人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷（较易）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若、是全集的真子集，则下列四个命题：；；；中与命题等价的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列表示正确的个数是(    )

若，则

A.  B.  C.  D.

3. 设，若关于的不等式在区间上有解，则

A.  B.  C.  D.

4. 下列各组函数表示同一函数的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数其中且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，，则下面结论中不正确的是  (    )

A. 最小正周期为
B. 函数在区间单调递增
C. 函数在区间有最大值为
D. 函数关于对称

8. 化简：(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列说法错误的是(    )

A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”的必要而不充分条件
C. 若、，，则的最小值为
D. 关于的不等式的解集是，则

10. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是(    )

A.
B. 若在上有最小值，则在上有最大值
C. 若在上为增函数，则在上为减函数
D. 若时，，则时，

11. 在同一直角坐标系中，函数与，且的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数的取值的有(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列说法正确的是(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 函数的定义域是
C.
D. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，则最少需要篱笆的长度为______
14. 已知函数，，则其值域为__________．
15. 已知，则实数的取值范围是___________
16. 求值：__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知全集，集合，集合．

当时，求；

若，求实数的取值范围．

18. 已知、都是正数．若，求的最小值．已知不等式的解集为或求实数，的值．
19. 已知，且满足．
    若，求：的值；
    求：的最大值与最小值．
20. 已知函数对于任意，，总有，且时，．

求证： 在上是奇函数；

求证： 在上是减函数；

若 ，求 在区间上的最大值和最小值．

21. 计算：；

计算：

22. 已知是第三象限的角，若，求的值．

若，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了集合的运算性质、集合之间的关系，属于中档题．
利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．
【解答】
解：由得图，





但不一定能得出，
故与不等价
故和命题等价的有，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系，集合间的基本关系，集合的基本运算．
根据相关概念逐项判断即可．

【解答】

解：空集里没有元素，故元素不属于空集，故正确；
空集是任何一个集合的子集，故正确；
左边集合为点集，右边集合为数集，故错误；
若，即的所有元素都属于，所以，故正确．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解的存在性问题，考查转化思想，属于中档题；
由时，等价于，可将问题转化为求函数的最大值，
利用导数讨论函数单调性求解即可．

【解答】

解：当时，等价于，
设，
则关于的不等式在区间上有解就等价于，
而当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义，两个函数是否相同的判断法则．属于基础题．
判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．

【解答】

解：对于，，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数
对于，，，定义域不同，故不为同一函数
对于，，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数
对于，，，，定义域不同，故不为同一函数．
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
先化简、，由指数函数性质可得，再由对数函数性质得，可得大小关系．

【解答】

解：，，
由，且函数在上单调递增，得，
又因为函数在上单调递增，所以
，得到，
故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数与指数幂的运算、对数与对数运算，属于基础题．
先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数式中求出，最后即可求出相应的函数值．

【解答】

解：函数的图象恒过定点，
将，代入得：，
，
，
则．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数的图象与性质，二倍角公式及其应用，辅助角公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．
根据二倍角公式和辅助角公式化简可得，从而即可根据正弦函数的性质分别对各选项求解．
【解答】
解：因，
的最小正周期，
当时，，
当，即时，；
当即时，，即在的最大值为；最小值为，在先递减后递增；
又，所以函数关于对称，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，两角和与差公式，属于基础题．
先考虑对分母化简，利用降次公式，两角差的正切公式，并结合同角三角函数的关系式，将分母化简为，可得答案．

【解答】

解：先考虑分母：



，
故 ，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题、充分条件的判定，考查基本不等式，考查一元二次不等式与相应函数和方程的关系，属于基础题．
根据各选项涉及的相关知识即可判断正误．

【解答】

解：，”的否定是“，”，A错误；
不能推出，也不能推出，故B错误；
，整理得：，当且仅当时取等号，故C正确；
若关于的不等式的解集是，则和是方程的解，所以，
因此，故D错误．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查函数的解析式，属于基础题．
根据奇函数的定义与性质判断选项即可．

【解答】
解：由得，A正确；

当时，，则时，，，最大值为，B正确；

若在上为增函数，则在上为增函数，错；

若时，，
则时，，，D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数和对数函数的图象和性质，以及简单的指数、对数运算，属于基础题．
由图象可知，且，把各选项代入验证即可得到答案．

【解答】

解：由图象可知，且
，故A不符合题意
，故B符合题意
，故C符合题意
，故D不符合题意．
故选BC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数性质，扇形面积计算，属于基础题．
对照选项逐个判断即可．
【解答】
解：，所以A正确．
由，解得，故B错误；
对于，，故C正确．
若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为，面积为，故D正确．  

13.【答案】 

【解析】解：设这个矩形菜园长、宽各为，；所用篱笆为；
故；

；
当且仅当时，等号成立；
故当这个矩形菜园长、宽各为时，所用篱笆最短；最短的篱笆是．
故答案为：
设这个矩形菜园长、宽各为，；所用篱笆为；故；；利用基本不等式求最值
本题考查了基本不等式在求最值问题中的应用，属于中档题
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用换元的方法将问题转化为二次函数闭区间上的最值的求法；注意换元后新元的范围，即这里的范围．将解析式变形，设，则，解析式为，求二次函数闭区间的最值．

【解答】

解：设，则，解析式为，
函数在单调递减，在单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为；
所以函数的值域是；
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查指数不等式和对数不等式的求解，考查指数函数的性质和对数函数的性质，是基础题．
结合指数函数和对数函数的单调性，分别解出三个不等式，再求交集即可．
【解答】
解：由可得，；
由可得，．

当时，由可得，则；

综上所述，．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数求值，属于基础题．
利用同角基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数和诱导公式即可求解．
【解答】
解：






．
故答案为．  

17.【答案】解：当时，，，
或，
．
，
集合可以分为或两种情况讨论，
当时，，即；
当时，得
即．
综上，． 

【解析】本题考查集合的包含关系判断及应用，交、并、补集的混合运算，属于基础题．
当时，，可得，或，再利用交集运算可得：；
由，可得集合可以分为或两种情况讨论，即可得出．
 

18.【答案】解：
，

当且仅当即时，取等号．

所以的最小值为．

因为不等式的解集为或．

所以与是方程的两个实数根，且，．

由根与系数的关系，

可得，．

解得：，．

【解析】本题考查了由基本不等式求最值问题，一元二次不等式的解法等知识点，属于基础题．
根据“”的用法，，展开后利用基本不等式可得最小值．
由根与系数的关系，可得实数，的值．
 

19.【答案】解：，，，

是方程的两根，

或

令，

由已知得：，两边同时乘以，

得，
，
当且仅当时取等号，
，整理得：，

解得，

即的最大值为，最小值为．

【解析】本题考查根与系数的关系，利用基本不等式求最值，属于基础题．
由题意可得，，所以是方程的两根，解方程即可求解；
结合基本不等式，即可求解．
 

20.【答案】证明：函数 对于任意，总有   ，

令得 ，

令得  ，

 在上是奇函数．

证明：在上任取，

则，     ，

时， ， ，

  ， 在上是减函数．

解： 是上的减函数，

 在上也是减函数，

 在上的最大值和最小值分别为 和 ，

而  ，  ，

 在上的最大值为，最小值为．

【解析】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键，属于中档题．
利用赋值法，根据奇偶性的定义即可得到结论
根据函数单调性的定义进行判断即可得的单调性
结合题干条件，利用单调性和奇偶性的关系，求函数的最值即可．
 

21.【答案】解：
 

．

【解析】本题主要考查了指数与对数的相关计算，熟练掌握运算法则是解决此类问题的关键，属于基础题．

直接利用指数运算得到结果；

直接利用对数运算计算即可得到结果．

22.【答案】解：由题意可得，是第三象限角，可得，，
则，又，
即，
即，即，
则或舍去．
综上所述，．
，
由正弦函数的性质可知为第二象限内的角，
，
，



．
，
由，得，
原式．

．




． 

【解析】本题考查了二倍角公式及同角三角函数的基本关系，考查了运算求解能力，属于基础题．
由题意，可得，从而利用同角三角函数的基本关系化简可得的值；
本题考查了同角三角函数的基本关系及两角和与差的三角函数公式，考查了计算能力，属于基础题．
由正弦函数的性质可知为第二象限的角，则，利用同角三角函数的关系式，可求出的值，从而根据，利用两角差的余弦公式求解即可
本题考查了三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
由题意，根据两角和的正切公式求解即可；
本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式的综合应用．
利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式对原式化简即可求解．