九年级上册人教版数学同步讲义 第十讲 与圆有关的位置关系

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第十讲  与圆有关的位置关系知识点一：如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．当d›r时，直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆相离；当d=r时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切；当d‹r时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交；反之也成立。总结：d>r直线与圆相离  d=r直线与圆相切     d<r直线与圆相交 直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系相交相切相离方法1.看公共点的个数（形）210方法2.  找圆心到直线距离d与半径r的关系（数）d<rd=rd>r 【例题讲解】题型一:点与圆的位置关系例1.如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为6,那么:①点P在⊙O外,则r     ；②点P在     ，则r=6;③点P在      ，则r>6.   变式训练：1.☉O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与☉O的位置关系是(     )A.点P在☉O内   B.点P在☉O上C.点P在☉O外   D.点P在☉O上或☉O外2.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A,B,C,D四点中在圆内的有(       )A.1个       B.2个       C.3个       D.4个题型二：确定圆的条件例2.小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(保留作图痕迹).(2)若在△ABC中,AB=8 m,AC=6 m,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.  变式训练：1.下列说法正确的是(    )A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B.过两点A,B的圆的圆心在一条直线上[来源:Zxxk.Com]C.过三点A,B,C的圆的圆心有且只有一点[来源:学.科.网Z.X.X.K]D.过四点A,B,C,D的圆不存在2.已知a,b,c是△ABC的三边长,外接圆的圆心在△ABC一条边上的是(    )A.a=15,b=12,c=1 B.a=5,b=12,c=12C.a=5,b=12,c=13 D.a=5,b=12,c=14  3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM为中线，以C为圆心，cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________．题型三:直线和圆的位置关系的定义和性质的应用例3.设☉O的半径是r,点O到直线l的距离是d,若☉O与l至少有一个公共点,则r与d之间的关系是(　　)A.d>r   B.d=r   C.d<r   D.d≤r变式训练：1.已知☉O的直径是10cm,点O到直线l的距离为d,若d=4cm,则l与☉O有        个公共点.2.以等腰三角形顶角的顶点为圆心,顶角的平分线为半径的圆必与        相切.3.在△ABC中,∠A=45°,AC=4,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2.(2)r=2.(3)r=3.  知识点二：1、切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径．切线的性质归纳： ①切线和圆只有一个公共点.②切线和圆心的距离等于圆的半径. ③上面的性质定理.④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线.思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③上面的判定定理.  2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.【例题讲解】题型一:概念和定理的辨析[来源:学科网ZXXK]例1.判断正误，说明理由：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（  ）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（  ）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（  ）(4)过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线  （  ）变式训练：1.下列直线能判定为圆的切线是（   ）A、与圆有公共点的直线          B、垂直于圆的半径的直线C、过圆的半径外端的直线        D、到圆心的距离等于该圆半径的直线2．下列命题正确的是（    ）  A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部  C．等边三角形的内心，外心重合             D．一个圆一定有唯一一个外切三角形   题型二：定理的应用例2.如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长. 变式训练：1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（　　）A．30°        B．25°        C．20°        D．15°2.如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB为厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线ＡＢ相切.3.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D. BD是⊙O的切线吗？为什么？4. 如图，在⊿ABC中，∠C=900, AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB 、AC都相切，求⊙O的半径.课堂练习：1.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为(    )[来A.在⊙A内          B.在⊙A上          C.在⊙A外           D.不确定2.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在(    )A.甲圆内           B.乙圆外        C.甲圆外，乙圆内     D.甲圆内，乙圆外3.点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.[来4．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．其中正确命题的个数是（  ）A．1        B．2         C．4         D．55．如图,在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在Y轴，X轴上，以AB为弦的⊙M与X轴相切，若点A的坐标为（0，8）,则圆心M的坐标为（    ）A.(4,-5）       B.（5，-4）    C.（-5，4）    D.（-4,5）6.已知☉O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与☉O的位置关系是(　　)A.相切        B.相离C.相离或相切      D.相切或相交 7.如图,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(     )A.相交         B.相切C.相离         D.无法确定8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（  ） A．30°        B．45°        C．60°        D．40°9.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是(　　)[来源:学&A.9   B.10   C.12   D.1410．如图，AP、BP分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，点C是圆上一动点，则∠C度数为（   ） A.60°    C.40°       D.72°         D、60°或120° [来源:学科网ZXXK]11.如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠BAD=35°,过点D作☉O的切线交AB的延长线于点C,则∠C=　　　　.[来源:12.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,以AD为直径的☉O切BC于E,连接OB,OC,试探究OB与OC有何位置关系?[来源:Z_xx_k.Com]13．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．求证：∠PCA=∠PBC；[来源:学#科#网Z#X#X#K]课后作业：1．已知⊙O的直径为10，若点P是⊙O内部一点，则OP的长度的取值范围为（      ）A．OP<10      B．OP≤5       C．0≤OP<5       D．0<OP<52．直角三角形的两条直角边分别为和5，则其外接圆的半径为（      ）A．5        B．12         C．13           D．6.53．下列命题不正确的是（       ）A．三点确定一个圆               B．三角形的外接圆有且只有一个   C．经过一点有无数个圆           D．经过两点有无数个圆  4.已知Rt△ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.(1)以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；(2)以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；[来源:Zxxk.Com](3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________.5.⊙O内最长弦长为m，直线l与⊙O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是(    )A.d=m             B.d＞m           C.d＞            D.d＜[来源:学§科§网]6.⊙O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP=5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是(    )A.相离             B.相切             C.相交             D.相切或相交7.下列图形中四个顶点在同一个圆上的是（      ）A．矩形、平行四边形      B．菱形、正方形   [来源:Zxxk.Com] C．正方形、平行四边形    D．矩形、等腰梯形8．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有______个．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AO＝x，⊙O的半径为1，问：当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交？ 10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（   ）[来源:学&科&网Z&X&X&K]A.3        B.2         C.1         D.011.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,☉O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线长PQ的最小值为          .12．已知：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O的于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=45°．求证:∠D＝2∠CAD；13．已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线． 14．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．