高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用教学设计

第二章  等式与不等式

2.2.4 均值不等式及其应用教学设计

教材分析：

本节内容为均值不等式及其应用。教材主要给出了其证明公式及几何意义,例题中的几个结论也需要熟记并学会推导。

教学目标：

1.使学生学会推导均值不等式；

2.帮助学生理解均值不等式；

3.训练学生初步掌握均值不等式的应用；

4.进一步训练学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养。

【教学重点】

1.均值不等式定理的证明和应用.

2.会用均值不等式解决简单的最大（小）问题.

【教学难点】

1.注意运用定理求最大（小）值的条件

教学过程

给定两个正数a，b，数       称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值①.两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？

①多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义.例如，a，b，c的算术平均值为，几何平均值为

【尝试与发现】

从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.一般地，我们有如下结论.

均值不等式  如果a，b都是正数，那么，

当且仅当a=b时，等号成立.

证明   因为a，b都是正数，所以

即

而且，等号成立时，当且仅当                ，即a=b.

值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如

           ①

一定是正确的.

均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.那么，均值不等式有什么几何意义呢？

将均值不等式两边平方可得

如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，

可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.

【想一想】

【探索与研究】

【典型例题】

例1 已知x>0，求          的最小值，并说明x为何值时y取得最小值

解  因为x>0，所以根据均值不等式有

其中等号成立当且仅当x=  ，即x2=1，解得x=1或x=-1（舍）

因此x=1时，y取得最小值2.

例2已知ab>0，求证：          ，并推导出等号成立的条件.

证明   因为ab>0，所以      ，.

根据均值不等式，得

即         

当且仅当      ，即a2=b2时，等号成立。因为ab>0，所以等号成立的条件是a=b.

例3 （1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

分析  在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值.

解（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy=100.

因为x>0，y>0，所以

所以2（x+y）≥40.

当且仅当x=y时，等号成立，由  x=y可知此时x=y=10.

                              xy=100

因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.

（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2（x+y）=36，即x+y=18.

因为x>0，y>0，所以

因此，即xy≤81.

当且仅当x=y时，等号成立，由   x=y   

x+y=18      ,可知此时          x=y=9

因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.

例3的结论可以表述为：

两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.

例4  已知x∈（-1，3），求y=（1+x）（3-x）的最大值，以及y取得最大值时x的值.

解  当x∈（-1，3）时，一1<x<3，因此1+x>0，3一x>0.

由均值不等式可得                            ，

从而（1+x）（3-x）≤4，即y≤4.

当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立.

从而x=1时，y取得最大值4.

例5   已知a，b是实数，求证：

a2+b2≥2ab.

并说明等号成立的条件.

证明  因为

a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，

所以a2+b2-2ab≥0，即

a2+b2≥2ab.

等号成立时，当且仅当(a-b)2=0，即a=b.

例5的结论也是经常要用的.不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别.区别在于例5中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况。

例6已知a，b∈R，求证：

（1）(a+b)2≥4ab；

（2）2(a2+b2)≥(a+b)2.

证明（1）因为a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，得

a2+b2+2ab≥4ab，

即

(a+b)2≥4ab

（2）因为a2+b2≥2ab，两边同时加上a2+b2，得

2(a2+b2)≥a2+b2+2ab，

即

2(a2+b2)≥(a+b)2

【探索与研究】

教学反思

 本节内容需要学生掌握均值不等式以及几个例题中的结论,要熟记并学会推导.