式即可求得的最大值.
【小问1详解】
由题意知当时，即
又，所以是首项为公差为2的等差数列，
则.
【小问2详解】
由题知
则，
由得，解得，
所以的最大值为5.
18. 在中，角，，所对的边为，，，已知.
（1）求；
（2）若，的面积，为的中点，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解；
（2）由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，然后根据中线长定理代入数值求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理得，，因为，
所以，所以，因，
所以，又因为，所以，
所以，所以，即.
【小问2详解】
因为的面积，所以，
所以，因为，所以，
即，所以，因为为的中点，
所以，
所以，即.
故的长为.
19. 我国政府加大了对全民阅读的重视程度，推行全民阅读工作，全民阅读活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民素质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二800名学生（其中男生480名）按性别采用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，了解他们每天的阅读情况如下表：

每天阅读时间低于1
每天阅读时间不低于1
总计
男生

60

女生
20


总计


200

（1）根据统计数据完成以上2×2列联表；
（2）依据（1）中的列联表，试根据小概率值的独立性检验，能否推断该校女生和男生在每天阅读时间方面存在差异？
（3）若从抽出的200名学生中按“每天阅读时间是否低于1”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行读写测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天阅读时间不低于1的人数为，求的分布列和数学期望.
附参考数据及公式：，其中.

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析； （3）详见解析；
【解析】
【分析】（1）根据高二有800名学生（其中男生480名），得到抽取200名学生中，男生数和女生数，结合原有数据完成2×2列联表；
（2）由（1）求得，与临界值表对照下结论；
（3）根据200名学生中“每天阅读时间是否低于1”的人数为120人，得到抽取10名学生“每天阅读时间是否低于1”的人数为6人，的所有可能取值为0,1,2,3，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.
【小问1详解】
解：高二有800名学生（其中男生480名），则抽取200名学生中，男生有名，女生有80名，
2×2列联表如下：

每天阅读时间低于1
每天阅读时间不低于1
总计
男生
60
60
120
女生
20
60
80
总计
80
120
200
【小问2详解】由（1）知：，
所以能推断该校女生和男生在每天阅读时间方面存在差异；
【小问3详解】
200名学生中“每天阅读时间是否低于1”的人数为120人，因此抽取10名学生“每天阅读时间是否低于1”的人数为6人，而的所有可能取值为0,1,2,3，
,
所以的分布列为：
X
0
1
2
3
P




数学期望.
20. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点.

（1）若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若BE=BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确定点F的位置.
【答案】（1）证明见解析
（2）F为三等分点处
【解析】
【分析】（1）先证明平面，从而可证，再证明，可证明平面，即可证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标以及对应的向量坐标，并求解平面的法向量，利用向量的夹角公式代入求解.
【小问1详解】
（1）证明：由底面，可得，又在正方形中，，
且，则平面，有.
由，E为中点，可得
又，则平面，从而平面平面.
【小问2详解】
以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则.

由（1）可知为平面的法向量.
由，可知，设，则，可得.
设平面的法向量为，由，即，
取，则，即.
从而，由，解得或，即F为三等分点处.
【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21. 已知双曲线C1：，抛物线C2：（），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．
（1）求抛物线C2的方程；
（2）过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．
【答案】（1）；
（2）16.
【解析】
【分析】（1）由题设有直线l为，联立抛物线求相交弦长有，即可写出抛物线方程.
（2）由题意，可设直线AB为且，联立抛物线应用韦达定理求、坐标，再由两点距离公式求、，进而得到关于k的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【小问1详解】
由题意，双曲线实轴长，直线l方程为，
由，得，则过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2的弦长为2p，
所以，故抛物线的方程为.
【小问2详解】
因为，若直线AB、CD分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；

所以，直线AB，CD的斜率均存在且不为0，
设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为
联立，得，则，
设，则．
设，则，则即，同理得，
故，，又，
所以
当且仅当，即时等号成立，故△FPQ面积的最小值为16．
22. 设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
【答案】（I） 见解析（II） .
【解析】
【详解】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，从而判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.
试题解析：（Ⅰ）
0，
所以在区间内单调递增.
又由=0，有>0，
从而当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（Ⅰ）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令，
当时，，
因此，在区间单调递增.
又因为，所以当时，，即恒成立.
综上，.
【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题
【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．