初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称同步测试题

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13.1轴对称 提高

一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，则它们必是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
【答案】B
【分析】
根据成轴对称图形的定义依次判断即可得到答案
【详解】
两个全等三角形放置的位置不一定使两个三角形成轴对称，故A错误；
成轴对称的两个三角形一定是全等三角形，故B正确；
等腰三角形是关于底边上的中线成轴对称的图形，故C错误；
直线是轴对称图形，不是成轴对称的图形，故D错误，
故选：B.
【点睛】
此题考查成轴对称图形的性质，需注意成轴对称的图形是对于两个图形而言，正确理解成轴对称的图形的特征是解题的关键.
2．如图，△ABC和△关于直线对称，下列结论中正确的有（　　）
①△ABC≌△ ②③直线垂直平分 ④直线BC和的交点不一定在直线上．


A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】
根据轴对称的性质求解即可；
【详解】
∵△ABC和△关于直线对称，
∴①△ABC≌△，正确；
②，正确；
③直线垂直平分，正确；
直线BC和的交点一定在直线上，错误；
故正确的结论为①②③；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了成轴对称的图形的性质，准确分析判断是解题的关键．
3．已知：如图，在中，，的垂直平分线，分别交，于点．若，，则的周长为（ ）

A．11 B．10 C．9 D．13
【答案】A
【分析】
由AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，易得△EBC的周长=AC+BC；
【详解】
解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，
∴AE=BE，
∵AD=3，
∴AB=6，
∴AE+EC=AC=AB=6，
∵BC=5，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=6+5=11；
故选：A．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
4．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 （ ）

A．4cm2 B．8cm2
C．12cm2 D．16cm2
【答案】B
【分析】
当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
【详解】
解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，

∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
5．如图，AD垂直平分线段BC，垂足为D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，若∠ABC=50°，则∠C的度数是（ ）

A．25° B．20° C．50° D．65°
【答案】A
【分析】
根据角平分线的定义求出∠EBD，根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EC，根据等腰三角形的性质得到答案．
【详解】
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBD∠ABC=25°，
∵AD垂直平分线段BC，
∴EB=EC，
∴∠C=∠EBD=25°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．如图，对折矩形ABCD的纸片，使AB与DC重合，得到折痕EF，然后把△ADH再对折到△DHG，使得点A落在EF上且与点G重合，则为（ ）

A．30 B．35 C．40 D．45
【答案】A
【分析】
由折叠的性质可得DG=AD=AG，可得△ADG是等边三角形，即可求∠ADG=60°，即可求解．
【详解】
解：如图，连接AG，

∵对折矩形ABCD的纸片，使AB与DC重合，
∴AE=DE，EF⊥AD
∴DG=AG，
∵把△ADH再对折到△DHG
∴AD=DG，∠ADH=∠GDH
∴AD=DG=AG，
∴△ADG是等边三角形
∴∠ADG=60°
∴∠HDG=30°.
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，证明△ADG是等边三角形是本题的关键．
7．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
分析：观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
详解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D既不是轴对称图形又不是中心对称图形．
故选B．
点睛：本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．


二、填空题
9．如图，中，的垂直平分线与的角平分线相交于点，垂足为点，若，则______°．

【答案】95
【分析】
先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EAF+∠EDF=180°，即可求得答案．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180°，
∵∠BAC=85°，
∴∠BDC=∠EDF=95°，
故答案为：95．

【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与转化思想的应用．
10．如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线交BC于D，ΔABC与ΔABD的周长分别为18，12，则AE=______.

【答案】3cm
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到AE=CE，AD=CD，由此得到△ABD的周长= BC+AB，而△ABC的周长=AB+BC+AC，根据已知条件就可以求出AC，然后求出AE．
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，∴△ABD的周长为AB+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=12，而△ABC的周长为AB+BC+AC=18，∴AC=6，∴AE=3（cm）．
故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质．掌握线段的垂直平分线的性质是解答本题的关键．
11．点A，B，C在数轴上对应的数分别为1，3，5，点P在数轴上对应的数是﹣2．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，…则P1P2018的长为_____．

【答案】2
【分析】
由题意分别求出P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7对应的数，从中发现循环规律，进行解答即可．
【详解】
由题意可知P1点对应的数是4，
P2对应的数是2，
P3对应的数是8，
P4对应的数是﹣6，
P5对应的数是12，
P6对应的数是﹣2，
P7对应的数是4，…
∴从P7开始循环，每6个点依次循环，
∵2018÷6＝336…2，
∴P2018对应的数是2，
∴P1P2018的长为2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查图形的变化规律，数轴的性质；理解题意，根据题中所给条件分别求出相应的对应点，从而发现循环规律是解题的关键．
12．如图，△ACD的周长为10cm，AE=3cm，DE是AB的垂直平分线，则△ABC的周长为_________cm.

【答案】16
【分析】
求△ABC的周长，已经知道AE＝3cm，则知道AB＝6cm，只需求得BC＋AC即可，根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD，于是BC＋AC等于△ADC的周长，代入求出即可．
【详解】
∵AB的垂直平分AB，
∴AE＝BE，BD＝AD，
∵AE＝3cm，△ADC的周长为10cm，
∴△ABC的周长是10cm＋2×3cm＝16cm，
故填：16.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，对线段进行等量转换是解此题的关键．
13．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝6，则CD的长为_____．

【答案】3
【分析】
先根据作图判断MN垂直平分BC，再根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再证明DA＝DC，即可得到CD＝AB＝3．
【详解】
解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×6＝3．
故答案为：3．
【点评】
本题考查了作图﹣线段的垂直平分线，常见的基本作图有作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线．
14．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=_____.

【答案】70°
【分析】
连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝35°，
∴∠GOH＝2×35°＝70°．

【点睛】
本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键．
15．如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________．（填网格序号）

【答案】②③．
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：有2个使之成为轴对称图形，分别为：②，③．
故答案是：②③．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念，正确把握轴对称图形的概念是解题关键．
16．如图，是的中线，，，把沿对折，使点落在的位置，则__________．

【答案】
【分析】
根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．
【详解】
根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，
∴∠CDE＝∠BDE＝90°，
∵BD＝CD，
∴BD＝ED，
即△EDB是等腰直角三角形，
∴BE＝BD＝×BC＝cm．
故填：.
【点睛】
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2等腰直角三角形的性质求解．

三、解答题
17．.
数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）

【答案】作图见解析．
【分析】
先画角的平分线，再画出线段AB的垂直平分线，两线的交点就是P．
【详解】
解：作图如下：

∴点P为所求作．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质．
18．如图1，已知△ABC中∠CAB内部的射线AD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．若∠ABC＝40°，∠CPA＝20°．

（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）如图2，点F是射线AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝5，AC＝3，求HB．
【答案】（1）证明见解析；（2）BH＝1．
【分析】
（1）由外角的性质可得2∠QCP＝2∠QAP+40°，∠QCB＝∠QAB+∠ABC＝∠QAB+40°，可得结论；
（2）由“AAS”可证△AFN≌△AFH，可得AN＝AH，NF＝FH，由“HL”可证Rt△FCN≌Rt△FBH，可得CN＝BH，即可求解．
【详解】
证明：（1）如图1，

∵CE平分∠QCB，
∴∠QCP＝∠BCP，
∵∠QCP＝∠QAP+∠APC＝∠QAP+20°，
∴∠QCB=2∠QCP＝2∠QAP+40°，
∵∠QCB＝∠QAB+∠ABC＝∠QAB+40°，
∴∠QAB＝2∠QAP，
∴AD平分∠CAB；
（2）如图2，连接BF，过点F作FN⊥AC于N，

由（1）可知AD平分∠CAB，
∴∠FAB＝∠FAN，
在△AFH和△AFN中，
，
∴△AFN≌△AFH（AAS），
∴AN＝AH，NF＝FH，
∵FG垂直平分BC，
∴FC＝FB，
在Rt△FCN和Rt△FBH中，
，
∴Rt△FCN≌Rt△FBH（HL），
∴CN＝BH，
∵AB＝AH+BH＝AN+BH＝AC+CN+BH＝AC+2BH，
∴5＝3+2BH，
∴BH＝1．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
19．如图，在中，是的平分线，于，于，试猜想与之间有什么关系？并证明你的猜想．

【答案】详见解析
【分析】
根据角平分线性质得DE=DF，再根据等腰三角形性质得AE=AF，可证AD是EF的垂直平分线.
【详解】
AD⊥EF，AD平分EF，
证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∴∠DEA-∠DEF=∠DFA-∠DFE，
即∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴A在EF的垂直平分线上，
∵DE=DF，
∴D在EF的垂直平分线上，
即AD是EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF，AD平分EF.
【点睛】
考核知识点：线段垂直平分线，角平分线性质.灵活运用角平分线性质和线段垂直平分线判定是关键.
20．如图，已知C、D是两个村庄，OA、OB为两条公路，现计划修建一个客运站P，使它到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，你能确定P点的位置吗？请在图中用尺规找到P的位置．

【答案】答案见解析
【分析】
先连接CD，根据线段垂直平分线的性质作出线段CD的垂直平分线MN，再作出∠AOB的平分线OF，MN与OF相交于P点，则点P即为所求点．
【详解】
点P为线段CD的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点，则点P到点C、D的距离相等，到AO、BO的距离也相等，
作图如下：

【点睛】
此题考查角平分线性质与线段垂直平分线的性质作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键．
21．如图，已知△ABC，
求作：（1）∠BAC的角平分线AP．
（2）BC边的垂直平分线MN，与BC交于D点，与射线AP交于E点．
（3）过点E画EG⊥AB于G点，过点E画EF⊥AC的延长线于点F，求证：BG=CF

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据要求画出角平分线AP即可；
（2）根据要求画出线段BC的垂直平分线即可；
（3）根据要求作出垂线段EG、EF，连接EB、EC，由线段垂直平分线的性质和角平分线的性质可证得BE=EC，EG=EF，再根据HL定理证得Rt△BGE≌Rt△CFE，进而证得BG=CF即可．
【详解】
解：（1）如图，射线AP就是求作的角平分线；
（2）如图，直线MN就是所求作的垂直平分线；
（3）如图，线段EG、EF就是所求作的垂线段，连接EB、EC，
∵AP平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，
∴EG=EF，
∵MN垂直平分BC，
∴BE=CE，
在Rt△BGE和Rt△CFE中，

∴Rt△BGE≌Rt△CFE（HL）,
∴BG=CF．

【点睛】
本题考查基本作图、角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是掌握基本图形的作法，熟练运用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质解决问题．
22．如图，在中，的周长等于40，，，AB的垂直平分线DE交AC于D，求的周长．

【答案】26
【分析】
由AB的垂直平分线DE交AC于D，可得AD=BD，即可求得△BDC的周长等于AC+BC，利用的周长等于40，，可求出AC的长，则可求出结果．
【详解】
解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD=BD，
又∵的周长等于40，，，
∴，
∴的周长=．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定，熟悉相关性质定理是解题的关键．
23．已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．

（1）如图（1），若点与点重合，求的度数；
（2）如图（2），若点在点的右侧，且，求的度数；
（3）若，请直接用含的式子表示的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）若点在点的右侧，；若点在点的左侧，
【分析】
（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．
（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．
（3）根据题意分点在点的右侧以及点在点的左侧两种情形分别求解即可．
【详解】
解：（1）因为平分，平分，
所以，，
所以．
因为，
所以．
（2）因为平分，平分，
所以，，
所以．
因为，，
所以，
所以．
（3）因为平分，平分，
所以，，
若点在点的右侧，，
；
若点在点的左侧，
．
【点睛】
本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．
求证：（1）△ACD≌△BAE；
（2）BC垂直平分DE．

【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）根据ASA即可证明△DBP≌△EBP；
（2）想办法证明△DBP≌△EBP（SAS）即可解决问题；
【详解】
证明：（1）由题意可知，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，
∴∠DAH=∠ACH，
∵∠BAC=90°，BE∥AC，
∴∠CAD=∠ABE=90°．
又∵AB=CA，
∴在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE，
又∵AD=BD，
∴BD=BE，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，
故∠ABC=45°．
∵∠ABE=90°，
∴∠EBF=90°-45°=45°，
∴△DBP≌△EBP（SAS），
∴DP=EP，
即可得出BC垂直且平分DE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、线段的垂直平分线的判定等知识，此题关键在于转化为证明出△DBP≌△EBP．通过利用题中所给信息，证明出两三角形全等，而证明全等可以通过证明角相等和线段相等来实现．
25．已知：如图，在中，

（1）尺规作图：作的角平分线BD；
（2）在（1）的基础上，取BC的中点E，连接DE，若DE⊥BC，∠C=32°，求∠A的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）．
【分析】
（1）（作已知角的角平分线）作BD平分∠ABC；
（2）先判断DE垂直平分BC，则DB=DC，根据等腰三角形的性质得∠DBC=∠C=32°，再利用角平分线定义得到∠ABC=2∠DBC=64°，然后根据三角形内角和定理计算∠A的度数即可．
【详解】
解：（1）如图1，BD为所作；

（2）如图2，

∵DE⊥BC，BE=CE，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=64°，
∴∠A=180°﹣64°﹣32°=84°．
【点睛】
本题考查了作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线等知识，掌握基本图形的作法是解答本题的关键．
26．按要求完成画图和填空：
（1）作的角平分线；
（2）作出边的中垂线，垂足为，交于点；
（3）过点作边的平行线，交于点；
（4）点到边的距离是_____________．
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论)

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）0
【分析】
（1）根据角平分线的作法，即可得到的角平分线BD；
（2）根据垂直平分线的作法，即可得到边的中垂线；
（3）根据同位角相等，两直线平行，作即可得到；
（4）由点F在边BC上，可得点F到边BC的距离为0．
【详解】
解：（1）如图所示，射线即为所求；
（2）如图所示，直线即为所求；
（3）如图所示，直线即为所求；
（4）∵点F在边BC上，
∴点到边的距离为0，
故答案为：0．

【点睛】
本题主要考查了尺规作图-基本作图和点到直线的距离，熟练掌握角平分线的作法、垂直平分线的作法和作一个角等于已知角的作法是解题的关键．