数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换综合训练题

  课时作业 38

一、选择题

1．sin 105°的值为(　　)

A.　 B.

C.   D.

解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.

答案：D

2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A．－  B.

C．－    D.

解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝.

答案：D

3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)

A．－   B.

C．－    D.

解析：因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝－.

答案：A

4．若＝，则tan＝(　　)

A．－2  B．2

C．－  D.

解析：因为＝，所以＝，

因为＝

＝－tan＝，

所以tan＝－.

答案：C

二、填空题

5．已知cos＝，则cos α＝________.

解析：由于0<α－<，

cos＝，

所以sin＝.

所以cos α＝cos

＝coscos－sinsin

＝×－×＝.

答案：

6．若tan α＝3，则tan＝________.

解析：因为tan α＝3，所以tan＝＝＝－2.

答案：－2

7．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.

解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.

答案：－

三、解答题

8．求下列各式的值．

(1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；

(2)sin＋cos；

(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.

解析：(1)原式＝sin(360°－13°)·cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)

＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°

＝sin(13°＋32°)

＝sin 45°＝.

(2)原式＝2

＝2

＝2sin＝2sin＝.

(3)∵tan 60°＝＝，

∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，

∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.

9．已知△ABC，若sin(A＋B)＝，cos B＝－，求cos A的值．

解析：∵cos B＝－，∴<B<π，<A＋B<π，

∴sin B＝＝，

cos(A＋B)＝－＝－，

∴cos A＝cos[(A＋B)－B]

＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B

＝×＋×＝.

[尖子生题库]

10．已知tan α＝，sin β＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．

解析：　∵tan α＝<1且α为锐角，

∴0<α<.

又∵sin β＝<＝且β为锐角．∴0<β<，

∴0<α＋2β<.①

由sin β＝，β为锐角，得cos β＝，∴tan β＝.

∴tan(α＋β)＝＝＝.

∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②

由①②可得α＋2β＝.