2022年湖南省岳阳市平江县中考数学模拟预测试卷含解析

这是一份2022年湖南省岳阳市平江县中考数学模拟预测试卷含解析，共23页。试卷主要包含了某商品的进价为每件元，的相反数是，已知反比例函数下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=40°，那么∠2的度数（ ）

A．40° B．50° C．60° D．90°
2．如图，等边△ABC内接于⊙O，已知⊙O的半径为2，则图中的阴影部分面积为（   ）

A．  B．  C．  D．
3．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外离 D．内含
4．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为　　
A． B． C． D．
5．若a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则求代数式a3﹣2a+1的值时需用到的数学方法是（　　）
A．待定系数法 B．配方 C．降次 D．消元
6．某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．现在要使利润为元，每件商品应降价（ ）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．5
7．的相反数是　　
A．4 B． C． D．
8．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个白球．从布袋中一次性摸出两个球，则摸出的两个球中至少有一个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（　　）

A．54° B．36° C．30° D．27°
10．已知反比例函数下列结论正确的是（ ）
A．图像经过点（-1，1） B．图像在第一、三象限
C．y 随着 x 的增大而减小 D．当 x > 1时， y < 1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若有意义，则x的范围是_____．
12．计算：3﹣1﹣30＝_____.
13．（11·湖州）如图，已知A、B是反比例函数（k＞0，x＜0）图象上的两
点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”
所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四
边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为
14．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与射线AC相交于点D．当△ODA是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于__．

15．钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米，170000用科学记数法表示为______．
16．A．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有_____条．
B．用计算器计算：•tan63°27′≈_____（精确到0.01）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线．过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，求证：DH＝BF．

18．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．求∠CDE的度数；求证：DF是⊙O的切线；若AC=DE，求tan∠ABD的值．

19．（8分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
20．（8分）综合与探究
如图，抛物线y=﹣与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD，BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：
（1）求点A的坐标与直线l的表达式；
（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时的t的值；
②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；
（3）在点M运动的过程中，在直线l上是否存在点P，使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（8分）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．求证：BC＝CD；若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．

22．（10分）观察下列多面体，并把下表补充完整.
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形




顶点数
6

10
12
棱数
9
12


面数
5


8
观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式.
23．（12分）对于平面直角坐标系中的点，将它的纵坐标与横坐标的比称为点的“理想值”，记作．如的“理想值”．

（1）①若点在直线上，则点的“理想值”等于_______；
②如图，，的半径为1．若点在上，则点的“理想值”的取值范围是_______．
（2）点在直线上，的半径为1，点在上运动时都有，求点的横坐标的取值范围；
（3），是以为半径的上任意一点，当时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）
24．如图所示，PB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在PC上，∠P=30°，D为弧BC的中点.
(1)求证：PB=BC；
(2)试判断四边形BOCD的形状，并说明理由.




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解析】
分析：
根据“平行线的性质、平角的定义和垂直的定义”进行分析计算即可.
详解：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵点B在直线b上，
∴∠1+∠ABC+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1-90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°.
故选B.

点睛：熟悉“平行线的性质、平角的定义和垂直的定义”是正确解答本题的关键.
2、A
【解析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．

∵△ABC是等边三角形，∴BH=AB=，OH=1，∴△OBC的面积= ×BC×OH=，则△OBA的面积=△OAC的面积=△OBC的面积=，由圆周角定理得，∠BOC=120°，∴图中的阴影部分面积==．故选A．
点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．
3、A
【解析】
试题分析：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，5﹣3＜4＜5+3，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2相交．
故选A．
考点：圆与圆的位置关系．
4、B
【解析】
将k看做已知数求出用k表示的x与y，代入2x+3y=6中计算即可得到k的值．
【详解】
解：，
①②得：，即，
将代入①得：，即，
将，代入得：，
解得：．
故选：．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．
5、C
【解析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
由题意可知：a2-a-1=0，
∴a2-a=1，
或a2-1=a
∴a3-2a+1
=a3-a-a+1
=a（a2-1）-（a-1）
=a2-a+1
=1+1
=2
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义．
6、A
【解析】
设售价为x元时，每星期盈利为6125元，那么每件利润为（x-40），原来售价为每件60元时，每星期可卖出300件，所以现在可以卖出[300+20（60-x）]件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题．
【详解】
解：设售价为x元时，每星期盈利为6120元，
由题意得（x-40）[300+20（60-x）]=6120，
解得：x1=57，x2=1，
由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=1．
∴每件商品应降价60-57=3元．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
7、A
【解析】
直接利用相反数的定义结合绝对值的定义分析得出答案．
【详解】
-1的相反数为1，则1的绝对值是1．
故选A．
【点睛】
本题考查了绝对值和相反数，正确把握相关定义是解题的关键．
8、D
【解析】
画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
画树状图如下：

一共有20种情况，其中两个球中至少有一个红球的有14种情况，
因此两个球中至少有一个红球的概率是：．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9、D
【解析】解：∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，∵∠ODA=36°，∴∠AOD=54°，∵∠AOD与∠ACB都对，∴∠ACB=∠AOD=27°．故选D．
10、B
【解析】
分析：直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
详解：A．反比例函数y=，图象经过点（﹣1，﹣1），故此选项错误；
B．反比例函数y=，图象在第一、三象限，故此选项正确；
C．反比例函数y=，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；
D．反比例函数y=，当x＞1时，0＜y＜1，故此选项错误．
故选B．
点睛：本题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、x≤1．
【解析】
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】
依题意得：1﹣x≥0且x﹣3≠0，
解得：x≤1．
故答案是：x≤1．
【点睛】
本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
12、﹣.
【解析】
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【详解】
原式＝﹣1＝﹣.
故答案是：﹣.
【点睛】
考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13、A
【解析】
试题分析：①当点P在OA上运动时，OP=t，S=OM•PM=tcosα•tsinα，α角度固定，因此S是以y轴为对称轴的二次函数，开口向上；
②当点P在AB上运动时，设P点坐标为（x，y），则S=xy=k，为定值，故B、D选项错误；
③当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，故C选项错误．
故选A．

考点：1.反比例函数综合题；2.动点问题的函数图象．
14、2
【解析】
连接PB、PC，根据二次函数的对称性可知OB＝PB，PC＝AC，从而判断出△POB和△ACP是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图，连接PB、PC，
由二次函数的性质，OB＝PB，PC＝AC，
∵△ODA是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，
∴△POB和△ACP是等边三角形，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴点B、C的纵坐标之和为：OB×sin60°+PC×sin60°=4×＝2，
即两个二次函数的最大值之和等于2．
故答案为2．

【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造出等边三角形并利用等边三角形的知识求解是解题的关键．
15、
【解析】
解：将170000用科学记数法表示为：1.7×1．故答案为1.7×1．
16、20 5.1
【解析】
A、先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得；
B、利用计算器计算可得．
【详解】
A、根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°=8，
则这个正多边形对角线的条数一共有=20，
故答案为20；
B、•tan63°27′≈2.646×2.001≈5.1，
故答案为5.1．
【点睛】
本题主要考查计算器-三角函数，解题的关键是掌握多边形的内角与外角、对角线计算公式及计算器的使用．

三、解答题（共8题，共72分）
17、见解析.
【解析】
先证明△AFC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一证明H为FC的中点，又D为BC的中点，根据中位线的性质即可证明.
【详解】
∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，
∴△ACF是等腰三角形，
∴AF＝AC，HF＝CH，
∵AD为△ABC的中线，
∴DH是△BCF的中位线，
∴DH＝BF．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质.解决本题的关键是证明H点为FC的中点，然后利用中位线的性质解决问题.本题中要证明DH＝BF，一般三角形中出现这种2倍或关系时，常用中位线的性质解决.
18、（1）90°；（1）证明见解析；（3）1．
【解析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（1）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】
解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（1）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DC1=AD•DE
∵AC=1DE，
∴设DE=x，则AC=1x，
则AC1﹣AD1=AD•DE，
期（1x）1﹣AD1=AD•x，
整理得：AD1+AD•x﹣10x1=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），
则DC=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=．

19、（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
【解析】
试题分析：（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，由净收入为正列出不等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
试题解析：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x﹣1100＞0，
解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每辆车的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣）x﹣1100
=﹣x2+70x﹣1100
=﹣（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
考点：二次函数的应用．
20、（1）A（﹣3，0），y=﹣x+；（2）①D（t﹣3+，t﹣3），②CD最小值为；（3）P（2，﹣），理由见解析.
【解析】
（1）当y=0时，﹣=0，解方程求得A（-3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），待定系数法可求直线l的表达式；
（2）分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；
（3）分当点M在AO上运动时，即0＜t＜3时，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，进行讨论可求P点坐标．
【详解】
（1）当y=0时，﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
由解析式得C（0，），
设直线l的表达式为y=kx+b，将B，C两点坐标代入得b=mk﹣，
故直线l的表达式为y=﹣x+；
（2）当点M在AO上运动时，如图：

由题意可知AM=t，OM=3﹣t，MC⊥MD，过点D作x轴的垂线垂足为N，
∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°，
∴∠MCO=∠DMN，
在△MCO与△DMN中，
，
∴△MCO≌△DMN，
∴MN=OC=，DN=OM=3﹣t，
∴D（t﹣3+，t﹣3）；
同理，当点M在OB上运动时，如图，

OM=t﹣3，△MCO≌△DMN，MN=OC=，ON=t﹣3+，DN=OM=t﹣3，
∴D（t﹣3+，t﹣3）．
综上得，D（t﹣3+，t﹣3）．
将D点坐标代入直线解析式得t=6﹣2，
线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，
∵M在AB上运动，
∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=，根据勾股定理得CD最小；
（3）当点M在AO上运动时，如图，即0＜t＜3时，

∵tan∠CBO==，
∴∠CBO=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，
∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，AN=t+，NB=4﹣t﹣，tan∠NBO=，
=，解得t=3﹣，
经检验t=3﹣是此方程的解，
过点P作x轴的垂线交于点Q，易知△PQB≌△DNB，
∴BQ=BN=4﹣t﹣=1，PQ=，OQ=2，P（2，﹣）；
同理，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，
∵△BDP是等边三角形，
∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，
∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣3+﹣1=t﹣4+，tan∠NBD=，
=，解得t=3﹣，
经检验t=3﹣是此方程的解，t=3﹣（不符合题意，舍）．
故P（2，﹣）．
【点睛】
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角函数，分类思想的运用，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
21、 (1)证明见解析；(2).
【解析】
(1)根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，再利用切线长定理证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．
【详解】
(1)∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线，
∵CD切⊙O于点D，
∴BC＝CD；
(2)连接BD，
∵BC＝CD，∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝BD•tan∠ABD＝．

【点睛】
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22、8，15，18，6，7；
【解析】
分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+1）个面，1n个顶点和3n条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．
详解：填表如下：
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形




顶点数a
6
8
10
11
棱数b
9
11
15
18
面数c
5
6
7
8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+1个面，共有1n个顶点，共有3n条棱；
故a，b，c之间的关系：a+c-b=1．
点睛：此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+1）个面，1n个顶点和3n条棱是解题关键．
23、（1）①﹣3；②；（2）；（3）
【解析】
（1）①把Q（1，a）代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与轴夹角越大，可得直线与相切时理想值最大，与x中相切时，理想值最小，即可得答案；（2）根据题意，讨论与轴及直线相切时，LQ 取最小值和最大值，求出点横坐标即可；（3）根据题意将点转化为直线，点理想值最大时点在上，分析图形即可．
【详解】
（1）①∵点在直线上，
∴，
∴点的“理想值”=-3，
故答案为：﹣3.
②当点在与轴切点时，点的“理想值”最小为0.
当点纵坐标与横坐标比值最大时，的“理想值”最大，此时直线与切于点，
设点Q（x，y），与x轴切于A，与OQ切于Q，
∵C（，1），
∴tan∠COA==，
∴∠COA=30°，
∵OQ、OA是的切线，
∴∠QOA=2∠COA=60°，
∴=tan∠QOA=tan60°=，
∴点的“理想值”为，

故答案为：.
（2）设直线与轴、轴的交点分别为点，点，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x+3=0，解得：x=，
∴，．
∴，，
∴tan∠OAB=，
∴．
∵，
∴①如图，作直线．
当与轴相切时，LQ=0，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最大值．
作轴于点，
∴，
∴．
∵的半径为1，
∴．
∴，
∴．
∴．

②如图
当与直线相切时，LQ=，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最小值．
作轴于点，则．
设直线与直线的交点为．
∵直线中，k=，
∴，
∴，点F与Q重合，
则．
∵的半径为1，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．

由①②可得，的取值范围是．
（3）∵M（2，m），
∴M点在直线x=2上，
∵，
∴LQ取最大值时，=，
∴作直线y=x，与x=2交于点N，
当M与ON和x轴同时相切时，半径r最大，
根据题意作图如下：M与ON相切于Q，与x轴相切于E，
把x=2代入y=x得：y=4，
∴NE=4，OE=2，ON==6，
∴∠MQN=∠NEO=90°，
又∵∠ONE=∠MNQ，
∴，
∴，即，
解得：r=.
∴最大半径为.

【点睛】
本题是一次函数和圆的综合题，主要考查了一次函数和圆的切线的性质，解答时要注意做好数形结合，根据图形进行分类讨论．
24、（1）见解析；（2）菱形
【解析】
试题分析：（1）由切线的性质得到∠OBP=90°，进而得到∠BOP=60°，由OC=BO，得到∠OBC=∠OCB=30°，由等角对等边即可得到结论；
（2）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可．
试题解析：证明：（1）∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°，∠POB=90°-30°=60°．∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．∵∠POB=∠OBC+∠OCB，∴∠OCB=30°=∠P，∴PB=BC；
（2）连接OD交BC于点M．∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC．
在直角△OMC中，∵∠OCM=30°，∴OC=2OM=OD，∴OM=DM，∴四边形BOCD是菱形．