2021-2022学年广东省阳江市江城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省阳江市江城区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(    )
    

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 下列二次根式能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若是整数，则正整数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，菱形的边长为，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 实数，在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，在长方形中，，在线段上取一点，连接、，将沿翻折，点落在点处，线段交于点将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，且点为的中点，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 计算：______．
12. 在平行四边形中，，，则______，______．
13. 若直角三角形中，有两边长是和，则第三边长的平方为______
14. 如图，中，，是边上的中线，且，则的长为______．

15. 如图，在中，，，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为______．

16. 记的整数部分是，小数部分是，则的值为______．
17. 如图，矩形的对角线与相交于点，以，为邻边作平行四边形，交于点；以，为邻边作平行四边形，若，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 化简：．
19. 已知：如图，点、分别是▱中、边上的点，且，连接、求证：四边形是平行四边形．

20. 湖的两岸有，两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与垂直的方向上取点，测得米，米．
    求：两棵景观树之间的距离；
    点到直线的距离．

21. 如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
    求证：是直角三角形；
    求四边形的面积．

22. 如图，在中，，，是等边三角形，是的中点，连接并延长，交于点，求证：
    ≌；
    四边形是平行四边形．
     

23. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
    求证：；
    若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

24. 观察下列各式的特点：
    ，
    ，
    ，
    ，
    
    根据以上规律可知： ______填“”“”或“”．
    观察下列式子的化简过程：，，
    ，
    
    根据观察，请写出式子的化简过程．
    根据上面得出的规律计算下面的算式：．
25. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，过点作交于，连接．
    求证：四边形为菱形；
    当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动；
    当点与点重合时如图，求菱形的边长；
    若限定、分别在边、上移动，求出点在边上移动的最大距离．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据进行计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不是直角三角形，故此选项错误；
B、，是直角三角形，故此选项正确；
C、，不是直角三角形，故此选项错误；
D、，不是直角三角形，故此选项错误；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、，，
不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：．与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B.，与是同类二次根式，能合并，故符合题意；
C.，与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D.，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
，
，
，
，
故选：．
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
正整数的最小值是；
故选：．
根据二次根式的定义可得答案．
本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的乘法是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作轴，垂足为．
在中，，
，
，
点坐标为
故选：．
根据坐标意义，点坐标与垂线段有关，过点向轴垂线段，则、长即为点坐标．
此题主要考查坐标意义及坐标与垂线段关系，关键是根据等腰直角三角形的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据数轴可知，且，所以，，



．
故选：．
根据数轴上点的坐标特点，判断出可知，且，所以，，再把二次根式化简即可．
本题主要考查了二次根式的化简、绝对值的意义，解题关键是先判断所求的代数式的正负性．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可得：，，，，
点恰好为的中点，
，
，
，
，，，
，
，
，，，
，
，，，
≌，
，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，，，由中点性质可得，可得，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故填．
直接进行二次根式的平方运算即可得出答案．
本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意细心运算即可．
 

12.【答案】   

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
故答案为：；．
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等和邻角互补解答．
 

13.【答案】或 

【解析】解：若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理，得；
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理，得；
故或．
故答案为：或．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，是边上的中线，
则，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据直角三角形的性质得到，根据题意计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
是直角三角形．
将沿折叠，使得点与上的点重合，
，，，
，
设，
在中，，
，
解得．
，

故答案为：．
利用勾股定理的逆定理证出，由翻折不变性可知：，，，设，在中，根据，构建方程求出，再根据计算即可；
本题考查翻折变换，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，




．
故答案为：．
估算无理数的大小，得出，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，
，
同理可得：平行四边形的面积，
平行四边形的面积，

平行四边形的面积．
故答案为：．
先求出平行四边形，平行四边形的面积，探究规律后即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：

． 

【解析】先化简，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】证明：在▱中，则，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】利用平行四边形的性质得出，，进而求出，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出是解题关键．
 

20.【答案】解：在，米，
两棵景观树之间的距离为米；
过点作于点，

，
，
米，
点到直线的距离为米． 

【解析】根据勾股定理计算即可；
根据面积相等即可求出点到直线的距离．
本题考查勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．
 

21.【答案】证明：，，，
，
，，
，
是直角三角形；
解：，，
． 

【解析】根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答即可；
根据三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答．
 

22.【答案】证明：是等边三角形，
，
，
，
在与中，
，
≌；
是的中点，，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、等边三角形的性质和平行线的判定，熟练掌握性质和判定条件是解题关键．
根据等边三角形的性质，利用即可判定两个三角形全等；
根据等边三角形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定定理可证．
 

23.【答案】解：证明：，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中

≌，
，
．
四边形是菱形，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，是斜边的中线，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
根据证≌，推出，即可得出答案；
得出四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据菱形的判定推出即可．
 

24.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；
；
原式

．
利用题目各式的特点进行判断；
把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
先分母有理化，再利用中的结论去绝对值，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、分母有理化是解决问题的关键．
 

25.【答案】证明：折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，
点与点关于对称，
，，，
又，
，
，
，
，
四边形为菱形；
解：四边形是矩形，
，，，
点与点关于对称，
，
在中，，
；
在中，，，
，
解得：，
菱形的边长为；
当点与点重合时，如图：
点离点最近，由知，此时；
当点与点重合时，如图所示：
点离点最远，此时四边形为正方形，，
点在边上移动的最大距离为． 

【解析】由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论；
由矩形的性质得出，，，由对称的性质得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可；
当点与点重合时，点离点最近，由知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．