2021-2022学年四川省绵阳市三台县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省绵阳市三台县八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D.

4. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线，就可以判断，其推理依据是(    )

A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形

5. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 直角三角形两条直角边长分别是和，则第三边上的中线长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作上于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，▱的对角线，交于点，，，垂足为，若，，则▱的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，以长方形的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点；再以顶点为圆心，长为半径画弧，交于点若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，四边形与四边形都是正方形，是正方形的中心，交于点，交于点，下列结论：≌；；；若正方形的边长为，则四边形的面积等于，其中正确的结论有(    )

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 计算：______．
14. 若，为实数，，则______．
15. 如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则______

16. 设实数、在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是______．

17. 在中，若，，，则的面积是______．
18. 已知：正方形中，对角线、相交于点，的平分线交于点，交于点，，则______．

三．解答题（本题共7小题，共46分）

19. 计算：．
20. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第个数和第个数．

21. 已知：如图，、是平行四边形的对角线上的两点，．
    
    求证：≌；
    ．
22. 如图，中，，长为，点是上的一点，，．
    求证：；
    求线段的长．

23. 如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点
    求证：四边形为菱形；
    如果，，，求的长

24. 在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为，
    取何值时，四边形为矩形？
    是上一点，且，取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？

25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，在轴正半轴上，在轴正半轴上，且、
    如图，在矩形的边上取一点，连接，将沿折叠，使点恰好落在边上的处，求的长；
    将矩形的边沿轴负方向平移至其它边保持不变，、分别在边、上且满足如图，、分别为、上一点．若，求证：；
    如图，、、、分别为、、、上一点，、交于点若，，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为：．；
C.；
D.；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
B、选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
在判断最简二次根式的过程中要注意：
在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数等于或大于，也不是最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C、，此选项正确；
D、，此选项错误．
故选：．
A、根据合并同类二次根式的法则计算，
C、根据二次根式的除法计算，
D、根据二次根式的乘方计算．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握同类二次根式的概念，以及掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A中三条线段不能组成直角三角形；
，故选项B中三条线段不能组成直角三角形；
，故选项C中三条线段不能组成直角三角形；
，故选项D中三条线段能组成直角三角形；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：．
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故选D．
本题考查了二次根式的性质：，．
等式左边为非负数，说明右边，由此可得的取值范围．
 

6.【答案】 

【解析】解：直角三角形两条直角边长分别是和，
斜边，
第三边上的中线长为．
故选：．
根据勾股定理列式求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：．

利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、勾股定理及含直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作轴于点，由直角三角形的性质求出长和长即可．
【解答】
解：过点作轴于点，

四边形为菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可．
本题考查菱形的性质、勾股定理以及三角形面积；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：平行四边形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
▱的面积为，
故选：．
根据题意分别求得线段和线段的长，利用底乘高求得平行四边形的面积即可．
考查了平行的四边形的性质及解直角三角形的知识，了解含角的直角三角形的性质是解答本题的关键，
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

则，，
为直角三角形，
，
，
．
故选：．
连接，可得出，由矩形的性质得到，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由求出的长，由求出的长即可．
此题考查了矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是正方形的中心，
，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
≌，
，
所以正确，
，
，
过点有且只有一条直线和垂直，
不垂直，
所以错误；
在和中，，
≌，
，
，
正方形的边长为，
，
；
所以错误，
即：正确的有，
故选：．
先由正方形的性质得出，，，进而判断出，即可得出≌，得出正确，利用过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断错误，再判断出≌，得出即可求出四边形的面积，即可判断出正确．
此题是主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出≌，是一道中考常考题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
根据二次根式的乘法法则计算．
主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
解得：，
，
，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：
连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由数轴可知：，，
原式，
故答案为：．
根据数轴得出，，根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可．
本题主要考查对二次根式的性质，绝对值的意义等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解此题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，求出，的长度是解题的关键．
过点作，垂足为，通过勾股定理可求出，，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式可求出的面积．
【解答】
解：过点作，垂足为，如图所示．

在中，，；
在中，，，
，
或，
或．
故答案为或．  

18.【答案】 

【解析】解：如图作交于点．

四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
．
故答案为．
如图作交于点首先证明是等腰直角三角形，推出，求出即可解决问题；
本题考查正方形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】原式
． 

【解析】本题涉及零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算是解题的关键．
 

20.【答案】解：当时，；
当时，



． 

【解析】分别把、代入式子化简求得答案即可．
此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，即．
又是平行四边形，
，．
．
在与中
，
≌．
≌，
．
． 

【解析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要证≌，因为，则两边同时加上，得到，又因为是平行四边形，得出，，从而根据推出两三角形全等；
由全等可得到，所以得到．
 

22.【答案】证明：，，，
，
，
；
解：设，则，
，
，
，
，
解得：，
． 

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；

解：连接，交于，

，，
，
平分，
．
由知，平行四边形是菱形，则，．
．
由勾股定理得到：，即．
解得：．
所以． 

【解析】根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
根据含的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，四边形为矩形，
则有，解得，
答：时，四边形为矩形．

当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 

【解析】当时，四边形为矩形，列出方程即可解决问题；
分两种情形列出方程即可解决问题；
本题考查矩形判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

25.【答案】解：如图，由题意得：，，
设，则，，
在中，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
；

如图，在的延长线上取一点，使，
，，
四边形是正方形，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
；

如图，过作，在轴负半轴上取一点，使，得▱，
且≌，则，
过作交于，连接，得▱，则，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
≌，

在中，，，
根据勾股定理得：，
，
设，则，，
则，
解得：，
，
根据勾股定理得：，
． 

【解析】设，在中，根据勾股定理列方程解出即可；
作辅助线，构建两个三角形全等，证明≌和≌，由，得出结论；
作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，可得▱和▱，则，，证明≌和≌，得，设，在中，根据勾股定理列方程求出的长，再利用勾股定理求，则与相等，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形、正方形、全等三角形等图形的性质与判定；知识点较多，综合性强，注意将矩形的边沿轴负方向平移至，得到正方形时，边长为；第问中的两个问题思路一致：在正方形外构建与全等的三角形，可截取，也可以将绕点顺时针旋转得到，再证明另一对三角形全等，得出结论，是常考题型．