2021-2022学年吉林省白山市江源区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年吉林省白山市江源区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共40分）

1. 二次根式中，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，不是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列四边形是矩形的是(    )

A. 有两个角为直角的四边形 B. 有一个角是直角的平行四边形
C. 对角线互相平分的四边形 D. 对角线相等的四边形

4. 下列条件中，能判断四边形是菱形的是(    )

A. 对角线相等的平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形

5. 计算：(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 等腰三角形的腰长为，底边长为，则它底边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列各组数是勾股数的是(    )

1. ，， B. ，， C.  D. ，，

二．填空题（本题共4小题，共20分）

9. 计算______．
10. 化简______．
11. 直角三角形的两条直角边分别为，，则这个直角三角形的面积为______．
12. 已知平行四边形中，，则 ______ ．

三．解答题（本题共4小题，共40分）

13. 如图，在▱，，是直线上的两点，，连接，，，求证：四边形是平行四边形．

14. 如图，是菱形的对角线，点、分别在边、上，且．
    求证：．

15. 如图，小明的家位于一条南北走向的河流的东侧处，某一天小明从家出发沿南偏西方向走到达河边处取水，然后沿另一方向走到达菜地处浇水，最后沿第三方向走回到家处．问小明在河边处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．

16. 如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其 中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
    当秒时，求的长；
    求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
    若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是二次根式；
中，，故不是二次根式；
是二次根式；
是二次根式；
故选B．
根据各个选项中的式子可以判断哪个不是二次根式，本题得以解决．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是明确二次根式的定义，二次根号内的式子要大于等于．
 

3.【答案】 

【解析】解：、有两个角为直角的四边形，不一定是矩形，故此选项不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不是矩形，故此选项不符合题意；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定方法：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”，针对每一个选项进行分析，可选出答案．
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；
B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故选项B错误；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项C正确；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项D错误；
故选：．
利用菱形的判定进行判断即可．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
先进行二次根式的除法运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：．，的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.，的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式，被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意画出如图所示，

根据题意得，，，．
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
即：底边上的高为，
故选：．
根据题意画出图形，先用等腰三角形的性质求出，再用勾股定理求解即可．
此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是作出图形．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B符合题意；
C、不都是正整数，故选项C不符合题意；
D、不都是正整数，故选项D不符合题意．
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，分别对各组数据进行检验即可．
本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，除了验证两小边的平方和是否等于最长边的平方外，还必须每一个数都是正整数．
 

9.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算减法即可．
本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式的乘法法则，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质求出即可．
本题考查了二次根式的乘法和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得

，
故答案为：．
根据题意，得，化简计算．
本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘法运算法则，根据题意列出算式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，

．
故答案为：．
根据平行四边形的对角相等即可求出的度数，再根据平行四边形的邻角互补求出的度数．
本题主要考查了平行四边形的对角线相等，邻角互补的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
 

13.【答案】证明：如图，连接交于点，
在▱中，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形． 

【解析】连接交于点，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，然后求出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，作出辅助线证出是解题的关键．
 

14.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据菱形的性质可得和，再证明≌，根据全等三角形的性质可得．
本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的四条边都相等．
 

15.【答案】解：如图，

，，，
，
，
，
，
，
小明在河边处取水后是沿南偏东方向行走的． 

【解析】首先根据勾股定理逆定理得出，然后再判断，可得，再根据平角定义可得，进而得到答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

16.【答案】解：，
，
，
；
解：根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
解：分三种情况：
当时，如图所示：
则，
，
，
，

，

，
秒．
当时，如图所示：
则
秒．
当时，如图所示：
过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为秒或秒或秒时，
为等腰三角形． 

【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
由题意得出，即，解方程即可；
当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
当时图，则，可证明，则，则，从而求得；
当时图，则，易求得；
当时图，过点作于点，则求出，，即可得出．