2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列式子中，一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，、，四边形是正方形，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列是小明同学用配方法解方程的过程：
   解：，第步
   ，第步
   ，第步
   ，第步
   ，．
   最开始出现错误的是(    )

A. 第步 B. 第步 C. 第步 D. 第步

6. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，设每半年平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 为了拓展学生的视野，提升学生的综合素养，某中学组织学生参加校本课程的学习活动，下面是年月份随机抽取的名学生每月参加校本课程学习课时进行的统计：

请根据学生参加校本课程学习课时数，判断下列说法正确的是(    )

A. 样本为名学生 B. 平均数是节 C. 中位数是节 D. 众数是节

8. 已知三角形的边长是、、，则这个三角形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在▱中，、、，于点，点、分别是、的中点，连接、、、，则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在矩形中，点、、分别是边、、、上的点不与端点重合，若、，且，则四边形周长的最小值等于(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共20分）

11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是______．
12. 如图，在六边形中，若，则______．

13. 如图，是的中线，是的中点，延长交于点，若，则______．

14. 已知：关于的方程的解是、、均为常数，．
    关于的方程的根是______；
    关于的方程的根为______．

三．解答题（本题共9小题，共90分）

15. 计算：．
16. 解方程：．
17. 如图网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为，四边形的四个顶点都在格点上．
    求的长；
    求的大小；

18. 若、是关于的一元二次方程的两个实数根．
    求的取值范围；
    若，求的值．
19. 观察以下规律：
    ；
    ；
    ；
    ；
    
    根据规律写出第个等式为______；
    猜想：第个等式，请你给出证明．
20. 已知：如图，在中，点、分别是、的中点
    若，则______；若，则______；
    连接和交于点，求证：．

21. 学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查．
    现从八、九年级各随机抽取了名学生的调查结果满分为分、分数用表示，共分成四组：：；
    ：；：；：进行整理、描述和分析，当分数不低于分说明心理健康，
    下面给出部分信息．
    八年级随机抽取了名学生的分数是：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、．
    九年级随机抽取了名学生的分数中、两组数据个数相等，、两组的数据是、、、、、、、、、．

根据以上信息，回答下列问题：
填空：______；______；______；
根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级学生心理健康状况更好？请说明理由写出一条理由即可．
若该校八年级有名学生，九年级有名学生，估计这两个年级心理健康的学生长一共有多少人？

22. 为落实常规疫情防控，某口罩厂计划生产万只口罩，可在和两个地区全部销售，若在地区销售，每只口罩的利润为元，若在地区销售，平均每只口罩的利润元与地区的销售量万只之间的关系如下面所示：

当时，保持不变；当时，销售量每增加万只，平均每只口罩的利润就减少元
若在地区销售口罩万只，则销售完这批口罩共获利______万元；
当时，地区销售完这批口罩共获利______万元；
若该厂销售完这批口罩共获利万元，求地区销售口罩多少万只？精确到万只

23. 在正方形和正方形中，分别连接、、，点为的中点．
    如图，当点、分别在线段、上，求的度数；
    如图，当点、、分别在线段、、上，求证：；
    如图，当点在线段上，若，求的面积．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：；故本选项不符合题意．
B.；故本选项符合题意．
C.不是二次根式；故本选项不符合题意．
D.不一定大于或等于；故本选项不符合题意．
故选：．
二次根式的定义：形如的式子是二次根式．关键是选项的不一定大于或等于．
考查了二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合法题意；
，故D正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类二次根式法则，二次根式的乘除法则逐项判断．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
．
故选：．
把代入方程，即可得到的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

4.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
，
正方形的面积为，
故选：．
利用勾股定理求出，即可得出正方形的面积．
本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，第步，
，第步，
，第步，
，第步，
，．
所以原解答过程从第步开始出现错误，
故选：．
将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，可列方程为，
故选：．
设每半年平均每周作业时长的下降率为，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项，样本为名学生每月参加校本课程学习的课时，故该选项不符合题意；
选项，平均数节，故该选项符合题意；
选项，中位数节，故该选项不符合题意；
选项，众数是节和节，故该选项不符合题意；
故选：．
根据样本为名学生每月参加校本课程学习的课时判断选项；计算平均数判断选项；计算中位数判断选项；根据表格中出现次数最多的学习课时数判断选项．
本题考查了众数，加权平均数，中位数，根据加权平均数求出平均数是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，中，，，，
作于，

，
由勾股定理得，，
，
解得，
，
，
故选：．
作于，由勾股定理得，，则，求出，再利用勾股定理求出的长，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；故选项A不符合题意；
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，故选项B不符合题意；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
故选项C不符合题意；
四边形是菱形，
，
，，
，故选项D符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，，根据三角形中位线的性质得到，，根据平行线的性质得到；故选项A不符合题意；根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，根据菱形的性质得到，故选项B不符合题意；延长，交延长线于，根据全等三角形的性质得到，，求得，故选项C不符合题意；根据菱形的性质得到，推出，故选项D符合题意．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
≌，
，
同理得，，
四边形是平行四边形，
作点关于的对称点，连接，，

则，
的最小值为，
由题意知，，，
由勾股定理得，，
四边形周长的最小值为，
故选：．
首先利用证明≌，得，同理得，，则四边形是平行四边形，作点关于的对称点，连接，，求出的长，从而解决问题．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由已知得：
解得．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据多边形的外角和等于即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过作交于，
是的中线，
，
，
是的中点，，
，
，
，
．
故答案为：．
过作交于，根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】，  ， 

【解析】解：把方程看作关于的一元二次方程，
而于的方程的解是、、均为常数，，
所以，，
所以，．
故答案为：，；

把与代入得：，，
解得：，，
代入方程得：，即，
解得：，．
故答案为：，．
可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，然后解两个一次方程即可；
把与代入方程，求出与的值，再将与的值代入方程求出解即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
 

15.【答案】解：

． 

【解析】先算乘除法，同时化简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
所以，． 

【解析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：由题意得：

，，，
，
的长为；
连接，

由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
． 

【解析】在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
连接，根据勾股定理的逆定理进行计算，可得是直角三角形，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，且，
解得且；

由根与系数的关系可得，，
解得，．
，，



． 

【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可；
根据根与系数的关系得到，，求出与的值，再将变形为，然后代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

19.【答案】 

【解析】解：由题意可得第个式子为，
故答案为：；
证明：；
左边


右边．
通过观察即可求解；
根据所给式子，可得第个式子为，再予以证明即可．
本题考查数字的变化规律，能够通过所给是式子，总结式子的一般规律，并予以证明是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：点、分别是、的中点，
是三角形的中位线，
，，
，
故答案为：，；
取、中点、；
则，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
即．
根据三角形中位线定理即可得到结论；
根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：由题意得，
解得，
九年级测试成绩的中位数，
九年级测试成绩分数不低于分的人数所占百分比为，
，
故答案为：；；；
八年级学生心理健康状况更好，理由如下：
八年级测试成绩的平均数和中位数均大于九年级；
估计这两个年级心理健康的学生一共有人．
根据中位数的定义可得、的值，先求出九年级测试成绩分数不低于分的人数所占百分比可得的值；
可从中位数、平均数角度分析求解；
用总人数乘以样本中、等级人数占被调查人数的比例即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，优秀率，掌握众数、中位数以及平均数的定义和优秀率的意义是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：若在地区销售口罩万只，则在地区的口罩销售量为万只，
根据题意得：


，
则销售完这批口罩共获利万元；
故答案为：；
根据题意得：
当时，地区销售完这批口罩共获利万元；
故答案为：；
设该厂销售完这批口罩共获利万元，求地区销售口罩万只，
根据题意得：
当时，由得：，
整理得：，
解得：或舍去，
此时；
当时，由题意得：，
解得：，
则地区销售口罩约为或万只．
根据题意列出算式，计算即可得到结果；
根据当时，销售量每增加万只，平均每只口罩的利润就减少元求出每只口罩的利润，乘以销售量即可得到总利润；
设该厂销售完这批口罩共获利万元，求地区销售口罩万只，分和分别列出方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了一元二次方程的应用，近似数和有效数字，弄清题意是解本题的关键．
 

23.【答案】解：在正方形和正方形中，，
，，
点为的中点，
，，
，，
，
，
同理，，
；
证明：延长与延长线相交于点，连接、；

在正方形和正方形中，，
，
，
点为的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，，
≌；
，
，
；
解：如图，延长与交于点，

在正方形和正方形中，，
，
，
点为的中点，
，
，
≌，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
的面积． 

【解析】根据正方形的性质得到，，根据直角三角形和三角形的外角的性质即可得到结论；
延长与延长线相交于点，连接、；根据正方形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
如图，延长与交于点，根据正方形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了四边形的综合题，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．