2022年河北省保定市莲池区十三中学中考数学模试卷含解析

这是一份2022年河北省保定市莲池区十三中学中考数学模试卷含解析，共25页。试卷主要包含了有以下图形，若M，定义运算等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列说法正确的是（　 　）
A．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上
C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近
2． “龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（ ）

A．赛跑中，兔子共休息了50分钟
B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C．兔子比乌龟早到达终点10分钟
D．乌龟追上兔子用了20分钟
3．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
4．已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2﹣bx﹣c=0在﹣1＜x＜3的范围内有两个相等的实数根，则c的取值范围是（   ）
A．c=4 B．﹣5＜c≤4 C．﹣5＜c＜3或c=4 D．﹣5＜c≤3或c=4
5．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
7．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）

A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5
8．若M（2，2）和N（b，﹣1﹣n2）是反比例函数y=的图象上的两个点，则一次函数y=kx+b的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
9．潍坊市2018年政府工作报告中显示，潍坊社会经济平稳运行，地区生产总值增长8%左右，社会消费品零售总额增长12%左右，一般公共预算收入539.1亿元，7家企业入选国家“两化”融合贯标试点，潍柴集团收入突破2000亿元，荣获中国商标金奖．其中，数字2000亿元用科学记数法表示为（　　）元．（精确到百亿位）
A．2×1011 B．2×1012 C．2.0×1011 D．2.0×1010
10．定义运算：a⋆b=2ab．若a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b的值为（ ）
A．0 B．2 C．4m D．-4m
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为 kg
12．2017年7月27日上映的国产电影《战狼2》，风靡全国．剧中“犯我中华者，虽远必诛”鼓舞人心，彰显了祖国的强大实力与影响力，累计票房56.8亿元．将56.8亿元用科学记数法表示为_____元．
13．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点
（Ⅰ）AB的长等于__
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C，使得CA=CB且△ABC的面积等于，并简要说明点C的位置是如何找到的__________________

15．如图，扇形的半径为，圆心角为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得的圆锥的高为 ______ .

16．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是_____.
17．如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学生的测试成绩按标准对应为优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据绘制成图表时发现，优秀漏统计4人，良好漏统计6人，于是及时更正，从而形成如图图表，请按正确数据解答下列各题：
学生体能测试成绩各等次人数统计表
体能等级
调整前人数
调整后人数
优秀
8
　 　
良好
16
　 　
及格
12
　 　
不及格
4
　 　
合计
40
　 　
（1）填写统计表；
（2）根据调整后数据，补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1500人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数．

19．（5分）已知抛物线经过点，．把抛物线与线段围成的封闭图形记作．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点为图形中的抛物线上一点，且点的横坐标为，过点作轴，交线段于点．当为等腰直角三角形时，求的值；
（3）点是直线上一点，且点的横坐标为，以线段为边作正方形，且使正方形与图形在直线的同侧，当，两点中只有一个点在图形的内部时，请直接写出的取值范围．

20．（8分）已知顶点为A的抛物线y＝a(x－)2－2经过点B(－，2)，点C(，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，与y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；
(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若点N′落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

21．（10分）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数 （x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．求m的值；若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式．

22．（10分）如图，的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.
在图1中画出边上的中线；在图2中画出，使得.
23．（12分）试探究：
小张在数学实践活动中，画了一个△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，再以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，如图1，则AE＝　 　；此时小张发现AE2＝AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．
拓展延伸：
小张利用图1中的线段AC及点E，构造AE＝EF＝FC，连接AF，得到图2，试完成以下问题：
（1）求证：△ACF∽△FCE；
（2）求∠A的度数；
（3）求cos∠A的值；
应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长．

24．（14分）抛一枚质地均匀六面分别刻有1、2、3、4、5、6点的正方体骰子两次，若记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率为_____．



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解析】
根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
【详解】
解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B不符合题意；
C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C不符合题意；
D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
2、D
【解析】
分析：根据图象得出相关信息，并对各选项一一进行判断即可.
详解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10＝40（分钟），故A选项错误；
乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为：（米/分钟），故B选项错误；
兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C选项错误；
在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D选项正确.
故选D.
点睛：本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键.
3、C
【解析】
根据题意相等关系：①8×人数-3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组：，
故选C.
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.
4、D
【解析】
解：由对称轴x=2可知：b=﹣4，
∴抛物线y=x2﹣4x+c，
令x=﹣1时，y=c+5，
x=3时，y=c﹣3，
关于x的一元二次方程﹣x2﹣bx﹣c=0在﹣1＜x＜3的范围有实数根，
当△=0时，
即c=4，
此时x=2，满足题意．
当△＞0时，
（c+5）（c﹣3）≤0，
∴﹣5≤c≤3，
当c=﹣5时，
此时方程为：﹣x2+4x+5=0，
解得：x=﹣1或x=5不满足题意，
当c=3时，
此时方程为：﹣x2+4x﹣3=0，
解得：x=1或x=3此时满足题意，
故﹣5＜c≤3或c=4，
故选D.
点睛：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系.理解二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键.
5、C
【解析】
矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选C．
6、B
【解析】
解方程得：x=5或x=1．
当x=1时，3+4=1，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，
故选B．
7、D
【解析】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞1．故选D．
8、C
【解析】
把（2，2）代入得k=4，把（b，﹣1﹣n2）代入得,k=b（﹣1﹣n2），即
根据k、b的值确定一次函数y=kx+b的图象经过的象限．
【详解】
解：把（2，2）代入,
得k=4，
把（b，﹣1﹣n2）代入得：
k=b（﹣1﹣n2），即,
∵k=4＞0，＜0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象的性质以及一次函数经过的象限，根据反比例函数的性质得出k，b的符号是解题关键．
9、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
2000亿元=2.0×1．
故选：C．
【点睛】
考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10、A
【解析】【分析】由根与系数的关系可得a+b=-1然后根据所给的新定义运算a⋆b=2ab对式子(a+1)⋆a -(b+1)⋆b用新定义运算展开整理后代入进行求解即可.
【详解】∵a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，
∴a+b=-1，
∵定义运算：a⋆b=2ab，
∴(a+1)⋆a -(b+1)⋆b
=2a(a+1)-2b(b+1)
=2a2+2a-2b2-2b
=2(a+b)(a-b)+2(a-b)
=-2(a-b)+2(a-b)=0，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义运算等，理解并能运用新定义运算是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、20
【解析】
设函数表达式为y=kx+b把（30，300）、（50、900）代入可得：y=30x-600当y=0时x=20所以免费行李的最大质量为20kg
12、5.68×109
【解析】
试题解析：科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，是正数；当原数的绝对值<1时，是负数．
56.8亿
故答案为
13、x=±1
【解析】
移项得x1=4，
∴x=±1．
故答案是：x=±1．
14、 取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【解析】
（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；
（Ⅱ）取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【详解】
解：（Ⅰ）AB= =，
故答案为．
（Ⅱ）如图取格点P、N（使得S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．

故答案为：取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【点睛】
本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
15、4cm
【解析】
求出扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】
扇形的弧长==4π，
圆锥的底面半径为4π÷2π=2，
故圆锥的高为：=4,
故答案为4cm．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，重点考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
16、
【解析】
试题解析：画树状图得：

由树状图可知：所有可能情况有12种，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种，所以其概率=，
故答案为．
17、
【解析】
设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB＝90°得到AB为圆形纸片的直径，则OB＝cm，根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．
【详解】
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
连结AB，如图，
∵扇形OAB的圆心角为90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AB为圆形纸片的直径，
∴AB＝4cm，
∴OB＝cm，
∴扇形OAB的弧AB的长＝π，
∴2πr＝π，
∴r＝（cm）．
故答案为．

【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）12；22；12；4；50；（2）详见解析；（3）1．
【解析】
（1）求出各自的人数，补全表格即可；
（2）根据调整后的数据，补全条形统计图即可；
（3）根据“游戏”人数占的百分比，乘以1500即可得到结果．
【详解】
解：（1）填表如下：
体能等级
调整前人数
调整后人数
优秀
8
12
良好
16
22
及格
12
12
不及格
4
4
合计
40
50
故答案为12；22；12；4；50；
（2）补全条形统计图，如图所示：

（3）抽取的学生中体能测试的优秀率为24%，
则该校体能测试为“优秀”的人数为1500×24%=1（人）．
【点睛】
本题考查了统计表与条形统计图的知识点，解题的关键是熟练的掌握统计表与条形统计图的相关知识点.
19、（1）；（2）-2或-1；（3）-1≤n<1或1 【解析】
（1）把点，代入抛物线得关于a,b的二元一次方程组，解出这个方程组即可；
（2）根据题意画出图形，分三种情况进行讨论；
（3）作出图形，把其中一点恰好在抛物线上时算出，再确定其取值范围.
【详解】
解：（1）依题意，得：

解得：
∴此抛物线的解析式 ；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b,依题意得：

解得：
∴直线AB的解析式为y=-x.
∵点P的横坐标为m，且在抛物线上，
∴点P的坐标为（m, ）
∵轴，且点Q有线段AB上，
∴点Q的坐标为（m,-m）
① 当PQ=AP时，如图，∵∠APQ=90°，轴，
∴
解得，m=-2或m=1（舍去）

② 当AQ=AP时，如图，过点A作AC⊥PQ于C，

∵为等腰直角三角形，
∴2AC=PQ

即m=1(舍去)或m=-1.
综上所述，当为等腰直角三角形时，求的值是-2惑-1.；
（3）①如图，当n<1时，依题意可知C,D的横坐标相同，CE=2（1-n）
∴点E的坐标为（n,n-2）
当点E恰好在抛物线上时，解得，n=-1.
∴此时n的取值范围-1≤n<1.

②如图，当n>1时，依题可知点E的坐标为（2-n,-n）
当点E在抛物线上时，
解得，n=3或n=1.
∵n>1.
∴n=3.
∴此时n的取值范围1 综上所述，n的取值范围为-1≤n<1或1
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合应用，掌握相关几何图形的性质和二次函数的性质是解题的关键.
20、 (1) y＝(x－)2－2；(2)△POE的面积为或；(3)点Q的坐标为(－，)或(－，2)或(，2)．
【解析】
（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；
（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得=
＝＝，即OP=FA，设点P（t，-2t-1），列出关于t的方程解之可得；
（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．
【详解】
解：（1）把点B(－，2)代入y＝a(x－)2－2，
解得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝(x－)2－2，
（2）由y＝(x－)2－2知A(，－2)，
设直线AB表达式为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标得，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝－2x－1，
易求E(0，－1)，F(0，－)，M(－，0)，
若∠OPM＝∠MAF，
∴OP∥AF，
∴△OPE∽△FAE，
∴，
∴OP＝FA＝ ，
设点P(t，－2t－1)，则，
解得t1＝－，t2＝－，
由对称性知，当t1＝－时，也满足∠OPM＝∠MAF，
∴t1＝－，t2＝－都满足条件，
∵△POE的面积＝OE·|t|，
∴△POE的面积为或；
（3）如图，若点Q在AB上运动，过N′作直线RS∥y轴，交QR于点R，交NE的延长线于点S，

设Q(a，－2a－1)，则NE＝－a，QN＝－2a.
由翻折知QN′＝QN＝－2a，N′E＝NE＝－a，
由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，
∴＝＝，即＝=＝2，
∴QR＝2，ES＝ ，
由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋＝2，
解得a＝－，
∴Q(－，)，
如图，若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.

设NE＝a，则N′E＝a.
易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，
∴QR＝，SE＝－a.
在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，
解得a＝，
∴Q(－，2)，
如图，若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.

设NE＝a，则N′E＝a.
易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，
∴QR＝，SE＝－a.
在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，
解得a＝，
∴Q(，2)．
综上，点Q的坐标为(－，)或(－，2)或(，2)．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．
21、（1）-6；（2）．
【解析】
（1）由点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数（x＜0）的图象上可得﹣2n=3﹣3n，即可得出答案；
（2）由（1）得出B、D的坐标，作DE⊥BC．延长DE交AB于点F，证△DBE≌△FBE得DE=FE=4，即可知点F（2，1），再利用待定系数法求解可得．
【详解】
解：（1）∵点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴，解得：；
（2）由（1）知反比例函数解析式为，∵n=3，∴点B（﹣2，3）、D（﹣6，1），
如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，
在△DBE和△FBE中，∵∠DBE=∠FBE，BE=BE，∠BED=∠BEF=90°，
∴△DBE≌△FBE（ASA），∴DE=FE=4，
∴点F（2，1），将点B（﹣2，3）、F（2，1）代入y=kx+b，
∴，解得：，
∴．

【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是能借助全等三角形确定一些相关线段的长．
22、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）利用矩形的性质得出AB的中点，进而得出答案．
（2）利用矩形的性质得出AC、BC的中点，连接并延长，使延长线段与连接这两个中点的线段相等.
【详解】
（1）如图所示：CD即为所求.

（2）

【点睛】
本题考查应用设计与作图，正确借助矩形性质和网格分析是解题关键．
23、（1）小张的发现正确；（2）详见解析；（3）∠A＝36°；（4）
【解析】
尝试探究：根据勾股定理计算即可；
拓展延伸：（1）由AE2＝AC•EC，推出 ，又AE＝FC，推出 ，即可解问题；
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图，过点F作FM⊥AC交AC于点M，根据cos∠A＝ ，求出AM、AF即可；
应用迁移：利用（3）中结论即可解决问题；
【详解】
解：尝试探究：﹣1；
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝，
∴AD＝AE＝，
∵AE2＝（）2＝6﹣2，
AC•EC＝2×[2﹣（）]＝6﹣ ，
∴AE2＝AC•EC，
∴小张的发现正确；
拓展延伸：
（1）∵AE2＝AC•EC，
∴
∵AE＝FC，
∴，
又∵∠C＝∠C，
∴△ACF∽△FCE；
（2）∵△ACF∽△FCE，∴∠AFC＝∠CEF，
又∵EF＝FC，
∴∠C＝∠CEF，
∴∠AFC＝∠C，
∴AC＝AF，
∵AE＝EF，
∴∠A＝∠AFE，
∴∠FEC＝2∠A，
∵EF＝FC，
∴∠C＝2∠A，
∵∠AFC＝∠C＝2∠A，
∵∠AFC+∠C+∠A＝180°，
∴∠A＝36°；
（3）如图，过点F作FM⊥AC交AC于点M，

由尝试探究可知AE＝ ，
EC＝，
∵EF＝FC，由（2）得：AC＝AF＝2，
∴ME＝ ，
∴AM＝ ，
∴cos∠A＝ ；
应用迁移：
∵正十边形的中心角等于 ＝36°，且是半径为2的圆内接正十边形，
∴如图，当点A是圆内接正十边形的圆心，AC和AF都是圆的半径，FC是正十边形的边长时，
设AF＝AC＝2，FC＝EF＝AE＝x，
∵△ACF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴半径为2的圆内接正十边形的边长为．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
24、
【解析】
解方程组，根据条件确定a、b的范围，从而确定满足该条件的结果个数，利用古典概率的概率公式求出方程组只有一个解的概率.
【详解】
∵，
得
若b＞2a，
即a=2，3，4，5，6    b=4，5，6
符合条件的数组有（2，5）（2，6）共有2个，
若b＜2a，
符合条件的数组有（1，1）共有1个，
∴概率p=.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了古典概率及其概率计算公式的应用.