2021-2022学年安徽省合肥市新站区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市新站区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若分式有意义，则不能取的值是(    )

A.  B. 比小的数 C.  D. 比小的数

4. 世界最小生物，是澳大利亚昆士兰大学的科学家在外海由钻油平台从海底下约公里深处挖出的沙岩中发现的生物，它们的身长只有米，小于细胞，甚至比已知的最小细菌还要小，体积大概和病毒差不多．因此，这种生物刷新了地球生物最小体积的记录，其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 代数式是一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知直线，某同学在这两条平行线之间画了一个直角三角形，如图所示，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 设，是两个不为的实数，且满足，则下列结论正确的是(    )

A. ， B.
C.  D.

9. 若关于的方程无解，则的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

10. 如图，点是直线外一定点，点，是直线上的两定点，点是直线上一动点，已知，，当动点移动到点处时，恰好垂直于，且此时，则当动点在直线上移动时，线段的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 因式分解：______．
12. 比较大小：______填“”“”“”．
13. 如图，已知，，，，若；则______度．

14. 如图所示，将一张长为，宽为的长方形纸片沿虚线剪成个直角三角形，拼成如图的正方形相邻纸片之间不重叠，无缝隙，若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，则：
    ______；
    原长方形纸片的周长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 计算：．
16. 化简：．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点，解答下列问题．
    在网格中画出三角形；
    连接，，，则所得正方形的面积是______，它的边长是______．

19. 已知，，，求的值．
20. 如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有个如图；当正方形有个时，等边三角形有个如图；以此类推
    
    若图案中每增加个正方形，则等边三角形增加______个；
    若图案中有个正方形，则等边三角形有______个．
    现有个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
21. 年月上海爆发新一轮新冠疫情，全国疫情形式严峻，为此，合肥市开展了常态化免费核酸检测活动，有效地阻断了疫情的扩散，某生物公司受政府委托，活动当天需完成万份核算样本检测，为尽快出具核算检测结果，公司加派人手，检测效率比原计划提高了倍，结果提前小时完成任务，求该公司原计划每小时完成多少万份核酸样本检测？
22. 继年夏季奥运会之后，年北京又成功举办了冬季奥运会，使北京成为世界上首座“双奥之城”本届冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”的形象一经公布后，立即受到了人们的追捧．下表是市场在售的一款迷你型吉祥物的进价与售价：

暑假即将来临，七年级学生小王为了充实假期生活，计划用自己积攒的元零花钱批发购进这两款吉祥物共件去夜市售卖，为此，在爸爸的帮助下，他进行了深入细致的市场调查，发现因为某些因素，当批发购进的冰墩墩不超过件时，两款吉祥物能全部售完；当批发购进的冰墩墩超过件时，超过件的冰墩墩需打折才能全部售完，雪容融都能正常售完．请帮小王算一算，在批发购进的件吉祥物全部售完的情况下，要使得利润不低于元，小王有几种进货方案？并指出利润最大的方案．

23. 已知：直线，经过直线上的定点的直线交于点，点，为直线上的两点，且点在点右侧，点的左侧时，连接，，满足．
    如图，若，，直接写出的度数为：______．
    如图，射线为的角平分线，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的立方根是．
故选：．
根据立方根的定义即可解决问题．
本题考查立方根的定义，掌握立方根的定义是解决问题的关键，根据立方根的定义进行解答即可．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，不合题意；
B、与不是同类项，不能合并，不合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不合题意；
故选：．
A、根据同底数幂的乘法运算法则计算判断即可；
B、根据合并同类项运算法则计算判断即可；
C、根据幂的乘方及同底数幂的除法运算法则计算判断即可；
D、根据积的乘方运算法则计算判断即可．
此题考查的是同底数幂的乘法运算、合并同类项运、幂的乘方及同底数幂的除法运算、积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
．
．
故选：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
利用多项式乘多项式的法则进行求解，最后合并同类项即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是在运算过程中注意符号的变化．
 

6.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得．
故选：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点作直线，，则．
，
．
．
．
．
，
．
故选：．
如图，过点作直线，，利用平行线的性质进行推理解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，解题的技巧性在于作出辅助线，构造平行线，利用平行线的性质推知．
 

8.【答案】 

【解析】解：，是两个不为的实数且，
移项得，
两边同除以得．
故选：．
根据不等式的性质分析判断即可．
主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程去分母得：，
解得：，
当时分母为，方程无解，
即，
时方程无解，
，
当时，，
方程也无解．
故选：．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．
本题考查了分式方程无解的条件，解题的关键是得出时，方程无解．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于，如图，
，，
，
，
当点运动到点时，线段的值最小，最小值为．
故选：．
连接，过点作于，如图，利用面积法求出，然后根据垂线段最短解决问题．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．也考查了垂线段最短．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据，，易证，于是，而，，可证，进而可求解．
本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，
，，
又，
，取正值
故答案为：；
原长方形的周长为，
故答案为：．
由拼图可知，，由完全平方公式可求出答案；
原长方形的周长为，利用的结论进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
 

15.【答案】解：原式． 

【解析】本题涉及乘方、负整数指数幂、二次根式化简个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、负整数指数幂、二次根式等考点的运算．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】利用平方差公式和完全平方公式计算后，再合并同类项即可．
此题考查的是平方差公式完全平方公式，掌握其公式结构是解决此题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：如图，即为所求；
正方形的面积，它的边长是；

故答案为：，．
利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可．
利用割补法求出正方形的面积，再求出正方形的边长．
本题考查作图平移变换，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用割补法求正方形的面积，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，，，
，
，
． 

【解析】根据所求的式子，计算，可得结论．
此题主要考查了同底数幂的乘除法综合应用，根据同底数幂的乘法和除法法则得出，，之间的关系是解题关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：观察第和个图案可知：图案中每增加个正方形，则等边三角形增加个；
故答案为：；
第个图案：等边三角形有：个，
第个图案：等边三角形有：个，
第个图案：等边三角形有：个，
第个图案：等边三角形有：个，

第个图案：等边三角形有：个，
故答案为：；
，
用，
再由题意得：，
解得：，
按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少块，则需要正方形个．
观察第个图案可知：中间的一个正方形对应个等边三角形，第个图案可知增加一个正方形，变成了个等边三角形，增加了个等边三角形；
观察第个图案，有个等边三角形；第个图案，有个等边三角形；，依次计算可解答；
由中的规律可知：用所得的余数是，则等边三角形剩余最少块，列式，解出即可解答．
本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
 

21.【答案】解：设该公司原计划每小时完成万份核酸样本检测，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该公司原计划每小时完成万份核酸样本检测． 

【解析】设该公司原计划每小时完成万份核酸样本检测，由题意：活动当天需完成万份核算样本检测，公司加派人手，检测效率比原计划提高了倍，结果提前小时完成任务，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购进冰墩墩件，则购进雪容融件，
由题意知：，
解得，
当时，，
解得，
时，批发购进的件吉祥物全部售完的情况下，利润均不低于元，
当时，利润为元，
当时，利润为元，
当时，利润为元，
当时，，
解得，
，
为整数，
，
此时利润为元，
综上所述，小王有种进货方案：
购进冰墩墩件，购进雪容融件；
购进冰墩墩件，购进雪容融件；
购进冰墩墩件，购进雪容融件；
购进冰墩墩件，购进雪容融件，
其中利润最大的是购进冰墩墩件，则购进雪容融件． 

【解析】设购进冰墩墩件，由元零花钱批发购进这两款吉祥物共件知：，解得，当时，，解得，可知时，润均不低于元，当时，，解得，故，分别算出每种方案利润，即可得答案．
本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意列出不等式及分类讨论思想的应用．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
，
故答案为：；
结论：，
理由：，
，，
又射线为的角平分线，
，
，
，
．
即．
根据平行线的性质以及题干中即可推出的度数．
结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到与的等量关系．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题关键是熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．