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    高中数学人教B版必修第一册(2019) 教学设计_ 不等式及其性质(第2课时)1
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    高中人教B版 (2019)2.2.1 不等式及其性质第2课时教案设计

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    这是一份高中人教B版 (2019)2.2.1 不等式及其性质第2课时教案设计,共5页。教案主要包含了新课讲解,课堂小结等内容,欢迎下载使用。

    2.2.1不等式及其性质第2课时教案

    教学目标:

    1.使学生会用不等式的性质证明简单不等式;

    2.使学生会用作差法等综合法证明简单不等式;

    3.使学生理解反证法的特点和步骤;

    4.使学生会用分析法证明简单不等式;

    5.培养学生数学运算、逻辑推理等数学素养.

    教学重点:

    利用不等式的性质证明简单不等式;

    用作差法等综合法证明简单不等式.

    教学难点:

    正确使用反证法和分析法.

    教学过程:

    一、新课讲解

    【任务1】  

    请用两种方法证明以下命题:

    (1)  已知a > b,c < d,求证: a-c > b-d ;

    (2)已知a > b , ab > 0,求证:

    (3)已知a >b >0,0<c <d,求证:

    (1)方法1

    因为a > b,c <d,所以a > b , -c > -d .根据推论2,得a-c > b-d .

    方法2

    (a-c)-(b-d)=a-c-b+d =(a-b)+(d-c),

    因为a >b , c < d,所以a-b>0,d-c >0,

    从而(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0,

    所以a-c > b- d .

    (2)方法1

    因为ab>0,所以

    又因为a>b,所以,即

    因此

    方法2

    因为a>b,所以b-a<0,

    又因为ab>0,所以<0,

    所以

    (3)方法1

      因为0<c <d,根据(2)的结论,得

    又因为a > b > 0,所以根据推论3可知

    ,即

    方法2

    因为0<c <d,即d >c >0,且a >b > 0 ,

    所以ad >bc,所以ad -bc >0 ,

    所以>0,

    所以

    【设计意图】  

    要求学生运用不等式性质和作差法来完成这三道题目,一是巩固上节课学到的不等式的性质,二是熟悉作差法这种比较大小的最常用的方法,三是进一步体会综合法证明问题的逻辑过程.

    【任务2】

    求证:如果a >b >0,那么.

    方法1

    假设

    根据推论4和二次根式的性质,得a≤ b ,这与a > b矛盾,因此假设不成立,所以成立.

    方法2

    因为a > b >0,所以a-b > 0,a +b > 0

    所以

    所以

    【设计意图】 

    这也是不等式性质推论5,有关开方运算的结论,在开平方时直接作差,分母有理化可以完成,但这比较难想,不过这还会在后面用到.因为直接证明比较困难,所以适合使用反证法,让学生理解反证法的证明逻辑,还可补充简单问题,加深理解.

    【任务3】

    尝试证明.

    方法1:

    要证

    需证

    展开得,即

    只需证,即21<25

    所以成立。

    方法2:反证法

    假设

       

    展开得,即

    所以,即2125,

    这与21<25矛盾,所以假设不成立,

    所以成立。

    【设计意图】

    分析法是很重要的证明方法,借助此题让学生理解分析法是如何证明问题的,此题也可训练使用反证法.

    二、课堂练习

    已知m >0,求证:

    (请分别用综合法,分析法,反证法证明)

    综合法:

    因为m>0,所以3+m > 0,

    所以

    所以

    分析法:

     因为m>0,所以3+m > 0,

    所以

    因为m >0,所以结论成立.

    反证法:

    假设不成立,即成立,

    因为m >0,所以3+m > 0,

    所以3(1+m)≤3+m ,

    所以m≤0,这与条件m > 0矛盾,

    所以假设不成立,成立。

    三、课堂小结

    1.作差法是比较大小的常用方法;

    2.综合法是证明问题的常用方法,在用综合法证明不等式时,熟练使用不等式的性质非常重要;  

    3.对于一些比较特别的问题,可以考虑使用分析法和反证法.

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