北京市海淀区2020-2021学年八年级(下)期末数学试卷(含答案)

海淀区2020-2021学年第二学期期末考试

初二数学

2021.07

本试卷共7页，共3道大题，25道小题，满分100分；考试时长90分钟。试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题纸交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的．

1．计算的结果为

2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是

3．将直线向下平移个单位长度后，得到的直线是

4．如图，在中，，，则的度数是

5．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋40双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：

店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为24 cm的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的

6．如图，在中，，，，则边上的高的长为

7．如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是

8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是

9．如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是

10．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．下列有四种说法：

①是的函数；  ②是的函数；

③是的函数；  ④是的函数．

其中所有正确结论的序号是

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．

12．函数（是常数，）的图象上有两个点，，当时，，写出一个满足条件的函数解析式：________．

13．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为________．

14．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨，下表记录了这5h 内6个时间点的水位高度，其中t 表示时间，y 表示水位高度．

据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h 水位高度将为________ m．

15．在平面直角坐标系中，直线()与直线，直线分别交于，两点．若点，的纵坐标分别为，，则的值为________．

16．某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小：________（填“>”，“=”或“<”）．

三、解答题（本题共52分，第17题8分，第18-23题，每小题5分，第24-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：（1）；          （2）．

18．如图，在中，点，分别在，上，且，连接，．

求证：//．

19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．

求作：直线AD，使得AD// l.

作法：如图2，

①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；

②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；

③作直线AD．

直线AD 就是所求作的直线．

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接CD．

∵ AB =________，BC =________，

∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_____________________）（填推理的依据）．

∴ AD// l．

20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）若点是轴上一点，且的面积是5，求点的坐标．

21．如图，在中，，为边上的中线，点与点关于直线对称，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接BE，若，，求的长．

22．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．测试成绩的频数分布表如下：

b．雪上项目测试成绩在这一组的是：

70707071717375

c．冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中的值为__________；

（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，这名学生测试成绩排名更靠前的是__________（填“冰上”或“雪上”）项目，理由是________________________________________；

（3）已知该校八年级共有200名学生，假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数．

23．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．

（1）求点的坐标；

（2）当时，直接写出的取值范围；

（3）已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．

24．在正方形中，是线段上一动点（不与点，重合），连接，，分别过点，作，的垂线交于点．

（1）依题意补全图1，并证明；

（2）过点作∥，交于点，连接．若正方形的边长为1，写出一个的值，使四边形为平行四边形，并证明．

图1               备用图

25．在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下的定义：

将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．

例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图1所示，则．

请解决下面的问题：

已知，其中，，，．

（1）当时，已知，为过点的直线．

①当时，________________；

当时，________________；

②若，结合图象，求的值；

（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．；   12．（答案不唯一）；   13．；   14．；   15．0；   16．．

三、解答题（本题共52分，第17题8分，第18-23题每小题5分，第24-25题每小题7分）

17．解：（1）；

                              ………………………2分

                                 ………………………3分

                                          ………………………4分

（2）．

                                   ………………………1分

                                          ………………………3分

                                             ………………………4分

18．证明：∵四边形是平行四边形，

∴∥，=．                          ………………………2分

∵，

∴．

即．                                   ………………………3分

又∵，

∴四边形是平行四边形．                     ………………………4分

∴．                                     ………………………5分

19．（1）

                                                   ………………………2分

（2），                                       ………………………4分

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．          ………………………5分

20．（1）解：设这个一次函数的解析式为（）．     ………………………1分

∵一次函数的图象经过点与，     

∴                                 ………………………2分

∴

∴这个一次函数的解析式为．            ………………………3分

（2）解：设点的坐标为（）．

∵的面积是5，

∴．

∴或．                   

∴点的坐标为或．                  ………………………5分

21．（1）证明：

∵点E与点D关于直线AC对称，

∴CE=CD，AE=AD．      ………………………1分

∵∠ACB=90°，为边上的中线，

∴．                                ………………………2分

∴CE=CD=AD=AE．

∴四边形AECD是菱形．                            ………………………3分

（2）过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N．

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，

∴．

∴．

由勾股定理得．

∵四边形AECD是菱形，

∴EC=CD=2，EC//AD．

∴∠ECN=30°．

∵∠ENC=90°，

∴．

由勾股定理得．               ………………………4分       

∴．            

∵∠ENC=90°，

由勾股定理得．              ………………………5分

22．（1）72；                                              ………………………1分

（2）雪上；                                            ………………………2分

这名学生的冰上项目测试成绩是75分，小于中位数76分，所以该生冰上项目的成绩在10名以后；这名学生的雪上项目测试成绩是73分，大于中位数72分，所以该生冰上项目的成绩在10名以前，所以这名学生的雪上项目成绩排名更靠前．                                           ………………………3分

（3）在样本中，冰上项目测试成绩在组，的人数分别为6，2，所以样本中冰上项目测试成绩不低于80分的人数为8人．

假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数为

．                                  ………………………5分

23．（1）解：由题可知，                           ………………………1分

解得

∴点的坐标是．                         ………………………2分

（2）；                                            ………………………3分

（3）．                                         ………………………5分

24．（1）补全图形如图所示：

                           ………………………1分

证明：如图，在BA上截取BM=BF，连接MF．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，AC平分∠BCD．

∴∠ACB=45°．                              ………………………2分

∵CQ⊥AC，

∴∠ACQ =90°．

∴∠FCQ=∠ACB+∠ACQ=135°．

∵BM=BF，∠B=90°，

∴∠FMB=∠MFB=45°，

．        ①

∴∠AMF =180°-∠FMB=135°．

∴∠AMF =∠FCQ． ②                       ………………………3分

∵FQ⊥AF，

∴∠AFQ=90°．

∴∠QFC +∠AFB =90°．

∵∠B =90°，

∴∠BAF +∠AFB =90°．

∴∠BAF=∠CFQ． ③       

由①②③得△AMF≌△FCQ．                        

∴AF=FQ．                                  ………………………4分

（2）当时，四边形FCQN为平行四边形．           ………………………5分

证明：如图，在BA上截取BM=BF，连接MF．

∵，

∴．

由（1）可得△BMF为等腰直角三角形，且△AMF≌△FCQ．

∴．                           ………………………6分

∵，

∴∠FCQ +∠NQC =180°．

∵∠FCQ =135°，

∴∠NQC =45°．

∵∠NCQ =90°，

∴∠NQC =45°=∠NQC．

∴．                                 

∴．

∴．

∴四边形FCQN为平行四边形．                 ………………………7分

25．（1）①；                                            ………………………1分

．                                          ………………………2分

②解：∵直线过点，

∴．

∴．

∴．

如图，．

过作于，则．

∵，

∴．

∴．

∴．

结合图象，由正方形的轴对称性可知，均符合题意． …5分

（2）t的取值范围是．                      ………………………7分