2022长沙雅礼教育集团高二下学期期末考试数学含解析
展开雅礼教育集团2022年高二下学期期末考试试卷
数 学
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则其共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壹体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石飘壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（ ）
A． B． C． D．
5．将3个完全相同的红球和2个完全相同的黄球随机排在一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
6．已知函数在区间（0，）上有零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知底面为正方形的四棱锥O−ABCD，各侧棱长都为，底面面积为36，以O为球心，3为半径作一个球，则这个球与四棱锥O−ABCD共同部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知5个数据，，，，，去掉（5，13）后，下列说法正确的是（ ）
（1，3） | （2，4） | （4，5） | （5，13） | （10，12） |
A．样本相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．R2变大 D．解释变量x与响应变量y的相关程度变强
10．等差数列的前n项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
11．设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1垂直于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，则（ ）
A．椭圆的离心率 B．△F2MN的周长为12
C．△F2MN的面积为 D．△F2MN为等边三角形
12．己知函数，则（ ）
A．当时，函数的定义域为
B．当时，函数的值域为R
C．当时，函数在R上单调递减
D．当时，关于x的方程有两个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在二项式的展开式中，若前三项的系数依次成等差数列，则实数a=________．
14．已知圆C：，点A是x轴上的一个动点，直线AP，AQ分别与圆C相切于P，Q两点，则圆心C到直线PQ的距离的取值范围是________．
15．设、分别是双曲线（，）的左，右焦点，点P在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则________．
16．“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线，曲线在点（1，0）处的切线方程为________，利用上述“切线近似代替曲线”的思想方法计算所得结果为________．（结果用分数表示）．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）公差不为零的等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记的前n项和为 ，求使成立的最大正整数n．
18．（12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B；
（2）若，b=3，求△ACD面积的最大值．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=，D、D1分别是BC，B1C1的中点，AG=AD，过点G作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）证明：A1G⊥EF；
（2）若二面角A−A1E−F的大小是，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．
20．（12分）为了应对某传染病，需全民接种某疫苗，欲使该疫苗成功接种，则每个人需要接种相同剂量的疫苗若干次（其中至少有一次接种成功即视为疫苗成功接种）．假设每次接种成功与否互不影响，且每次接种相同剂量疫苗的接种成功概率均相等，为了解该疫苗的接种剂量与接种成功之间的关系，现分成两种剂量组进行对比临床试验，A（B）剂量组的每
位试验者均接种3次A（B）剂量的疫苗，统计了试验者的接种情况后，得到以下2×2列联表：
单位：人
剂量组 | 接种情况 | 合计 | |
接种成功 | 接种不成功 | ||
A剂量组 | 110 |
|
|
B剂量组 |
| 20 | 160 |
合计 |
|
| 300 |
（1）将上表中的数据填写完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为B剂量组的接种效果比A剂量组的接种效果好？并解释你所得到的结论；
（2）现有一个三口之家需接种该疫苗，若该家庭总共可接种5次B剂量的疫苗，每人至少接种1次疫苗，假设以对比临床试验中的频率代替概率，以该家庭全部接种成功的概率大小为决策依据，则该家庭应如何分配接种该疫苗的次数？请说明理由．
附：，其中．
0.1 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
21．（12分）已知抛物线C：，点F为C的焦点，过F的直线l交C于A，B两点．
（1）设A，B在C的准线上的射影分别为P，Q，线段PQ的中点为R，证明：AR//FQ；
（2）在x轴上是否存在一点T，使得直线AT，BT的斜率之和为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数（）．
（1）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点，，求实数a的取值范围，并证明：，，成等差数列．
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