2.2.1不等式及其性质第2课时教案

教学目标：

1.使学生会用不等式的性质证明简单不等式；

2.使学生会用作差法等综合法证明简单不等式；

3.使学生理解反证法的特点和步骤；

4.使学生会用分析法证明简单不等式；

5.培养学生数学运算、逻辑推理等数学素养.

教学重点：

利用不等式的性质证明简单不等式；

用作差法等综合法证明简单不等式.

教学难点：

正确使用反证法和分析法.

教学过程：

一、新课讲解

【任务1】　　

请用两种方法证明以下命题：

(1)  已知a > b，c < d，求证: a-c > b-d ;

(2）已知a > b , ab > 0，求证：；

(3）已知a >b >0，0<c <d，求证:；

（1）方法1

因为a > b，c <d，所以a > b , -c > -d .根据推论2，得a-c > b-d .

方法2

(a-c)-(b-d)=a-c-b+d =(a-b)+(d-c)，

因为a >b , c < d，所以a-b>0，d-c >0，

从而(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0，

所以a-c > b- d .

（2）方法1

因为ab>0,所以，

又因为a>b,所以，即，

因此。

方法2

，

因为a>b,所以b-a<0,

又因为ab>0,所以<0,

所以。

（3）方法1

  因为0<c <d，根据（2）的结论，得；

又因为a > b > 0，所以根据推论3可知

，即。

方法2

，

因为0<c <d，即d >c >0，且a >b > 0 ,

所以ad >bc，所以ad -bc >0 ，

所以>0,

所以。

【设计意图】　　

要求学生运用不等式性质和作差法来完成这三道题目，一是巩固上节课学到的不等式的性质，二是熟悉作差法这种比较大小的最常用的方法，三是进一步体会综合法证明问题的逻辑过程.

【任务2】

求证:如果a >b >0，那么.

方法1

假设，

根据推论4和二次根式的性质，得a≤ b ，这与a > b矛盾，因此假设不成立，所以成立.

方法2

，

因为a > b >0，所以a-b > 0,a +b > 0

所以，

所以。

【设计意图】　

这也是不等式性质推论5，有关开方运算的结论，在开平方时直接作差，分母有理化可以完成，但这比较难想，不过这还会在后面用到.因为直接证明比较困难，所以适合使用反证法，让学生理解反证法的证明逻辑，还可补充简单问题，加深理解.

【任务3】

尝试证明.

方法1：

要证

需证

展开得，即

只需证，即21<25

所以成立。

方法2：反证法

假设，

则 　　

展开得，即，

所以，即2125，

这与21<25矛盾，所以假设不成立，

所以成立。

【设计意图】

分析法是很重要的证明方法，借助此题让学生理解分析法是如何证明问题的，此题也可训练使用反证法.

二、课堂练习

已知m >0，求证:

(请分别用综合法，分析法，反证法证明)

综合法:

，

因为m>0，所以3+m > 0,

所以，

所以

分析法：

 因为m>0，所以3+m > 0，

所以

因为m >0，所以结论成立.

反证法：

假设不成立，即成立，

因为m >0，所以3+m > 0,

所以3(1+m)≤3+m ,

所以m≤0，这与条件m > 0矛盾，

所以假设不成立，成立。

三、课堂小结

1.作差法是比较大小的常用方法；

2.综合法是证明问题的常用方法，在用综合法证明不等式时，熟练使用不等式的性质非常重要；　　

3.对于一些比较特别的问题，可以考虑使用分析法和反证法.