2022年广州市番禹区中考数学四模试卷含解析
展开
这是一份2022年广州市番禹区中考数学四模试卷含解析,共25页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔,定义运算等内容,欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.2018 年 1 月份,菏泽市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是 41, 45,41,44,40,42,41,这组数据的中位数、众数分别是( )
A.42,41 B.41,42 C.41,41 D.42,45
2.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如图,由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上,重叠部分(阴影)的面积是4m2,广告牌所占的面积是 30m2(厚度忽略不计),除重叠部分外,矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2,设矩形面积是xm2,三角形面积是ym2,则根据题意,可列出二元一次方程组为( )
A. B. C. D.
4.若反比例函数的图像经过点,则一次函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像是( )
A. B. C. D.
5.若2m﹣n=6,则代数式m-n+1的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x=0 B.x=2 C.x≠0 D.x≠2
7.在如图所示的计算程序中,y与x之间的函数关系所对应的图象应为( )
A. B. C. D.
8.小明解方程的过程如下,他的解答过程中从第( )步开始出现错误.
解:去分母,得1﹣(x﹣2)=1①
去括号,得1﹣x+2=1②
合并同类项,得﹣x+3=1③
移项,得﹣x=﹣2④
系数化为1,得x=2⑤
A.① B.② C.③ D.④
9.在0,﹣2,3,四个数中,最小的数是( )
A.0 B.﹣2 C.3 D.
10.定义运算:a⋆b=2ab.若a,b是方程x2+x-m=0(m>0)的两个根,则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b的值为( )
A.0 B.2 C.4m D.-4m
11.如图,点E是矩形ABCD的边AD的中点,且BE⊥AC于点F,则下列结论中错误的是( )
A.AF=CF B.∠DCF=∠DFC
C.图中与△AEF相似的三角形共有5个 D.tan∠CAD=
12.如图,在扇形CAB中,CA=4,∠CAB=120°,D为CA的中点,P为弧BC上一动点(不与C,B重合),则2PD+PB的最小值为( )
A. B. C.10 D.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.已知直线m∥n,将一块含有30°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中A、B两点分别落在直线m、n上,若∠1=20°,则∠2=_____度.
14.一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个黑球,从中任意摸出一个球恰好是红球的概率是____.
15.因式分解:_______________________.
16.若一次函数y=﹣x+b(b为常数)的图象经过点(1,2),则b的值为_____.
17.反比例函数的图象经过点(﹣3,2),则k的值是_____.当x大于0时,y随x的增大而_____.(填增大或减小)
18.如图,半圆O的直径AB=2,弦CD∥AB,∠COD=90°,则图中阴影部分的面积为_____.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)我市正在创建“全国文明城市”,某校拟举办“创文知识”抢答赛,欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A种20件,B种15件,共需380元;如果购买A种15件,B种10件,共需280元.A、B两种奖品每件各多少元?现要购买A、B两种奖品共100件,总费用不超过900元,那么A种奖品最多购买多少件?
20.(6分)我校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
组别
正确数字x
人数
A
0≤x<8
10
B
8≤x<16
15
C
16≤x<24
25
D
24≤x<32
m
E
32≤x<40
n
根据以上信息解决下列问题:
(1)在统计表中,m= ,n= ,并补全条形统计图.
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 .
(3)有三位评委老师,每位老师在E组学生完成学校比赛后,出示“通过”或“淘汰”或“待定”的评定结果.学校规定:每位学生至少获得两位评委老师的“通过”才能代表学校参加鄂州市“汉字听写”比赛,请用树形图求出E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率.
21.(6分)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.6m,木竿PQ落在地面上的影子PM=1.8m,落在墙上的影子MN=1.1m,求木竿PQ的长度.
22.(8分)一不透明的布袋里,装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同),其中有红球2个,蓝球1个,黄球若干个,现从中任意摸出一个球是红球的概率为.
(1)求口袋中黄球的个数;
(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回),再随机摸出一个小球,请用“树状图法”或“列表法”,求两次摸出都是红球的概率;
23.(8分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,FH∥BC,连结AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连结BF.(1)证明:AF平分∠BAC;(2)证明:BF=FD;(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.
24.(10分)已知:如图,在Rt△ABO中,∠B=90°,∠OAB=10°,OA=1.以点O为原点,斜边OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,以点P(4,0)为圆心,PA长为半径画圆,⊙P与x轴的另一交点为N,点M在⊙P上,且满足∠MPN=60°.⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动,设运动时间为ts,解答下列问题:
(发现)(1)的长度为多少;
(2)当t=2s时,求扇形MPN(阴影部分)与Rt△ABO重叠部分的面积.
(探究)当⊙P和△ABO的边所在的直线相切时,求点P的坐标.
(拓展)当与Rt△ABO的边有两个交点时,请你直接写出t的取值范围.
25.(10分)如图所示,PB是⊙O的切线,B为切点,圆心O在PC上,∠P=30°,D为弧BC的中点.
(1)求证:PB=BC;
(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P(2,9),与x轴交于点A,B,与y轴交于点C(0,5).
(Ⅰ)求二次函数的解析式及点A,B的坐标;
(Ⅱ)设点Q在第一象限的抛物线上,若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上,求点Q的坐标;
(Ⅲ)若点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,且AC为其一边,求点M,N的坐标.
27.(12分)已知AC=DC,AC⊥DC,直线MN经过点A,作DB⊥MN,垂足为B,连接CB.
(1)直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系;
(2)①如图1,猜想AB,BD与BC之间的数量关系,并说明理由;
②如图2,直接写出AB,BD与BC之间的数量关系;
(3)在MN绕点A旋转的过程中,当∠BCD=30°,BD=时,直接写出BC的值.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、C
【解析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不只一个.
【详解】
从小到大排列此数据为:40,1,1,1,42,44,45, 数据 1 出现了三次最多为众数,1 处在第 4 位为中位数.
所以本题这组数据的中位数是 1,众数是 1.
故选C.
【点睛】
考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
2、D
【解析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.
【详解】
解:A. ∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
B. ∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误;
C. ∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
D. ∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义,解题的关键是熟练的掌握中心对称图形与轴对称图形的定义.
3、A
【解析】
根据题意找到等量关系:①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积=30;②(矩形面积﹣阴影面积)﹣(三角形面积﹣阴影面积)=4,据此列出方程组.
【详解】
依题意得:
.
故选A.
【点睛】
考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.根据实际问题中的条件列方程组时,要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,列出方程组.
4、D
【解析】
甶待定系数法可求出函数的解析式为:,由上步所得可知比例系数为负,联系反比例函数,一次函数的性质即可确定函数图象.
【详解】
解:由于函数的图像经过点,则有
∴图象过第二、四象限,
∵k=-1,
∴一次函数y=x-1,
∴图象经过第一、三、四象限,
故选:D.
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质,一次函数的图象,解题的关键是求出函数的解析式,根据解析式进行判断;
5、D
【解析】
先对m-n+1变形得到(2m﹣n)+1,再将2m﹣n=6整体代入进行计算,即可得到答案.
【详解】
mn+1
=(2m﹣n)+1
当2m﹣n=6时,原式=×6+1=3+1=4,故选:D.
【点睛】
本题考查代数式,解题的关键是掌握整体代入法.
6、D
【解析】
根据分式的分母不等于0即可解题.
【详解】
解:∵代数式有意义,
∴x-2≠0,即x≠2,
故选D.
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件,属于简单题,熟悉分式有意义的条件是解题关键.
7、D
【解析】
先求出一次函数的关系式,再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可.
【详解】
由题意知,函数关系为一次函数y=-1x+4,由k=-1<0可知,y随x的增大而减小,且当x=0时,y=4,
当y=0时,x=1.
故选D.
【点睛】
本题考查学生对计算程序及函数性质的理解.根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=-1x+4,然后根据一次函数的图象的性质求解.
8、A
【解析】
根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的,从而可以解答本题.
【详解】
=1,
去分母,得1-(x-2)=x,故①错误,
故选A.
【点睛】
本题考查解分式方程,解答本题的关键是明确解分式方程的方法.
9、B
【解析】
根据实数比较大小的法则进行比较即可.
【详解】
∵在这四个数中3>0,>0,-2<0,
∴-2最小.
故选B.
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较,即正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
10、A
【解析】【分析】由根与系数的关系可得a+b=-1然后根据所给的新定义运算a⋆b=2ab对式子(a+1)⋆a -(b+1)⋆b用新定义运算展开整理后代入进行求解即可.
【详解】∵a,b是方程x2+x-m=0(m>0)的两个根,
∴a+b=-1,
∵定义运算:a⋆b=2ab,
∴(a+1)⋆a -(b+1)⋆b
=2a(a+1)-2b(b+1)
=2a2+2a-2b2-2b
=2(a+b)(a-b)+2(a-b)
=-2(a-b)+2(a-b)=0,
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,新定义运算等,理解并能运用新定义运算是解题的关键.
11、D
【解析】
由 又AD∥BC,所以 故A正确,不符合题意;过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=
BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故B正确,不符合题意;
根据相似三角形的判定即可求解,故C正确,不符合题意;
由△BAE∽△ADC,得到CD与AD的大小关系,根据正切函数可求tan∠CAD的值,故D错误,符合题意.
【详解】
A.∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴
∵
∴,故A正确,不符合题意;
B. 过D作DM∥BE交AC于N,
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DF=DC,
∴∠DCF=∠DFC,故B正确,不符合题意;
C. 图中与△AEF相似的三角形有△ACD,△BAF,△CBF,△CAB,△ABE共有5个,故C正确,不符合题意;
D. 设AD=a,AB=b,由△BAE∽△ADC,有
∵tan∠CAD 故D错误,符合题意.
故选:D.
【点睛】
考查相似三角形的判定,矩形的性质,解直角三角形,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
12、D
【解析】
如图,作∥∠PAP′=120°,则AP′=2AB=8,连接PP′,BP′,则∠1=∠2,推出△APD∽△ABP′,得到BP′=2PD,于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′,根据勾股定理得到PP′=,求得2PD+PB≥4,于是得到结论.
【详解】
如图,作∥∠PAP′=120°,则AP′=2AB=8,连接PP′,BP′,
则∠1=∠2,
∵=2,
∴△APD∽△ABP′,
∴BP′=2PD,
∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′,
∴PP′=,
∴2PD+PB≥4,
∴2PD+PB的最小值为4,
故选D.
【点睛】
本题考查了轴对称-最短距离问题,相似三角形的判定和性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、1
【解析】
根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1,据此进行计算即可.
【详解】
解:∵直线m∥n,
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=1°,
故答案为:1.
【点睛】
本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
14、.
【解析】
根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小.
【详解】
∵一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个黑球,
∴从中任意摸出一个球恰好是红球的概率为: ,
故答案为.
【点睛】
本题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
15、
【解析】
先提公因式,再用平方差公式分解.
【详解】
解:
【点睛】
本题考查因式分解,掌握因式分解方法是关键.
16、3
【解析】
把点(1,2)代入解析式解答即可.
【详解】
解:把点(1,2)代入解析式y=-x+b,可得:2=-1+b,
解得:b=3,
故答案为3
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象点的关系,关键是把点(1,2)代入解析式解答.
17、﹣6 增大
【解析】
∵反比例函数的图象经过点(﹣3,2),
∴2=,即k=2×(﹣3)=﹣6,
∴k<0,则y随x的增大而增大.
故答案为﹣6;增大.
【点睛】
本题考查用待定系数法求反函数解析式与反比例函数的性质:
(1)当k>0时,函数图象在一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;
(2)当k<0时,函数图象在二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.
18、
【解析】
解:∵弦CD∥AB,∴S△ACD=S△OCD,∴S阴影=S扇形COD==.故答案为.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、(1)A种奖品每件16元,B种奖品每件4元.(2)A种奖品最多购买41件.
【解析】
【分析】(1)设A种奖品每件x元,B种奖品每件y元,根据“如果购买A种20件,B种15件,共需380元;如果购买A种15件,B种10件,共需280元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设A种奖品购买a件,则B种奖品购买(100﹣a)件,根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之取其中最大的整数即可得出结论.
【详解】(1)设A种奖品每件x元,B种奖品每件y元,
根据题意得:,
解得:,
答:A种奖品每件16元,B种奖品每件4元;
(2)设A种奖品购买a件,则B种奖品购买(100﹣a)件,
根据题意得:16a+4(100﹣a)≤900,
解得:a≤,
∵a为整数,
∴a≤41,
答:A种奖品最多购买41件.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据不等关系,正确列出不等式.
20、(1)m=30, n=20,图详见解析;(2)90°;(3).
【解析】
分析:(1)、根据B的人数和百分比得出总人数,从而根据总人数分别求出m和n的值;(2)、根据C的人数和总人数的比值得出扇形的圆心角度数;(3)、首先根据题意画出树状图,然后根据概率的计算法则得出答案.
详解:(1)∵总人数为15÷15%=100(人),
∴D组人数m=100×30%=30,E组人数n=100×20%=20,
补全条形图如下:
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是360°×=90°,
(3)记通过为A、淘汰为B、待定为C,
画树状图如下:
由树状图可知,共有27种等可能结果,其中获得两位评委老师的“通过”有7种情况,
∴E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率为.
点睛:本题主要考查的就是扇形统计图、条形统计图以及概率的计算法则,属于基础题型.解决这个问题,我们一定要明白样本容量=频数÷频率,根据这个公式即可进行求解.
21、木竿PQ的长度为3.35米.
【解析】
过N点作ND⊥PQ于D,则四边形DPMN为矩形,根据矩形的性质 得出DP,DN的长,然后根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的长,即可得出PQ的长.
试题解析:
【详解】
解:过N点作ND⊥PQ于D,
则四边形DPMN为矩形,
∴DN=PM=1.8m,DP=MN=1.1m,
∴,
∴QD==2.25,
∴PQ=QD+DP= 2.25+1.1=3.35(m).
答:木竿PQ的长度为3.35米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用,作出辅助线,根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式是解决此题的关键.
22、 (1)1;(2)
【解析】
(1)设口袋中黄球的个数为x个,根据从中任意摸出一个球是红球的概率为和概率公式列出方程,解方程即可求得答案;(2)根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况,再利用概率公式即可求得答案;
【详解】
解:(1)设口袋中黄球的个数为个,
根据题意得:
解得:=1
经检验:=1是原分式方程的解
∴口袋中黄球的个数为1个
(2)画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,两次摸出都是红球的有2种情况
∴两次摸出都是红球的概率为: .
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
23、【小题1】 见解析
【小题2】 见解析
【小题3】
【解析】
证明:(1)连接OF
∴FH切·O于点F
∴OF⊥FH ………………………… 1分
∵BC | | FH
∴OF⊥BC ………………………… 2分
∴BF="CF" ………………………… 3分
∴∠BAF=∠CAF
即AF平分∠BAC…………………4分
(2) ∵∠CAF=∠CBF
又∠CAF=∠BAF
∴∠CBF=∠BAF ………………………… 6分
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∴∠BAF+∠ABD=∠CBF+∠CBD
即∠FBD=∠FDB………………………… 7分
∴BF="DF" ………………………… 8分
(3) ∵∠BFE=∠AFB ∠FBE=∠FAB
∴ΔBEF∽ΔABF………………………… 9分
∴即BF2=EF·AF …………………… 10分
∵EF=4 DE=3 ∴BF="DF" =4+3=7
AF=AD+7
即4(AD+7)=49 解得AD=
24、【发现】(3)的长度为;(2)重叠部分的面积为;【探究】:点P的坐标为;或或;【拓展】t的取值范围是或,理由见解析.
【解析】
发现:(3)先确定出扇形半径,进而用弧长公式即可得出结论;
(2)先求出PA=3,进而求出PQ,即可用面积公式得出结论;
探究:分圆和直线AB和直线OB相切,利用三角函数即可得出结论;
拓展:先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点,即可得出结论.
【详解】
[发现]
(3)∵P(2,0),∴OP=2.
∵OA=3,∴AP=3,∴的长度为.
故答案为;
(2)设⊙P半径为r,则有r=2﹣3=3,当t=2时,如图3,点N与点A重合,∴PA=r=3,设MP与AB相交于点Q.在Rt△ABO中,∵∠OAB=30°,∠MPN=60°.
∵∠PQA=90°,∴PQPA,∴AQ=AP×cos30°,∴S重叠部分=S△APQPQ×AQ.
即重叠部分的面积为.
[探究]
①如图2,当⊙P与直线AB相切于点C时,连接PC,则有PC⊥AB,PC=r=3.
∵∠OAB=30°,∴AP=2,∴OP=OA﹣AP=3﹣2=3;
∴点P的坐标为(3,0);
②如图3,当⊙P与直线OB相切于点D时,连接PD,则有PD⊥OB,PD=r=3,∴PD∥AB,∴∠OPD=∠OAB=30°,∴cos∠OPD,∴OP,∴点P的坐标为(,0);
③如图2,当⊙P与直线OB相切于点E时,连接PE,则有PE⊥OB,同②可得:OP;
∴点P的坐标为(,0);
[拓展]
t的取值范围是2<t≤3,2≤t<4,理由:
如图4,当点N运动到与点A重合时,与Rt△ABO的边有一个公共点,此时t=2;
当t>2,直到⊙P运动到与AB相切时,由探究①得:OP=3,∴t3,与Rt△ABO的边有两个公共点,∴2<t≤3.
如图6,当⊙P运动到PM与OB重合时,与Rt△ABO的边有两个公共点,此时t=2;
直到⊙P运动到点N与点O重合时,与Rt△ABO的边有一个公共点,此时t=4;
∴2≤t<4,即:t的取值范围是2<t≤3,2≤t<4.
【点睛】
本题是圆的综合题,主要考查了弧长公式,切线的性质,锐角三角函数,三角形面积公式,作出图形是解答本题的关键.
25、(1)见解析;(2)菱形
【解析】
试题分析:(1)由切线的性质得到∠OBP=90°,进而得到∠BOP=60°,由OC=BO,得到∠OBC=∠OCB=30°,由等角对等边即可得到结论;
(2)由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可.
试题解析:证明:(1)∵PB是⊙O的切线,∴∠OBP=90°,∠POB=90°-30°=60°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵∠POB=∠OBC+∠OCB,∴∠OCB=30°=∠P,∴PB=BC;
(2)连接OD交BC于点M.∵D是弧BC的中点,∴OD垂直平分BC.
在直角△OMC中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD,∴OM=DM,∴四边形BOCD是菱形.
26、(1)y=﹣x2+4x+5,A(﹣1,0),B(5,0);(2)Q(,4);(3)M(1,8),N(2,13)或M′(3,8),N′(2,3).
【解析】
(1)设顶点式,再代入C点坐标即可求解解析式,再令y=0可求解A和B点坐标;
(2)设点Q(m,﹣m2+4m+5),则其关于原点的对称点Q′(﹣m,m2﹣4m﹣5),再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值,同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”;
(3)利用平移AC的思路,作MK⊥对称轴x=2于K,使MK=OC,分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】
(Ⅰ)设二次函数的解析式为y=a(x﹣2)2+9,把C(0,5)代入得到a=﹣1,
∴y=﹣(x﹣2)2+9,即y=﹣x2+4x+5,
令y=0,得到:x2﹣4x﹣5=0,
解得x=﹣1或5,
∴A(﹣1,0),B(5,0).
(Ⅱ)设点Q(m,﹣m2+4m+5),则Q′(﹣m,m2﹣4m﹣5).
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5,
得到:m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5,
∴m=或(舍弃),
∴Q(,).
(Ⅲ)如图,作MK⊥对称轴x=2于K.
①当MK=OA,NK=OC=5时,四边形ACNM是平行四边形.
∵此时点M的横坐标为1,
∴y=8,
∴M(1,8),N(2,13),
②当M′K=OA=1,KN′=OC=5时,四边形ACM′N′是平行四边形,
此时M′的横坐标为3,可得M′(3,8),N′(2,3).
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用,第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.
27、(1)相等或互补;(2)①BD+AB=BC;②AB﹣BD=BC;(3)BC= 或.
【解析】
(1)分为点C,D在直线MN同侧和点C,D在直线MN两侧,两种情况讨论即可解题,
(2)①作辅助线,证明△BCD≌△FCA,得BC=FC,∠BCD=∠FCA,∠FCB=90°,即△BFC是等腰直角三角形,即可解题, ②在射线AM上截取AF=BD,连接CF,证明△BCD≌△FCA,得△BFC是等腰直角三角形,即可解题,
(3)分为当点C,D在直线MN同侧,当点C,D在直线MN两侧,两种情况解题即可,见详解.
【详解】
解:(1)相等或互补;
理由:当点C,D在直线MN同侧时,如图1,
∵AC⊥CD,BD⊥MN,
∴∠ACD=∠BDC=90°,
在四边形ABDC中,∠BAD+∠D=360°﹣∠ACD﹣∠BDC=180°,
∵∠BAC+∠CAM=180°,
∴∠CAM=∠D;
当点C,D在直线MN两侧时,如图2,
∵∠ACD=∠ABD=90°,∠AEC=∠BED,
∴∠CAB=∠D,
∵∠CAB+∠CAM=180°,
∴∠CAM+∠D=180°,
即:∠D与∠MAC之间的数量是相等或互补;
(2)①猜想:BD+AB=BC
如图3,在射线AM上截取AF=BD,连接CF.
又∵∠D=∠FAC,CD=AC
∴△BCD≌△FCA,
∴BC=FC,∠BCD=∠FCA
∵AC⊥CD
∴∠ACD=90°
即∠ACB+∠BCD=90°
∴∠ACB+∠FCA=90°
即∠FCB=90°
∴BF=
∵AF+AB=BF=
∴BD+AB=;
②如图2,在射线AM上截取AF=BD,连接CF,
又∵∠D=∠FAC,CD=AC
∴△BCD≌△FCA,
∴BC=FC,∠BCD=∠FCA
∵AC⊥CD
∴∠ACD=90°
即∠ACB+∠BCD=90°
∴∠ACB+∠FCA=90°
即∠FCB=90°
∴BF=
∵AB﹣AF=BF=
∴AB﹣BD=;
(3)①当点C,D在直线MN同侧时,如图3﹣1,
由(2)①知,△ACF≌△DCB,
∴CF=BC,∠ACF=∠ACD=90°,
∴∠ABC=45°,
∵∠ABD=90°,
∴∠CBD=45°,
过点D作DG⊥BC于G,
在Rt△BDG中,∠CBD=45°,BD=,
∴DG=BG=1,
在Rt△CGD中,∠BCD=30°,
∴CG=DG=,
∴BC=CG+BG=+1,
②当点C,D在直线MN两侧时,如图2﹣1,
过点D作DG⊥CB交CB的延长线于G,
同①的方法得,BG=1,CG=,
∴BC=CG﹣BG=﹣1
即:BC= 或,
【点睛】
本题考查了三角形中的边长关系,等腰直角三角形的性质,中等难度,分类讨论与作辅助线是解题关键.
相关试卷
这是一份2023-2024学年广东省广州市番禹区数学九上期末检测试题含答案,共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁,如图,在中等内容,欢迎下载使用。
这是一份广州市番禹区2022-2023学年七下数学期末综合测试模拟试题含答案,共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容,欢迎下载使用。
这是一份2022-2023学年广东省广州市番禹区数学七下期末统考模拟试题含答案,共6页。试卷主要包含了在下列说法中等内容,欢迎下载使用。