高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系教学设计

第三章  函数

3.2 函数与方程、不等式之间的关系教学设计

教材分析：

本节课要学的是方程的根与函数的零点，其中包括函数零点的概念以及函数零点的判定，由于学生已经学过一元二次方程与二次函数的关系，本节课的内容就是在此基础上的推广.

教学目标：

1.结合学生已经学习的函数零点的相关知识，理解函数、方程、不等式之间的依存关系；

2.训练学生会用函数与对应的方程和不等式之间的关系解不等式；

3.在求解不等式的过程中，训练学生运用数形结合思想，逻辑推理、数学运算的学科素养。

【教学重点】

1.了解函数（结合二次函数）零点的概念；

2.理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系；

3.掌握零点存在性定理的运用.

【教学难点】

1.掌握零点存在性定理的运用，是指会利用零点存在性定理判定在哪个区间存在零

课前准备

在本节课的教学中，准备使用《几何画板》。因为使用《几何画板》，可以把抽象问题转化为直观形象具体的问题，便于学生理解。

教学过程

一、函数的零点

【尝试与发现】

由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若

A={x∈D|f（x）<0}，

B={x∈D|f（x）=0}，

C={x∈D|f（x）>0}，

显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D=A∪B∪C.

一般地，如果函数y=f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）=0，则称a为函数y=f（x）的零点.上述集合B就是函数所有零点组成的集合。

不难看出，a是函数f（x）零点的充分必要条件是，（a，0）是函数图像与x轴的公共点。因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0相对大小比较的不等式的解集.

【典型例题】

例1 如下图所示是函数y=f（x）的图像，分别写出f（x）=0，f（x）>0，f（x）≤0的解集.

解   由图可知，f（x）=0的解集为

{一5，一3，一1，2，4，6}.

f（x）>0的解集为

（一5，-3）∪（2，4）∪（4，6）.

f（x）≤0的解集为                                

依照零点的定义可知，求函数y=f（x）的零点，实质上就是要解方程f（x）=0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）>0等不等式的解集.

二、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图像是抛物线，因此可以借助二次函数的图像得到一元二次不等式的解集.

【典型例题】

例2   利用函数求下列不等式的解集：

（1）x2-x-6<0；（2）x2-x-6≥0.

解  设f（x）=x2-x-6，令f（x）=0，得

x2-x-6=0，

即(x-3)(x+2)=0，从而x=3或x=-2.

因此3和-2都是函数f（x）的零点，从而f（x）的图像与x轴相交于（3，0）和（-2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像示意图如下图所示.

由图可知：

（1）所求解集为（-2，3）；

（2）所求解集为（-∞，-2]∪[3，+∞）.

例3 利用函数求下列不等式的解集：

（1）-x2-2x-3≥0；

（2）-x2-2x-3<0.

解  设f（x）=-x2-2x-3，令f（x）=0，得

x2+2x+3=0，

即(x+1)2=-2，该方程无解。

因此函数f（x）无零点，从而f（x）的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像示意图如下图所示。

由图可知：

（1）所求解集为∅；

（2）所求解集为R

例4  利用函数求下列不等式的解集：

（1）x2-4x+4>0；（2）x2-4x+4≤0.

解  设f（x）=x2-4x+4，令f（x）=0，得

x2-4x+4=0，

即(x-2)2=0，从而x=2.

因此函数f（x）的零点为2，从而f（x）的图像与x轴相交于（2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可知：

（1）所求解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；

（2）所求解集为{2}.

一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）：

（1）当Δ=b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图像与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0）；

（2）当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素xo，且xo是f（x）唯一的零点，f（x）的图像与x轴有一个公共点；

（3）当Δ=b2-4ac=0<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根，此时f（x）无零点，f（x）的图像与x轴没有公共点。

更进一步，可以由二次函数的图像得到对应的不等式的解集，有关内容留作练习。

例5  求函数f（x）=（x+2）（x+1）（x-1）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）>0和f（x）≤0的解集。

解 函数零点为一2，-1，1.

函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下

由此可以画出函数图像的示意图如下图所示。

由图可知f（x）>0的解集为

（-2，-1）∪（1，+oo）；

f（x）≤0的解集为

（-∞，-2]∪[-1，1].

三、零点的存在性及其近似值的求法

【尝试与发现】

一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式。

但是，对于次数大于或等于3的多项式函数（例如f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0），以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在求根公式）.因此，我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点.

【尝试与发现】

可以看出，尝试与发现中的函数f（x）在区间（a，b）中一定存在零点

函数零点存在定理  如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）<0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y=f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，即

∃xo∈（a，b），f（xo）=0.

一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的.需要注意的是，反比例函数      的图像不是连续不断的.

例6 求证：函数f（x）=x3-2x+2至少有一个零点.

证明  因为

f（0）=2>0，f（-2）=-8+4+2=-2<0，

所以f（-2）f（0）<0，因此∃xo∈（-2，0），f（xo）=0，即结论成立。

例6中的函数在区间（-2，0）中存在零点xo，但是不难看出，求出xo的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比如，能否求出一个x1，使得|x1-x0|<  ？

【尝试与发现】

如果在区间（一2，0）中任取一个数作为xo的近似值，误差小于2；如果取区间（一2，0）的中点作为x。的近似值，误差小于1.

一般地，求x。的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示.

其中第2行的区间是（-2，-1），这是因为f（-2）f（-1）<0，其他区间都是用类似方式得到的.最后一行的函数值没有计算，是因为不管xo∈（-2，      ]，还是xo∈[    ，   ），我们都可以将    要看成xo的近似值，而且误差小于

当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值

上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法。

在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f（a）f（b）<0），给定近似的精度ε，用二分法求零点xo的近似值x1，使得|x1-xo|<ε的一般步骤如下：

例7 已知函数f（x）=x2+ax+1有两个零点，在区间（-1，1）上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

解  因为函数f（x）的图像是开口朝上的抛物线，因此满足条件的函数图像示意图如下图（1）（2）所示。

不管哪种情况，都可以归结为f（-1）f（1）<0且||≥1，因此

（2-a）（a+2）<0且|a|≥2，

解得a<-2或a>2.

四、信息技术求函数零点

教学反思

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对函数的零点与方程的根这两个概念容易产生混淆。产生这一问题的原因是学生学习习惯差，对于知识的学习不到位，要解决这一问题，就要通过举例强调两者之间的关系。