人教A版高中数学必修第一册模块质量检测含答案

  模块质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则A∩B＝(　　)

A．∅　　　　 B．{x|0<x<3}

C．{x|1<x<3}  D．{x|2<x<3}

解析：依据函数y＝2x是增函数，可得B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，则A∩B＝{x|2<x<3}．

答案：D

2．对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

解析：考虑该命题的逆否命题．綈q：x＝3且y＝1，綈p：x＋y＝4，显然綈q⇒綈p，但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件．

答案：A

3．函数y＝的定义域为(　　)

A．(－∞，1]         B．[－1,1]

C．[1,2)∪(2，＋∞)  D.∪

解析：由函数y＝得

解得

即－1≤x≤1且x≠－，

所以所求函数的定义域为∪.

答案：D

4．已知0<a<b，且a＋b＝1，则下列不等式中正确的是(　　)

A．log2a>0          B．2a－b<

C．log2a＋log2b<－2  D．2<

解析：特殊值法，令a＝，b＝代入检验只有C正确，故选C.

答案：C

5．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)  B．(1,3)

C．(－1,3)                 D．(－∞，1)∪(3，＋∞)

解析：关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)·(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集为(－1,3)．

答案：C

6．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则sin 2α＝(　　)

A．－1  B．－

C.    D．1

解析：∵(sin α－cos α)2＝2，

∴2sin αcos α＝－1，即sin 2α＝－1.

答案：A

7．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)

A．[－1,2]    B．[0,2]

C．[1，＋∞)  D．[0，＋∞)

解析：原不等式可化为或，

解得0≤x≤1或x>1，即x≥0，

所以x的取值范围是[0，＋∞)故选D.

答案：D

8．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝(　　)

A．5  B．－1

C．6  D.

解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，

两式作和得sin αcos β＝，

两式作差得cos αsin β＝，

则＝＝＝＝5.故选A.

答案：A

9．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b  B．c>b>a

C．a>c>b  D．b>a>c

解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f＝f()，且2<<3，所以b>a>c.

答案：D

10．(2cos 20°－tan 70°)cos 10°＝(　　)

A.     B.

C．1     D.

解析：(2cos 20°－tan 70°)cos 10°

＝cos 10°

＝·cos 10°

＝·cos 10°

＝·cos 10°

＝·cos 10°

＝·cos 10°

＝×cos 10°＝×＝.

答案：A

11．函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　)

A.    B．(1,2)

C．(2，e)   D．(e,3)

解析：因为f＝－＋－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0，所以f(2)f(e)<0，

所以函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在区间是(2，e)．

答案：C

12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)

A．(8，＋∞)  B．(8,9]

C．[8,9]       D．(0,8)

解析：∵f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，

∴不等式f(x)＋f(x－8)≤2可化为

f(x(x－8))≤f(9)，

∵，

解得8<x≤9，

∴x的取值范围是(8,9]，故选B.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．命题∃x∈R，x2－2x>0的否定是________．

解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即∀x∈R，x2－2x≤0.

答案：∀x∈R，x2－2x≤0

14．如图所示的是2018年福建省某市某天中6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，与图中曲线对应的函数的解析式是________．

解析：从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，∴振幅A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，∵周期T＝2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.将x＝6，y＝10代入上式，得10sin＋20＝10，即sin＝－1，由于<φ<π，可得φ＝.综上，所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6,14]．

答案：y＝10sin＋20，x∈[6,14]

15．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

解析：因为对任意x>0，≤a恒成立，

所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，

而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，

当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.

答案：

16．已知a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．

解析：设函数g(x)＝f(x)－ax，

则g(x)＝

即g(x)＝

依题意得，函数g(x)恰有两个零点，即函数g(x)与x轴有两个交点．又因为a>0，

所以或或

所以或或

解得4<a<8.

所以a的取值范围为(4,8)．

答案：(4,8)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则∴0≤m≤3.

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

18．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)当x∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值．

解析：(1)由f(0)＝2，得c＝2，

又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，

得2ax＋a＋b＝2x－1，

故解得：a＝1，b＝－2.

所以f(x)＝x2－2x＋2.

(2)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1函数，图象的对称轴为x＝1，且开口向上，

所以f(x)单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．

(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，

对称轴为x＝1∈[－1,2]，

故fmin(x)＝f(1)＝1，

又f(－1)＝5，f(2)＝2，

所以fmax(x)＝f(－1)＝5.

19．(12分)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式和当x∈[0，π]时f(x)的单调减区间．

(2)设α∈，则f＝2，求α的值．

解析：(1)因为函数f(x)的最大值是3，

所以A＋1＝3，即A＝2.

因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

所以最小正周期T＝π，所以ω＝2.

所以f(x)＝2sin＋1.

令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

因为x∈[0，π]，所以f(x)的单调减区间为.

(2)因为f＝2sin＋1＝2，

即sin＝，

因为0<α<，所以－<α－<，

所以α－＝，所以α＝.

20．(12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

解析：由f(m)＋f(m－1)>0，

得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．

又因为f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．

所以1－m>m，

又－2≤m－1≤2，－2≤m≤2，

所以解得－1≤m<.

故m的取值范围是.

21．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

解析：(1)由题意可知当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得解得，

故函数v(x)的表达式为

v(x)＝

(2)依题意并由(1)可得

f(x)＝

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时， f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．

22．(12分)设函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a.

(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间．

(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求a的值．

解析：(1)f(x)＝sin 2x＋＋a＝sin＋＋a，

函数f(x)的最小正周期T＝＝π，

令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z.

(2)由x∈

得－≤2x＋≤，

所以－≤sin≤1，

所以当2x＋＝－，

即x＝－时，f(x)min＝a，

当2x＋＝，

即x＝时，f(x)max＝＋a，

由题意得＋a＋a＝，解得a＝0.