2021-2022学年浙江省杭州中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是(    )

A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等
D. 两直线平行，内错角相等

3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 若对于任意都成立，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若是完全平方式，则的值为(    )

A.  B. 或 C.  D.

7. 我国古代数学著作孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”，设绳子长尺，木条长尺，根据题意所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为的正方形然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒用表示其底面积与侧面积的差，则可因式分解为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是：当时方程组的解是方程的解；当时，；当，则的值为或；不论取什么实数的值始终不变．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 已知人体红细胞的平均直径是，用科学记数法可表示______．
12. 因式分解：______；______．
13. 在弹性限度内，弹簧总长与所挂物体质量满足公式：为已知数当挂物体时，弹簧总长为；当挂物体时，弹簧总长为则公式中的值为______．
14. 若，则______．
15. 已知，，则用含的代数式表示为______．
16. 如图，与相交，与相交，下列说法：若，则；若，则；；正确的有______填序号．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 计算或化简：
    ；
    ．
18. 解方程组：
    ；
    ．
19. 在所给的网格图每个小格均为边长是的正方形中完成下列各题：
    先将向右平移格，再向下平移格，请作出两次平移后所得的；
    连结，，判断与的关系，并求四边形的面积．

20. 根据条件求值：
    先化简，再求值：，其中；
    已知，，求的值．
21. 如图，，．
    判定与的大小关系，并说明理由；
    若平分，于点，，求的度数．

22. 杭州塘栖白沙枇杷是杭州人心中一种家乡的味道，枇杷种植大户为了能让市民尝到物美价廉的枇杷．对斤的枇杷进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮斤，售价元；方篮每篮斤，售价元，用这两种打包方式恰好能全部装完这斤枇杷．
    当销售篮圆篮和篮方篮共收入元时，求的值．
    若斤枇杷全部售完，销售总收入恰好为元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？
    若枇杷大户留下篮圆篮送人，其余的枇杷全部售出，总收入仍为元，求的所有可能值．
23. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可得到一个数学等式，例如图可以得到请解答下列问题：
    类似图的数学等式，写出图表示的数学等式：______ ；
    若，用上面得到的数学等式求的值；
    小明同学用图中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值；
    如图大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个小长方形的两边，观察图案，以下关系式正确的是______ 填序号．
    ，，，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、积的乘方的运算法则、完全平方公式、单项式除以单项式的运算法则解答即可．
本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的运算法则、完全平方公式、单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
同位角相等，两直线平行．
故选：．

由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行．
此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是多项式乘法，不是分解因式，故本选项错误；
B、是提公因式法，不是分解因式，故本选项错误；
C、右边不是积的形式，故本选项错误；
D、右边是积的形式，故本选项正确．
故选：．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
此题考查了因式分解的意义；这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
对于任意都成立，
，，
，
故选：．
利用多项式乘多项式的法则进行计算，根据题意得出，的值，即可求出的值．
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可得，
当时，，不能得到，故选项A符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C不符合题意；
当时，，故选项D不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定方法，可以判断各个选项中的条件，是否可以得到，从而可以解答本题．
本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，而，
或，
或．
故选：．
由于是完全平方式，而，然后根据完全平方公式即可得到关于的方程，解方程即可求解．
本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此列方程组即可求解．
【解答】
解：设绳子长尺，木条长尺，
依题意有．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：



，
故选：．
利用积的乘方的逆运算进行求解即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：底面积为，
侧面积为，
，
提取公式，
，
，
故选：．
先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．
本题考查了因式分解，灵活提取公因式是本题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
据题意得：，
解得：，
把代入方程得：，
当时，，，
把，代入得：左边，右边，是方程的解，故正确；
当时，，即，故正确；
当时，，即或，故错误
，无论为什么实数，的值始终不变为，故正确．
正确的结论是：，
故选：．
把看作已知数表示出方程组的解，把代入求出与的值，代入方程检验即可；
令求出的值，即可作出判断；
把与代入中计算得到结果，判断即可；
令求出的值，判断即可．
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】   

【解析】解：；


．
故答案为：；．
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而得出答案．
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据“当挂物体时，弹簧总长为；当挂物体时，弹簧总长为”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，




．
故答案为：．
根据平方差公式求解即可．
本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：．
 

15.【答案】 

【解析】解：，






．
故答案为：．
利用幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与灵活运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

若，则，则，故原说法正确；
由得到，，若，则，则；故原说法正确；
由得到，，由得，，则，故原说法正确；
由得，只有时，故原说法错误．
正确的有，
故答案为：．
根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．
此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先计算乘方、负整数指数幂和零次幂，后计算加减；
用多项式中的两项分别除以单项式．
此题考查了实数和整式的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

18.【答案】解：，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
原方程组的解为；
，
由得，
将代入，得，
解得，
将代入，得，
原方程组的解为：． 

【解析】根据加减消元法，得的值，再代入可得的值，即可确定方程组的解；
先将方程变形，得，将代入，解出的值，再将的值代入，解出的值，即可确定方程组的解．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；
，，
四边形的面积．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平移变换的性质判断共线即可，利用割补法求四边形面积．
本题考查作图平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求四边形面积．
 

20.【答案】解：当时，






．

，，



． 

【解析】首先根据完全平方公式、平方差公式化简，然后把代入化简后的算式计算即可．
首先把化成，然后把，代入化简后的算式计算即可．
此题主要考查了因式分解的应用，以及整式的混合运算化简求值，注意先化简，再求值．
 

21.【答案】证明：理由如下：
，
，
又，
，
，
；
平分，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，，
． 

【解析】根据性质可得，已知，所以，即，根据平行线的性质两直线平行，同位角相等即可得出答案；
因为平分，所以，根据三角形外角定理，，可计算出的度数，因为，，根据平行线的性质可得，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定进行计算是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为．
设圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮，
依题意得：，
解得：．
答：圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮．
设圆篮共包装了篮，则方篮共包装了篮，
依题意得：，
化简得：，

，且为整数，为正整数，
为的整数倍，
或或．
答：的可能值为或或． 

【解析】根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮，根据两种包装的枇杷共斤且全部售出后销售总收入恰好为元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设圆篮共包装了篮，则方篮共包装了篮，根据总收入仍为元，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，代入中可得出方篮的数量，结合，且为整数，为正整数，即可得出的所有可能值．
本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

23.【答案】   

【解析】解：根据图形可得，
故答案为；
由得：，

，
，，

；
由拼图可知：所拼图形的面积为：，
，
，，，
；
由图可知：，，，
，故正确；
，
即，故正确；
，故正确；
根据已知条件无法得到故错误．
故答案为．
整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等；
依据，进行计算即可；
依据所拼图形的面积为：，而，可得，，的值，从而得解；
由图形可得，，，通过计算可判定，，正确，而无法判定正确．
本题主要考查多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，灵活运用平方差公式及完全平方公式运算是解题的关键．