初中数学苏科版九年级下册7.3 特殊角的三角函数精品练习

7.3特殊角的三角函数苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在中，，若，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接，若，，则下列结论中错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 在中，已知，都是锐角，，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，拉动橡皮筋上的一点当是顶角为的等腰三角形时，已知，则橡皮筋被拉长了(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在中，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点，，则的直径为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，其边长为半径画弧得到的三角形．在大片的麦田或农田中，由农作物倒伏形成的几何图案被称为“麦田怪圈”图中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形．如图，成员甲先借助绳子绕行一周画出，再将三等分，得到，，三点．接着，成员乙分别以，，为圆心画出图中的弧三角形．研究小组在，，，四点中的某一点放置了监测仪器，记成员甲所在的位置为，成员乙所在的位置为，若将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量单位：，，甲、乙两人到监测仪器的距离分别记为和单位：，绘制出两个函数的图象如图结合以上信息判断，下列说法中错误的是(    )

A. 的半径为 B. 图中的值为
C. 当时，取得最大值 D. 监测仪器放置在点处

10. 在锐角中，若则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，是的直径，为的弦，于点，若，，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，内接于，，，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 计算：______．
14. 如图，四边形与四边形都是菱形，点，在上，已知，，则          ．

15. 如图，在边长为的正方形网格中，点、、、都在格点上，则是______ ．

16. 在中、均为锐角，且有，则的形状为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 计算：；
    化简：．
18. 计算：．
    化简求值：先化简分式：，再从不等式组解集中取一个合适的整数代入，求原分式的值．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 计算：；
    先化简，再求值，其中．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 计算与化简：
    ．
23. 计算：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】
解：在中，，若，得
．
，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键根据矩形性质和直角三角形性质判断为等边三角形，可求，判断；连接，得到四边形为菱形，判断为等边三角形，判断；根据矩形是以点为对称中心的中心对称图形，可得，判断；根据特殊角三角函数值求得，判断．
【解答】
解：四边形为矩形，为的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，故A正确；
连接，则四边形为菱形，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，故B正确；
根据矩形是以点为对称中心的中心对称图形，
，，
而，
，
，故C正确；
在中，，，
，
，故D错误．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
，，
，
阴影部分的面积

．
故选：．
根据矩形的性质得出，，求出，再分别求出扇形和矩形、的面积，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出长和的度数是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数非负性的性质及特殊角的三角函数值，掌握非负性的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
先根据实数的非负性，得出，，再根据特殊角的三角函数值便可得出结果．
【解答】 
解：，
，
，，
，，
的度数为．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的三边关系，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
由三角形的三边关系可得当点在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，

在中，，
当点在上时，的最小值为的长，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：作，垂足为

是等腰三角形，，，
，，
，
，
橡皮筋再次被拉长了，
故选：．
先根据等腰三角形的性质得出，再利用特殊角的三角函数值得出，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值，关键是根据等腰三角形的性质得出的长解答．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案．
【解答】
解：，，
，，
．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．

是直径，
，
，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，过点作于证明，推出，推出，可得结论．
本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量，成员乙所在的位置为，
根据图所示，实线部分图象中距离先保持不变，再下降至，然后再上升，可判断实线部分为乙的图象．由于点在以为圆心，为半径的上，则的距离保持不变．
当点从点开始逆时针运动时，检测器应该在点．
故选项D说法正确；
点从点运动到点，运动的角度为个圆周，
．
故B选项说法不正确，此选项符合题意；
由图象得：，可得，
连接，，过点作于点，如图，

，
，．
在中，，
．
即的半径为．
故A选项说法正确；
由图可知，当射线旋转至的中点时，此时点在直线上，取最大值，长度为的直径，
此时射线转过的角度为，即．
故C选项说法正确；
综上，正确的说法有：，，，错误的说法是．
故选：．
根据题意找出甲乙对应的图象，然后求得对应的角度为，以及，，进而求出圆的半径，结合所求对每个选项逐一分析判断即可得出结论．
本题主要考查了动点问题的函数的图象，圆周角与圆心角的度数，弦心距，解直角三角形，特殊角的三角函数值，等边三角形．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方、三角形内角和定理以及特殊角的三角函数值．
由非负数的性质可得，，，则有：，，根据特殊角的三角函数值得，，再利用三角形内角和定理可得 ．

【解答】解：锐角中，，
，，，，

故选C  

11.【答案】 

【解析】 解：是的直径，为的弦，于点，
．
设的半径为，
在直角中，，即，
解得，，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据垂径定理得出，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出，进而结合扇形面积求出答案．
此题主要考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、弧长的计算、特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
连接、，过点作于点，利用等腰三角形的性质求出，，在直角三角形中，利用特殊角的三角函数值求出，利用弧长公式计算即可得到结果．
【解答】
解：连接、，过点作于点，

，
，
，，
，，
在中，，
，
又，
则的长为，
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
结合各特殊角的三角函数值进行求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，表示出，的长是解题关键利用菱形的性质对角线平分对角，结合勾股定理以及锐角三角函数关系表示出，的长，进而求出即可．
【解答】

解：如图，过点作于点，

四边形与四边形都是菱形，，，

，，
．

不妨设，

则在等腰中，
在中，．

．
．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查锐角三角函数定义，解题的关键是掌握勾股定理逆定理、利用网格特点构造平行线及正切函数的定义等知识点．
取格点，连接、，则，从而得，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，从而得出答案．
【解答】
解：如图，取格点，连接、，则，

，
，，
，
是直角三角形，，
则，
故答案为．  

16.【答案】等边三角形 

【解析】解：由题意得，，，
则，，
．
故为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
根据非负数的性质求出和的值，然后求出、的度数，即可判断的形状．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】利用特殊角的三角函数值，二次根式的性质，和零指数幂的意义化简即可；
利用分式的混合运算法则化简即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，零指数幂的意义和分式的混合运算，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

；

原式




，
要使分式有意义，且且，
即不能为，，，
解不等式组得：，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘方，求出不等式组的解集，最后代入求出答案即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算，解一元一次不等式组，分式的化简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的混合运算法则可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
 

20.【答案】解：


；





，
当时，原式． 

【解析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先变形，再根据分式的减法法则进行计算，根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，分式的化简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】利用分式的减法法则和除法法则对分式进行计算化简，把特殊角的三角函数值代入计算求出的值，代入化简后的分式进行计算，即可得出答案．
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的混合计算及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：原式

；

原式


． 

【解析】根据实数的运算法则，先乘方后乘除，最后算加减，进行计算；
对于分式混合运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几种运算，关键是要注意各种运算的先后顺序．
归纳提炼：关于整数指数幂的问题，关键有两点知识必须理解掌握：
是负整数指数幂的意义，即其中，且为正整数；
是零指数幂的意义，即．
 

23.【答案】解：原式

． 

【解析】利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和有理数的乘方法则进行化简运算即可．
本题主要考查了实数是运算，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和有理数的乘方法则，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．