2021-2022学年广东省珠海市第一中学高二下学期（4月）阶段考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省珠海市第一中学高二下学期（4月）阶段考试数学试题

一、单选题

1．已知e为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对函数求导，然后把代入导函数，求出曲线在点处的斜率，代点斜式求切线方程.

【详解】，当时，切线方程的斜率为，过点，故切线方程为，

故选：C

2．已知函数的导函数的图象如图所示，则（       ）

A．函数有1个极大值点，1个极小值点

B．函数有2个极大值点，2个极小值点

C．函数有2个极大值点，3个极小值点

D．函数有1个大值点，3个极小值点

【答案】A

【分析】由极值的定义，应用数形结合法判断零点左右函数值的符号，即可确定极值点情况.

【详解】根据极值的定义，判断两侧的符号，

1、左正右负，在这个点处取得极大值；

2、左负右正， 在这个点处取得最小值；

3、左右都是正，或者左右都是负，在这个点处不是极值.

由图知：是函数的极大值点，是极小值点，，不是极值点.

故选：A

3．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为

A．1∶2 B．1∶π

C．2∶1 D．2∶π

【答案】C

【详解】设圆柱的高为x cm，底面半径为r cm，则，圆柱的体积（x3－12x2＋36x）（0<x<6），V′＝（x－2）（x－6），当x＝2时，V取

极大值，也是最大值．此时底面周长为4 cm，底面周长∶高＝4∶2＝2∶1.

【解析】体积最大问题.

4．已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题得在R上恒成立，解不等式即得解.

【详解】由题意知，，

因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，

所以在R上恒成立，

故，

即．

故选：B

【点睛】结论点睛：一般地，函数在某个区间可导 ，在这个区间是增函数0.一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是减函数0.

5．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有

A．250个 B．249个 C．48个 D．24个

【答案】C

【详解】先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有个，应选答案C．

6．若函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对函数求导后可求得在处取极大值，处取极小值，则由题意可得，从而可求出实数m的取值范围

【详解】由，得，

由，得或，由，得，

所以在处取极大值，处取极小值，

所以要使函数在区间上存在最小值，则

，即，解的，

故选：B

7．用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为

A．610 B．630 C．950 D．1280

【答案】B

【详解】试题分析：采用分类原理：第一类：涂两个红色圆，共有种；第二类：涂三个红色圆，共有种；故共有630种．

【解析】排列、组合及简单计数问题．

8．已知函数，若函数的零点有两个或三个，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将问题转化为直线与函数的图象有个或个交点的问题，利用导数分析函数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得出实数的取值范围.

【详解】时，，则，

当时，，函数递增；

当时，，函数递减，且此时.

时，，，令，可得.

当时，，函数递增；

当时，，函数递减，且此时；

所以极小值，极大值，，

在且时，，

函数的示意图如图所示，

所以当它与有个或个交点时，.

故选：B.

二、多选题

9．（多选）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（       ）

A．在上是增函数 B．在上是减函数

C．在上是增函数 D．当时，取得极小值

【答案】CD

【解析】根据，则递增，，则递减判断.

【详解】的图象在上先小于0，后大于0，故在上先减后增，因此A错误；

的图象在上先大于0，后小于0，故在上先增后减，因此B错误；

由图可知，当时，，所以在上单调递增，因此C正确；

当时，，当时，，所以当时，取得极小值，因此D正确．

故选：CD．

10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）

A．所有可能的方法有种

B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种

D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

【答案】BCD

【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.

【详解】所有可能的方法有种，A错误.

对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.

对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.

对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.

故答案为：BCD

11．已知（e为自然对数的底数），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用指数函数的单调性，可比较大小，然后将，，变形并构造函数，利用导数判断其单调性，进而比较出，，的大小关系，由此可判断A，B，C，D.

【详解】因为，所以，，．

对，，这三个数先取自然对数再除以，则，，,

设，则，由，解得，

所以在上单调递增，故，

即，则，故，

故选：AD．

12．已知函数，下列说法正确的是（       ）

A．存在直线与，的图像分别交于A，B两点，使得在A处的切线与在B处的切线平行

B．若，恒成立，则正实数a的最小值为

C．若，图像与直线分别交于A，B两点，则的最小值为

D．对于，都存在零点

【答案】ABC

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线平行可求出m,判断A，利用同构转化为，分离参数后求最值即可得解,判断B，曲线上两点间距离，构造函数求最小值可判断C，利用导数判断函数的单调性得出极值，根据极值的正负可判断D.

【详解】对于A，假设存在满足题意，可，，，，，因为在在A处与在B处的切线平行所以有，即，得，故存在m符合题意，故A正确;

对于B，不等式化为，令，则，所以在上递增，故同构可得：，即的最大值，令，则，所以时，当时，所以，所以成立，故B正确;

对于C，可知，，，令

在上递增，且，当，，

当，，所以，故C正确;

对于D，因为，所以，令，存在使得，故在单调递减，在区间单调递增，的最小值为，当时，不存在零点，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知函数，求___________

【答案】2

【分析】求出函数的导函数，将代入即可得解

【详解】解：，

故答案为：2

14．将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有______种.

【答案】

【分析】利用分步乘法计算原理计算可得；

【详解】解：先在第一列里任选一格不放硬币，有3种选法；

再在第二列里选一格（不能选与第一列同行的空格）不放硬币，有2种选法，最后在第三列里选一格（不能与第一、二列同行的空格）不放硬币，有1种选法；

所以共有种方法，

故答案为：

【点睛】本题考查分步乘法计算原理的应用，属于基础题.

15．函数在处取得极值10，则___________.

【答案】

【分析】由在处取得极值10，求得解得或，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为在处取得极值10，可得，

解得或，

检验知，当时，可得，

此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；

当时，可得，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

当时，函数取得极小值，符合题意.

所以.

故答案为：.

【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：

1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；

2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；

3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

四、双空题

16．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，每个班级都必须有教师带队且每个班级至多两位老师带队，教师甲､乙不能单独带队.若甲乙一起带队则不同的带队方案有___________；若甲乙不能在同一队则不同的带队方案有___________；（用数字作答）

【答案】     18     36

【分析】①若甲乙一起带队，从三位老师中选出两位一起带队，再分配班级即可；

②若甲､乙分别与另一位老师带队，则从三位老师中选出两位与甲或乙组队，再分配班级即可.

【详解】①由题，若甲乙一起带队，则共有种情况.

②若甲､乙分别与另一位老师一起带队则共有种情况.

故答案为：18；36.

五、解答题

17．（1）解关于的方程．

（2）求关于的不等式的解集．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）由排列数的定义化简后求解；

（2）由组合数的定义化简后求解．

【详解】解：（1）因为，

所以，

解得．

（2）因为，所以原不等式等价于，

即，解得．

又，且，所以原不等式的解集为．

18．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求导，利用导数讨论函数的单调性，由单调性判断极值情况，然后可得；

（2）将问题转化为，结合（1）可知.

【详解】(1)∵，定义域为

∴

设，可得或（舍），

由，得；由，得，

所以的单调增区间为，单调减区间为；

当x变化时，，的变化情况如下表：

当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.

(2)在内存在x，使不等式成立

等价于，由（1）知

所以，即a的取值范围为

19．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）

(1)3名女生不能相邻，有多少种不同的排法？

(2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？

(3)甲､乙､丙三人按从高到低从左到右排列，有多少种不同的排法？（甲､乙､丙三位同学身高互不相等）

【答案】(1)种

(2)种

(3)种

【分析】（1）先排4名男生，然后再把3名女生插入5个空中即可；

（2）分女生甲站在右端和女生甲不站在右端，排列其他元素后求和即可；

（3）先把7名同学全排，再除以甲乙丙全排即可.

【详解】(1)分2步进行分析：

①将4名男生全排列，有种情况，排好后有5个空位，

②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，

故3名女生不能相邻的排法有种；

(2)分2种情况讨论：

①女生甲站在右端，其余6人全排列，有种情况，

②女生甲不站在右端有5种站法，女生乙有5种站法，其余5人全排，有种情况，

故一共有种；

(3)首先把7名同学全排列，共有种结果，

甲､乙､丙三人内部的排列共有种结果，

要使甲､乙､丙三个人按照一个从高到低从左到右的顺序排列，

结果数只占6种结果中的一种，

故有种.

20．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形为矩形，，和是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点F在平面和上射影分别为H，M，已知米，米，梯形的面积是面积的倍．设．

（1）求屋顶面积关于的函数关系式；

（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为元/米．现欲造一栋上、下总高度为米的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由题意知，在中，，得的面积为，从而得屋顶面积为；

（2）别墅总造价为，令，求导求最值即可求解.

【详解】

（1）由题意知平面，，

又因为平面，所以，

在中，，，所以，

因此的面积为，

从而得屋顶面积为，

所以屋顶面积关于的函数关系式，；

（2）在中，，所以主体的高度为，

所以

，

令，，则，

令解得，令解得，

所以在单调递减，在单调递增，

所以当时，取得最小值，

即当时，总造价最低.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出的边角关系，表示出的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可.

21．已知函数．

（1）讨论单调性；

（2）若函数在上不单调，求a的取值范围．

【答案】（1）单调性见解析；（2）.

【分析】（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．

（2）若函数在上不单调，则有在上有解.

求的导函数，可得，令，求的值域即可求出的范围.

【详解】解：（1），

（i）当时，，所以时，，此时单调递减；

时，，此时单调递增；

（ii）当时，，则有时，，单调递增，

当时，，单调递减，当时，，单调递增；

（iii）当时，恒成立，在上单调递增.

综上所述：时， 在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

时， 在上单调递减，在和（0，+∞）上单调递增；

时，在R上单调递增；

（2）函数，若函数在上不单调，则在上有解.

又，可得：

令，则有，

因为，则有恒成立，所以在上单调递减，

所以，即，解得：.

22．函数.

(1)若恒成立，求a的值；

(2)若有两个不相等的实数解，，证明.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意由，要使恒成立，需使得为函数的最小值点，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即可得解；

（2）依题意可得，要证，即证：，不妨设，令，，则需证：，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证；

【详解】(1)解：函数，则，

要使恒成立，需使得为函数的最小值点，

由

①当时，，此时在R上单调递减，不符合题意；

②当时，令得，令得

∴在单调递减，在单调递增，

∴时取最小即

∴

(2)解：若有两个不相等的实数解，，

则，，

两式相减得：，即，

故要证，只需证：，

即证：，即证：，

不妨设，令，，

则需证：，

设，，则，，

设，，则，当时取等号，

即，单调递减，故，

即是，单调递减函数，故，

即成立，故原不等式成立.