2022鄂州高二下学期期末数学试题（含答案）

鄂州市2021~2022学年度下学期期末质量监测

高二数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接由并集定义求解即可.

【详解】因为，，所以.

故选：D.

2. 已知一组数据，且的线性回归方程为，若，则（    ）

A. 50 B. 250 C. 490 D. 500

【答案】D

【解析】

【分析】根据线性回归方程经过样本中心，即可求解.

【详解】因为，所以，所以，所以．

故选:D．

3. 曲线：在点处的切线方程为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】因为，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率为，

所以切线方程为 ，即，选A

4. 已知随机变量，则（    ）

（参考数据：，，）

A. 0.8185 B. 0.84 C. 0.1587 D. 0.9759

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布中特定区间的概率公式求解．

【详解】由题意，，12＝，，

，，

所以，

故选：B．

5. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性判断.

【详解】因为，，，

所以.

故选：D.

6. 年月开始，奥密克戎变异毒株在上海爆发，为支援上海抗击新冠肺炎疫情，湖北在行动，“鄂”来守“沪”．湖北某医院迅速从名男医生、名女医生中选名医生组成一个援助小分队，若要求小分队男、女医生都有，则不同的组队方案共有（    ）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】C

【解析】

【分析】对小分队内的女医生人数进行分类讨论，结合组合计数原理可得结果.

【详解】当小分队中有名女医生时，有种组法；

当小分队中有名女医生时，有种组法.

综上所述，共有（种）组队方案，

故选：C．

7. “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大.假设李某能力较强，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有n个水平相同的人组成的团队也在研究项目M，团队成员各自独立地解决项目M的概率都是0.4.如果这个n人的团队解决项目M的概率为，且，则n的取值不可能是（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目M的概率，再由对立事件的概率求出，由题意建立不等式求解即可.

【详解】由题意，这n个人组成的团队不能解决项目M的概率为，

所以，

由可得，即，

两边取常用对数可得：，即，

解得，又，所以.

故选：A

8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A. 2 B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即可计算作答.

【详解】依题意，，令，，则有，

由得：，即有，

而，所以.

故选：C

【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】赋值法即可求解所有项的系数和.根据二项式展开的通项特征可求指定项的系数.

【详解】令，得，故A错误；令得，即，故B正确；令，得，故C正确；展开式的通项为，令得，所以．故D正确．

故选:BCD．

10. 已知，若，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据二项分布可求二项分布的期望和方差，根据方差和期望的性质可求的期望和方差.

【详解】因为，则，所以，，又，则，

所以，．

故选：ABD．

11. 已知数列{}满足，，则下列结论正确是（    ）

A. 为等比数列 B. {}的通项公式为

C. {}为递增数列 D. 的前n项和

【答案】AB

【解析】

【分析】根据递推关系可得，进而可判断A，由是等比数列即可求解的通项，进而可判断单调性，根据分组求和即可判断D.

【详解】因为，所以，又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，即，所以{}为递减数列，的前n项和．

故选:AB．

12. 已知抛物线的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，下列结论正确的是（    ）

A. 存在点A，B，使 B. 的最小值为4

C. 平分 D. 若点是弦的中点，则直线m的方程为

【答案】BCD

【解析】

【分析】设，直线m的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据判断A，根据焦半径公式判断B，通过计算即可判断C，利用点差法计算判断D；

【详解】解：抛物线C的焦点F的坐标为，由题意分析可知，直线的斜率一定存在．

设，直线m的方程为，

与抛物线联立，得，所以，，

所以，所以为钝角，故A错误；

（当且仅当时等号成立），故B正确；

因为点，因为，

即直线和直线的倾斜角互补，所以平分，故C正确；

由两式相减得，

因为点是弦的中点，所以，

所以直线的斜率，

所以直线的方程为，即，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为___．

【答案】2

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简，进而可求虚部.

【详解】因为，故，则z的虚部为2．

故答案为：2

14. 已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是___．

【答案】

【解析】

【分析】根据全称命题和特称命题之间的关系转化成最值问题即可求.

【详解】若命题“”是假命题，则命题的否定“，方程”是真命题，所以．

所以实数a的取值范围是．

故答案为:

15. 设函数，若对任意的实数x，恒成立，则取最小值时，___．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，从而可求得的最小值，即可得出函数的解析式，从而可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

即，得，

则，可得的最小值为5，

此时，

则．

故答案为：.

16. 已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】首先设，结合已知条件得到在为减函数，在为增函数，再将转化为，利用的单调性求解不等式即可.

【详解】设，，

因为当时，，所以，为增函数.

又因为，所以.

所以， 即为偶函数.

所以在为减函数，在为增函数.

因为

，

所以，解得或.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；

（2）由的面积，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.

【小问1详解】

解：因为，所以.

由正弦定理得，可得，

所以，

因为，所以.

【小问2详解】

解：由的面积，所以.

由余弦定理得，

所以，所以，

所以的周长为.

18. 设等差数列的前n项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1），（）.   

（2），（）.

【解析】

【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和，结合已知条件联立方程可求出和，即可求出通项公式.

（2）表示出，裂项相消求和即可.

【小问1详解】

解：由题可知，，即，解得，，

所以，（）.

【小问2详解】

由（1）知，，

所以

，所以，（）.

19. 司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为开车时不使用手机的男性司机人数，求的分布列和数学期望．

参考数据：

参考公式：，其中．

【答案】（1）填表见解析；有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关   

（2）分布列见解析；期望为

【解析】

【分析】（1）根据题意补全列联表，计算卡方并比较即可；

（2）根据超几何分布相关知识即可求得X分布列和数学期望.

【小问1详解】

由已知数据可得列联表如下：
 

提出假设开车时使用手机与司机的性别无关，

因为，

所以有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关．

【小问2详解】

开车时不使用手机的男性司机人数为：人；

开车时不使用手机的女性司机人数为：人．

由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3，

因为；；；．

则的分布列为：

则．

20. 莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是．

（1）求该凉亭及其内部所占空间的大小；

（2）在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）60   

（2）直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据正六棱柱的体积以及正六棱锥的体积公式即可求解.（2）根据空间直角坐标系中点的坐标得向量的坐标，根据空间向量的求解平面法向量与直线方向向量的夹角，进而可求解.

【小问1详解】

结合图②易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°，取的中点G，连接，PG，则，，故，易求，所以，

所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为

，下半部分为正六棱柱，

其体积，

所以该凉亭及内部所占空间为60，

【小问2详解】

取AB的中点H，以OH、FC、OP所在直线分别为x，y，z轴，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．

假设在直线PC上存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，

则， ，,， 

设则，平面的一个法向量，

则，，，

则 ，即，令，解得，，所以平面的一个法向量,

设直线MA与平面所成角，则

，化简得

，,故该方程不存在实数解，

所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为

21. 已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上下顶点分别为，四边形的面积为，

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别交直线于两点，判断是否为定值，并说明理由．

【答案】（1）；（2）为定值；答案见解析．

【解析】

【分析】（1）根据题意建立方程即可求出即可得出椭圆方程；

（2）若直线的斜率不存在，易得，若直线斜率存在，设出方程，与椭圆联立，利用韦达定理建立关系求解即可.

【详解】解：（1）由题意得，．

解得，所以椭圆的方程为．．

（2）若直线的斜率不存在，则直线方程为，

此时可得，，，所以．

若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入整理得

，易得恒成立．

设，则，

由直线的方程可得点，

由直线的方程可得点，

所以．

所以．

综上，为定值．．

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

22. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数b的取值范围．

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；   

（2）

【解析】

【分析】（1）求定义域，求导，求出导函数大于0和小于0的解集，求出单调性；（2）变形为在上恒成立，构造，求导，研究其单调性，对分类讨论，得到时满足题意，其他情况均不合题意，求出答案.

【小问1详解】

定义域为，

，

因为恒成立，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

【小问2详解】

当时，，

，整理得：，

即在上恒成立，

令，，

若，则恒成立，不合题意，

若，则，

令，，

则在恒成立，

所以在上单调递减，

当时，，即

所以在上单调递减，

故，

即在上恒成立，满足题意；

当时，，，

所以存在，使，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以存在使得，不合题意，

综上：实数b的取值范围是

【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，要结合函数与导函数的特征，对参数进行分类讨论，结合单调性，极值和最值等进行求解.