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人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷（标准难度）（含答案解析）

2024-01-12 16:58
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人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷（标准难度）（含答案解析）

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这是一份人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷（标准难度）（含答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

若、是全集的真子集，则下列四个命题：；，是的必要不充分条件其中与命题等价的有( )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

若关于的方程的两个根为，，则的最小值是( )

A. B. C. D.

为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为( )

A. B. C. D.

若函数，则的值域为( )

A. B. C. D.

关于函数，下列说法错误的是 ( )

A. 的图像关于轴对称
B. 在上单调递增，在上单调递减
C. 的值域为
D. 不等式的解集为

如图，点为坐标原点，点，若函数，且及，且的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足( )

A.
B.
C.
D.

牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要分钟，则欲降温到，大约需要多少分钟？，( )

A. B. C. D.

函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是( )

A. B. C. D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

设集合，，，则下列说法中正确的是( )

A. B. C. D.

已知不等式的解集是，则下列命题中真命题的是( )

A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则．

下列说法正确的序号是 ( )

A. 偶函数的定义域为，则
B. 一次函数满足，则函数的解析式为
C. 奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，则
D. 若集合中至多有一个元素，则

已知函数的零点为，函数的零点为，

则( )

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

设非空集合，满足下列条件：，；若，则，则有序集合对的个数为________．
已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．
函数，有下列命题：
的图象关于轴对称；
的最小值是；
在上是减函数，在上是增函数；
没有最大值．
其中正确命题的序号是请填上所有正确命题的序号
已知若，则的最小值为( ) ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

已知集合，全集．

当时，求；

若，求实数的取值范围．

已知全集为，集合，集合或．

若是成立的充分不必要条件，求的取值范围；

若，求的取值范围．

已知关于的不等式的解集为．

求的值；

求函数的最小值．

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的“有上界函数”，其中称为函数的上界．已知函数．

当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为“有上界函数”，请说明理由；

若函数在上是以为上界的“有上界函数”，求实数的取值范围．

已知函数．

当时，求函数的定义域；

当时，求关于的不等式的解集；

当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

设函数．求的定义域及最小正周期
求在上的最值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了图的应用，属于中档题．
根据集合的交集、并集、补集的定义结合图判断集合间的关系，从而求出结论．

【解答】

解：由得图，

，与、是全集的真子集矛盾，不可能存在
是的必要不充分条件
故和命题等价的有共个，
故选：

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．
利用根与系数的关系可得，，再利用基本不等式即可得出．

【解答】

解：由题意可得，
，
，，
，当且仅当时取等号，
的最小值是．
故选：．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等．
设，利用核心喷泉区的面积为，表示出，进而可得整个项目占地面积关于的函数解析式，利用基本不等式即可得到结论．

【解答】

解：设，知，
整个项目占地面积为

．
当且仅当，即时取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为．
故选B．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性、分段函数的值域以及复合函数，属于中档题．
先根据函数在对应区间上的单调性得出第一段上的范围，再利用二次函数在闭区间上的值域以及复合函数的方法得出第二段上的范围，最后求这两个范围的并集即得．

【解答】

解：当时，函数单调递增，
且当时，，，所以此时；
当时，令，该二次函数的对称轴是：，开口向下，
因为，所以，，
所以，故，
所以分段函数的值域为：，即为
故选：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性，值域，复合函数的单调性，属于中档题．
由函数奇偶性可判断，根据复数函数性质判断，，根据函数奇偶性与单调性即可判断．

【解答】

解：由题意可知，函数定义域为，且，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
令，易知函数在单调递增，在上单调递增，在上单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，
故B正确；
又的值域为，则函数的值域为，故 C正确；
，若，则，故D错误．
故选D．

6.【答案】

【解析】

【分析】
先由图象得到，，求出、坐标，代入函数解析式即可求出、的值，即可比较大小．
本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及指对计算，属于基础题．
【解答】
解：由图象可知，函数均为减函数，所以，，
因为点为坐标原点，点，
又、恰好是线段的两个三等分点，
，，
，，，
，
，
故选：．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数的实际应用，指数幂运算与对数运算等相关知识．
先由，，，，求出的值再将代入求出的值．

【解答】

解：依题意，可令，，，，代入式子得：
，解得，
又把代入式子得，
则，
．
故选C．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查三角函数恒等变换，将问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，属中档题．
利用二倍角公式和两角和公式化简，分别由三角函数求各自函数的值域，由集合的包含关系解不等式组可得．

【解答】

解：
，
当时，，
，
，
，
对于，
当时，，，
，
对任意，存在，使得成立，
，
解得实数的取值范围是
故选D．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的含义、集合的交集、并集、补集运算、集合间的关系，属于中等题．
根据集合的意义及集合运算分析解答．

【解答】

解：集合表示所有被除余数为的整数，
集合表示所有被除余数为的整数，所以不等于，
又因为被除余数分为，，，，，六类，
所以选项错误，选项正确；
因为

，

，
，所以选项错误，选项正确，
故选CD．

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于中档题．
由，得到，即可判断，利用基本不等式判断，利用根与系数的关系判断．
【解答】
解：由题意，，则，，，
，所以A正确；
对于：，
当且仅当，即时等号成立，所以B正确；
对于：由根与系数的关系，知，所以C错误；
对于：由根与系数的关系，知，，
则，解得，所以D正确；
故选ABD．

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查函数的解析式、函数的奇偶性和单调性以及集合中的元素，属于基础题．
根据题意，逐项分析各选项中的问题，即可求解．
【解答】
解：、偶函数的定义域为，
，解得，
故A正确
B、设一次函数，
则，
，
，
解得或，
函数的解析式为或，
故B不正确
C、奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，
，，
，，
，
故C正确
D、集合中至多有一个元素，
方程至多有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意，
当时，由方程至多有一个解，
可得，解得，
或，
故D不正确．
故选AC．

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查函数的零点以及函数的图象的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．
由，得，，函数与互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，，，逐项进行判断．
【解答】
解：由，得，，函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，

如图所示，则，，
由反函数性质知，关于直线对称，则，，故A，B正确．
由指数函数和一次函数的单调性可知在上单调递增，且，．
所以，点在直线上，即，
所以，C错误；
因为，
因为，在是增函数，所以故D正确．
故选ABD．

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
对集合的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．
【解答】
解：由，则，
可见，否则，但．
同时中不能有相邻数字．
结合集合，非空，，，
分类列举如下：
当为单元素集合时，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
当为两元素集合时，中的两元素显然不能是相邻数，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
当为三元素集合时，由于中不能有相邻数字，且，
只能是，则．
综上可得：有序集合对的个数为．
故答案为．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题．
设，按二次项系数是否为进行分类讨论，当二次项系数不为时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于，根的判别式小于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围．

【解答】

解：设，
当时，不等式的解集为空集，符合题意；
当时，原不等式变形为，不是空集，不符合题意；
当时，则
解得：，
综上，的取值范围为
故答案为

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复合函数的性质，属于中档题．
从偶函数的角度可知是否关于轴对称，先求真数的范围再求的范围，由复合函数的“同增异减”判断单调性．

【解答】

解：函数，定义域为，
，
函数是偶函数，的图象关于轴对称，故正确；
，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，的最小值是，故不正确；
函数在，上是减函数，在，上是增函数，
故函数在，上是减函数，在，上是增函数，故不正确；
由知，没有最大值，故正确
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查对数函数的性质，双勾函数的性质，分类讨论的方法等，属于中档题．
由题意，不妨设，，则，，即    ，求出，然后化简，再利用分类讨论的方法以及双勾函数的性质，即可得出结论．
【解答】
解：已知分段函数在两段区间内都是单调函数，
若，则必然分属两段内，
不妨设，，则，，
即    ．
当时，
令，，
由双勾函数性质可知在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以，此时不符合题意，
当时，
令，，
由双勾函数性质可知在区间上单调递减，
所以，
此时，．
故的最小值为．

17.【答案】解：因为，全集．
所以，
依题意，当时，，则或，
则或．
若，则有，
于是有：当时，显然成立，此时只需，即；
当时，若，
则
所以：，
综上所述，的取值范围为：或．

【解析】本题考查集合的包含关系判断及应用，交、并、补集的混合运算，属于中等题．
先求出集合，当时，，可得或，再利用交集运算可得；
由，可得集合可以分为或两种情况讨论，即可得出．

18.【答案】解：因为是成立的充分不必要条件，所以，

则

又因为所以的取值范围为

，且
，
故的取值范围是．

【解析】本题考查充分不必要条件以及利用集合关系求参数范围，属于中档题．
因为是成立的充分不必要条件所以，进而求出结果；
由可得，解不等式即可求出结果．

19.【答案】解：由题意知：方程的两根为，，
，解得．

由知，
，

而时，
当且仅当，即时取等号，

而，的最小值为．

【解析】本题考查了一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值，是基础题．
由根与系数的关系可得、的值；
由，，可得最小值．

20.【答案】解：当时，函数，
令，，
则函数，
易知函数在上单调递增，
，即函数在的值域为，
故不存在常数，使成立，
函数在上不是“有上界函数”；
函数，
由题意知，对恒成立，即，
令，
所以对恒成立，
即对恒成立，
必有，
设函数，
易知函数在上单调递减，
则函数在上的最小值为，
故，
实数的取值范围为．