初中数学人教版八年级上册15.1.2 分式的基本性质测试题

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15.1.2分式的基本性质  培优卷 一．选择题1．下列等式成立的是（    ）A．＝    B．＝C．＝    D．＝【答案】C【解析】试题分析：根据分式的化简求值，可知：A. =，故不正确；B. 已是最简分式，不能化简，故不正确；C. =，故正确；D. =-，故不正确.故选：C.2．轮船从河的上游A地开往河的下游B地的速度为v1,从河的下游B地返回河的上游A地的速度为v2,则轮船在A、B两地间往返一次的平均速度为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】设从A地到B地的路程为s，那么轮船从A地到B地所用的时间为，从B地返回A地所用的时间为，往返一次总路程为2s，总时间为,所以平均速度为：.故选D.3．下列命题中，属于真命题的是（    ）A．如果，那么 B．是最简分式C．直角三角形的两个锐角互余 D．不是对顶角的两个角不相等【答案】C【分析】根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】解：A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；B. ，故不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】A、，成立，故A符合题意；B、当时，原式不成立，故B不符合题意；C、，时，，，则，故C不符合题意；D、，时，，，则，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．5．下列等式中成立的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】A、利用积的乘方法则运算计算，B、先把除式分母有理化，通分，再把除变乘法，分母再有理化约分即可，C、用列项法计算即可，D、利用公式展开合并即可．【详解】A. 不成立，B. ，=，不成立，C. 成立，D. 不成立．故选择：C．【点睛】本题考查积的乘方，二次根式的乘除法，分式的列项法，乘法公式等内容，掌握这些知识，会用它们解决问题．6．要把分式的值扩大为原来的3倍，下面哪种方法是可行的（    ）A．、的值都加上3 B．、的值都扩大为原来的3倍C．的值不变、的值扩大为原来的3倍 D．的值扩大为原来的3倍、y的值不变【答案】B【分析】根据分式的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A. 、的值都加上3，分式的值不会扩大为原来的3倍    ，不符合题意；B. 、的值都扩大为原来的3倍，分式的值扩大为原来的3倍，符合题意；C. 的值不变、的值扩大为原来的3倍，分式的值不会扩大为原来的3倍    ，不符合题意；D. 的值扩大为原来的3倍、y的值不变，分式的值不会扩大为原来的3倍    ，不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查分式的基本性质，能够正确利用分式的性质变形是解题的关键．7．若把分式的x、y同时缩小12倍，则分式的值（       ）A．扩大12倍 B．缩小12倍 C．不变 D．缩小6倍【答案】C【分析】要把x，y同时缩小12倍，即将x，y用 代换，再化简比较即可得到答案；【详解】解：把分式的x、y同时缩小12倍，得到：，∴分式的值没有改变，故选：C．【点睛】此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n．8．下列各式中，正确的是(　　)A．B．C．D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质分别进行化简即可.【详解】解：A、 ，错误；B、 ，正确；C、 ，错误；D、 ，错误．故选：B．【点睛】本题主要考察了分式的基本性质，分式运算时要同时乘除和熟练应用约分是解题的关键. 二．填空题 9．下列说法：① 若a＋b＋c＝0，则（a＋b）3＋c3＝0；②若a＋b＝0，则|a|＝|－b|，反之也成立；③若（c≠0），则b－c＝a－c；④若|x＋1|＋x－y＋5＝0，当x≤－1时，y是常数；⑤若|x＋1|＋x－y＋5＝0，则y≥x，其中正确的有_________【答案】①③④⑤【分析】由乘方的运算，绝对值的意义，分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：① 若a＋b＋c＝0，则a＋b＝，则（a＋b）3＋c3＝0；故①正确；②若a＋b＝0，则|a|＝|－b|；但反之不成立；故②错误；③若（c≠0），则b=a，则b－c＝a－c；故③正确；④若|x＋1|＋x－y＋5＝0，当x≤－1时，，则y是常数；故④正确；⑤若|x＋1|＋x－y＋5＝0，，则y≥x，故⑤正确；故答案为：①③④⑤．【点睛】本题考查了乘方的运算，绝对值的意义，分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断．10．为落实习总书记“全面推进乡村振兴”的发展理念，重庆某山区扶贫办决定积极发展经济作物，准备将一块土地分成，，三个区域分别来种植平菇、香菇和蘑菇．工人将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原区20%的面积错划分给了区，而原区50%的面积错划分给了区，区面积未出错，造成现区的面积占，两区面积和的比例达到了30%．为了协调三个区域的面积占比，工人重新调整三个区的面积，将区面积的25%分两部分划分给现在的区和区若调整结束后，，，三个区域的面积比变为，那么工人调整时从区划分给区的面积与三个区域总面积的比为______．【答案】．【分析】设计划分成A，，三个区域的面积分别为,b,c，根据原区20%的面积分给B区，原区50%的面积错划分给了区，造成现区的面积占，两区面积和的比例达到了30%．列方程b+20%-50%b=30%(+b)，可得=2b，A区面积 2.1b，区的面积0.9b，由2（A区面积+B区面积）=C区面积，列方程2(2.1b+0.9b+25%c)=c-25%c，解得c=8b，设C区面积的25%分别给A 区的面积m, 划分给区面积为2b-m，A，两个区域的面积比变为可得m=即可．【详解】解:设计划分成A，，三个区域的面积分别为，b，c，原A区20%的面积分给B区，原区50%的面积错划分给了A区，造成现区的面积占A，两区面积和的比例达到了30%．∴b+20%-50%b=30%(+b)，解得=2b，将原A区20%的面积错划分给了区，而原区50%的面积错划分给了A区，-20%+50%b=0.8+0.5b=2.1b，造成现区的面积b+20%-50%b=0.9b,将区面积的25%分两部分划分给现在的A区和区, A，，三个区域的面积比变为，2（A区面积+B区面积）=C区面积，∴2(2.1b+0.9b+25%c)=c-25%c，解得c=8b，最后区划后面积为:c-25%c=6b，原C区面积的25%为2b，设C区面积的25%分别给A 区的面积m, 划分给区面积为2b-m，∵A，两个区域的面积比变为，由题意得2.1b+m=2（0.9b+2b-m），解得m=，工人调整时从区划分给区的面积与三个区域总面积的比为．故答案为．【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，关键是理解题意找出等量关系，正确列出一元一次方程．11．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，-1的差倒数为，已知＝5，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推…，的值是_____．【答案】5．【分析】根据题意，依次计算得、、，结合，找到其中的规律，以此类推，可求得的值．【详解】∵a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，∴ ∴∴ …∵2020÷3＝673…1∴第2020个数与第1个数相等∴a2020＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了分式、实数计算规律的知识；解题的关键是熟练掌握分式和实数计算规律性问题的性质，从而完成求解．12．若，．则的值为______【答案】【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．①+③得: 10x+ 5y= 0，∴y= -2x，将y= - 2x代入①中得:2x- (-2x)+4z=0∴z=-x将y= -2x，z=-x，代入上式=
 =
 ==
 故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.13．6月18日晚，苏宁易购发布618全程战报：从6月1日到18日晚6点，苏宁依托线上线下全场景优势，逆势增长.经调查，苏宁易购线上有甲乙两家在销售华为A手机、华为B电脑和华为C耳机.已知每部A手机的利润率为40%，每台B电脑的利润率为60%，每副C耳机的利润率为30%，甲商家售出的B电脑和C耳机的数量都是A手机的数量的一半，获得的总利润为50%，乙商家售出的A手机的数量是B电脑的数量的一半，售出的C耳机的数量是B电脑的数量的，则乙商家获得的总利润率是___________.【答案】56%【解析】【分析】设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机副，根据甲商家的数据可得b=2a+2c，继而根据利润率公式列式计算乙商家的即可得.【详解】设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机副，由甲商家的总利润为50%，则有40%•a•2x+60%•b•x+30%•c•x=50%(2xa+bx+cx)，整理得，b=2a+2c，则乙商家的总利润率为：=====56%，故答案为：56%.【点睛】本题考查了销售问题——商品的利润率，弄清题意，理清各量间的关系，掌握运算技巧是解题的关键.14．在分式中，最简分式有______个．【答案】1【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得．【详解】解：是最简分式，故有2个.故答案为：2【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式．15．化简 = ___.【答案】【分析】先对分子进行因式分解，再约分，化为最简分式即可.【详解】=.故答案是：.【点睛】本题考查了分式的化简，解题关键是先对分子进行因式分解，使用分子和分母有公共因式，再约分，化成最简分式.16．如果，那么的值是______．【答案】0【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决.【详解】解：所以，故答案是：0【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键. 17．已知实数a、b、c满足；计算：.【答案】8或-1【分析】先设=k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．【详解】解：设=k，则
b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，
①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），
当a+b+c≠0，则k=2，
∴==k3=8；
当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
∴==-1．
故答案是8或-1．【点睛】本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入．18．已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，满足，且点C到点A的距离为1个单位长度． （1）根据题意，求出c的值为__________（2）若点C在线段AB上，动点M、N两点分别同时从A、B出发，向x轴正半轴运动．M、N的运动速度分别为4个单位长度/秒、5个单位长度/秒，记点M运动的时间为t秒．当M点运动至点B时，点P才从C点出发，并以10个单位长度/秒的速度向x轴正半轴运动．在运动过程中，如果点Q为线段MN的中点． ①请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由． ②当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，求时间t的值．【答案】（1）﹣9或﹣7；（2）①不变，；②【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b，然后根据点C到点A的距离为1个单位长度即可求出点C表示的数，进而可得c的值；（2）①先根据题意画出图形，然后即可依次用含t的代数式表示出AN、MN和CQ，再代入原式化简即得结果；②先求出M点运动至点B时的用时，然后分点P在点Q左侧与点P在点Q右侧两种情况，分别用含t的代数式表示出PQ与QB，进而可得关于t的方程，解方程即得结果．【详解】解：（1）因为，所以a+8=0，b－12=0，所以a=﹣8，b=12；所以点A表示的数是﹣8，因为点C到点A的距离为1个单位长度，所以点C表示的数是﹣9或﹣7，即c=﹣9或﹣7；故答案为：﹣9或﹣7；（2）的值不会发生变化，且；理由如下：因为点C在线段AB上，所以点C表示的数是﹣7，如图，根据题意可得：AB=20，CB=19，AM=4t，BN=5t，所以AN=20+5t，MN=AN－AM=20+5t－4t=20+t，因为点Q为MN的中点，所以，所以，所以；②M点运动至点B时用了20÷4=5秒，当点P在点Q左侧时，，，根据题意得：，即，解得：；当点P在点Q右侧时，，，由得，解得：（舍去）；综上，当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，．【点睛】本题考查了数轴、非负数的性质、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用以及分式的化简等知识，综合性较强、具有相当的难度，正确理解题意、灵活应用相关知识和数形结合思想是解题的关键．19．    若＝＝≠0，求的值．【答案】 【详解】试题分析：根据比例的基本性质，设出参数，直接代入可求解.试题解析：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0，∴＝＝.20．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题：（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为：         （直接写出结果即可）（2）如果分式的值为整数，求的整数值【答案】（1）；（2）、、0、【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定的值．【详解】解：（1）故答案为：；（2）原式因为的值是整数，分式的值也是整数，所以或，所以、、0、．所以分式的值为整数，的值可以是：、、0、．【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义．21．    已知＋＝3，求的值．【答案】18【详解】试题分析：分子分母同除以xy，然后整体代入即可求值.试题解析：根据分式的特点，分子、分母同时除以xy得原式=＝18.22．已知=,=1，求的值.【答案】【解析】试题分析：先将式子： 化简，再由“=,=1”求得“”及“”的值代入化简后的式子计算即可.试题解析：，∵ x=，=1，∴ ,∴x+y=()+()=4，∴原式=.点睛：本题将“=”化简后，结合“=1”求出“y”的值，并进一步求得“x+y”的值，是求得“”的值的关键.23．    已知＝，求2a－3b的值．【答案】0【详解】试题分析：根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到a、b的关系，然后代入求值即可.试题解析：原式＝＝，∴2a＝3b，∴2a－3b＝0.24．已知：求证：【答案】证明见解析【分析】要证明，就要证明，即，因x、y为指数，故运用同底数幂乘法让左右两边同时乘以，然后再利用已知等式进行变形转化即可得到结果.【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，（x、y均不可能为0）∴，即.【点睛】本题考查同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的应用，将要证明的等式进行转化，出现指数相加、相乘是解题的关键.25．化简．【答案】【分析】先将分子、分母因式分解，再找出分子、分母的最大公因式并约去．【详解】解：原式【点睛】本题主要考查了分式的约分，能彻底分解因式是解题的关键．本题考查了拆项分组分解法，难度较大．26．挑战自我，观察下面的一列数：，，，    ……（1）用只含一个字母的等式表示这一列数的特征；（2）利用（1）题中的规律计算：【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据上述通分计算的过程，发现分母正好相差是1，所以结果中的分子应是1，即可得出结论；（2）先将各个分数写成的形式，再按照进行拆分，然后计算即可求解．【详解】解：（1）（2）===【点睛】本题考查了分式的通分，解答此题，应注意观察分数的特点，根据特点，对分数进行拆分，达到简便计算的目的．