2022年北京市昌平区重点达标名校中考四模数学试题含解析

这是一份2022年北京市昌平区重点达标名校中考四模数学试题含解析，共19页。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣3
2．将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（　　）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　

A．55° B．60° C．65° D．70°
4．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）

A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
5．如图，一张半径为的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（ ）

A． B． C． D．
6．一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
8．x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
9．如图，直线a、b被c所截，若a∥b，∠1=45°，∠2=65°，则∠3的度数为（ ）

A．110° B．115° C．120° D．130°
10．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成
一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为

A．6cm B．cm C．8cm D．cm
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．函数中，自变量的取值范围是______．
12．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．

13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角为时，两梯角之间的距离BC的长为周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使为，后又调整为，则梯子顶端离地面的高度AD下降了______结果保留根号．

14．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．

15．已知线段厘米，厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于________厘米．
16．圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为_____．
17．若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n= .
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC∥直线l，∠BCE=71°，CE=54cm．
（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）
（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）

19．（5分）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝1．
20．（8分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．
求证：OC=OD．

21．（10分）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．

（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：
成绩x
学生
70≤x≤74
75≤x≤79
80≤x≤84
85≤x≤89
90≤x≤94
95≤x≤100
甲
______
______
______
______
______
______
乙
1
1
4
2
1
1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生
极差
平均数
中位数
众数
方差
甲
______
83.7
______
86
13.21
乙
24
83.7
82
______
46.21
（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D是⊙O外一点，AD=AB，AD交⊙O于F，BD交⊙O于E，连接CE交AB于G．
（1）证明：∠C=∠D；
（2）若∠BEF=140°，求∠C的度数；
（3）若EF=2，tanB=3，求CE•CG的值．

23．（12分）在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．
（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；
（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？

24．（14分）某厂按用户的月需求量(件)完成一种产品的生产，其中．每件的售价为18万元，每件的成本(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量(件)成反比．经市场调研发现，月需求量与月份(为整数，)符合关系式(为常数)，且得到了表中的数据．
月份(月)

1

2

成本(万元/件)

11

12

需求量(件/月)

120

100

(1)求与满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
(2)求，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)在这一年12个月中，若第个月和第个月的利润相差最大，求．



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【解析】
方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
【详解】
方程，
变形得：，
配方得：，即
故选A．
【点睛】
本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．
2、A
【解析】
根据已知得出直径是的圆形铁皮，被分成三个圆心角为半径是30cm的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案。
【详解】
直径是的圆形铁皮，被分成三个圆心角为半径是30cm的扇形
假设每个圆锥容器的地面半径为

解得
故答案选A.
【点睛】
本题考查扇形弧长的计算方法和扇形围成的圆锥底面圆的半径的计算方法。
3、C
【解析】
根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选C．
【点睛】
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
4、B
【解析】
根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.
【详解】
解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，
∴DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选B．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
5、C
【解析】
这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积．
【详解】
解：如图：

∵正方形的面积是：4×4=16；
扇形BAO的面积是：，
∴则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1-4×=4-π，
∴这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是16-（4-π）=12+π，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了正方形和扇形的面积的计算公式，正确记忆公式是解题的关键．
6、B
【解析】
当k＞0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y=的图象在一、三象限，∴A、C不符合题意，B符合题意；当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y=的图象在二、四象限，∴D不符合题意．
故选B．
7、A
【解析】
利用三角形内角和求∠B，然后根据相似三角形的性质求解.
【详解】
解：根据三角形内角和定理可得：∠B=30°，
根据相似三角形的性质可得：∠B′=∠B=30°.
故选：A.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键.
8、B
【解析】
试题解析：把x=1代入方程1x-a=0得1-a=0，解得a=1．
故选B.
考点：一元一次方程的解.
9、A
【解析】
试题分析：首先根据三角形的外角性质得到∠1+∠2=∠4，然后根据平行线的性质得到∠3=∠4求解．
解：根据三角形的外角性质，
∴∠1+∠2=∠4=110°，
∵a∥b，
∴∠3=∠4=110°，
故选A．

点评：本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，属于基础题，难度较小．
10、B
【解析】
试题分析：∵从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，
∴留下的扇形的弧长==12π，
根据底面圆的周长等于扇形弧长，
∴圆锥的底面半径r==6cm，
∴圆锥的高为=3cm
故选B.
考点: 圆锥的计算．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
【解析】
根据分式有意义的条件是分母不为2；分析原函数式可得关系式x−1≠2，解得答案．
【详解】
根据题意得x−1≠2，
解得：x≠1；
故答案为：x≠1．
【点睛】
本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为2．
12、1．
【解析】
由CD⊥AB，根据垂径定理得到AD＝DB＝8，再在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出OD，则通过CD＝OC−OD求出CD．
【详解】
解：∵CD⊥AB，AB＝16，
∴AD＝DB＝8，
在Rt△OAD中，AB＝16m，半径OA＝10m，
∴OD＝＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝1（m）．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
13、
【解析】
根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
解：如图1所示：
过点A作于点D，
由题意可得：，
则是等边三角形，
故BC，
则，

如图2所示：
过点A作于点E，
由题意可得：，
则是等腰直角三角形，，
则，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确画出图形利用锐角三角三角函数关系分析是解题关键．
14、3:2
【解析】
因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为: 3:2.
15、1
【解析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】
∵线段c是线段a和线段b的比例中项，
∴，
解得（线段是正数，负值舍去），
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查比例线段、比例中项等知识，比例中项的平方等于两条线段的乘积，熟练掌握基本概念是解题关键.
16、12π．
【解析】
试题分析：根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，
故答案为12π．
考点：圆锥的计算．
17、6
【解析】
此题涉及多边形内角和和外角和定理
多边形内角和=180（n-2）, 外角和=360º
所以，由题意可得180(n-2)=2×360º
解得：n=6

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）81cm；（2）8.6cm；
【解析】
（1）作EM⊥BC于点M，由EM=ECsin∠BCE可得答案；
（2）作E′H⊥BC于点H，先根据E′C=求得E′C的长度，再根据EE′=CE′﹣CE可得答案．
【详解】
（1）如图1，过点E作EM⊥BC于点M．
由题意知∠BCE=71°、EC=54，∴EM=ECsin∠BCE=54sin71°≈51.3，则单车车座E到地面的高度为51.3+30≈81cm；
（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥BC于点H．
由题意知E′H=70×0.85=59.5，则E′C==≈62.6，∴EE′=CE′﹣CE=62.6﹣54=8.6（cm）．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
19、a2+2a，2
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2＋2a−2＝2，即可解答本题.
【详解】
解：
＝
＝
＝a（a+2）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣2＝2，
∴a2+2a＝2，
∴原式＝2．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20、证明见解析.
【解析】
试题分析：首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DC∥AB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO．
试题解析：证明：∵AB∥CD
∴∠A＝∠D ∠B＝∠C
∵OA=OB
∴∠A＝∠B
∴∠C＝∠D
∴OC＝OD
考点：等腰三角形的性质与判定，平行线的性质
21、（1）0，1，4，5，0，0；（2）14，84.5，1；（3）甲，理由见解析
【解析】
(1)根据折线统计图数字进行填表即可；
(2)根据稽查，中位数，众数的计算方法，求得甲成绩的极差，中位数，乙成绩的极差，众数即可；
(3)可分别从平均数、方差、极差三方面进行比较．
【详解】
(1)由图可知：甲的成绩为：75，84，89，82，86，1，86，83，85，86，
∴70⩽x⩽74无，共0个；
75⩽x⩽79之间有75，共1个；
80⩽x⩽84之间有84，82，1，83，共4个；
85⩽x⩽89之间有89，86，86，85，86，共5个；
90⩽x⩽94之间和95⩽x⩽100无，共0个．
故答案为0；1；4；5；0；0；
(2)由图可知：甲的最高分为89分，最低分为75分，极差为89−75=14分；
∵甲的成绩为从低到高排列为：75，1，82，83，84，85，86，86，86，89，
∴中位数为（84＋85）＝84.5；
∵乙的成绩为从低到高排列为：72，76，1，1，1，83，87，89，91，96，
1出现3次，乙成绩的众数为1．
故答案为14；84.5；1；
（3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差小于乙，说明甲成绩变化范围小．
或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲．（答案不唯一，理由须支撑推断结论）
故答案为：甲，两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定．
【点睛】
此题考查折线统计图，统计表，平均数，中位数，众数，方差，极差，解题关键在于掌握运算法则以及会用这些知识来评价这组数据．
22、（1）见解析；（2）70°；（3）1．
【解析】
（1）先根据等边对等角得出∠B=∠D，即可得出结论；
（2）先判断出∠DFE=∠B，进而得出∠D=∠DFE，即可求出∠D=70°，即可得出结论；
（3）先求出BE=EF=2，进而求AE=6，即可得出AB，进而求出AC，再判断出△ACG∽△ECA，即可得出结论．
【详解】
（1）∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠D；
（2）∵四边形ABEF是圆内接四边形，
∴∠DFE=∠B，
由（1）知，∠B=∠D，
∴∠D=∠DFE，
∵∠BEF=140°=∠D+∠DFE=2∠D，
∴∠D=70°，
由（1）知，∠C=∠D，
∴∠C=70°；
（3）如图，由（2）知，∠D=∠DFE，
∴EF=DE，
连接AE，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE=DE，
∴BE=EF=2，
在Rt△ABE中，tanB==3，
∴AE=3BE=6，根据勾股定理得，AB=，
∴OA=OC=AB=，
∵点C是 的中点，
∴ ，
∴∠AOC=90°，
∴AC=OA=2，
∵，
∴∠CAG=∠CEA，
∵∠ACG=∠ECA，
∴△ACG∽△ECA，
∴，
∴CE•CG=AC2=1．

【点睛】
本题是几何综合题，涉及了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.本题中求出BE=2也是解题的关键．
23、（1）；（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．
【解析】
试题分析：
（1）根据等可能事件的概率的定义，分别确定总的可能性和是勾股数的情况的个数；
（2）用列表法列举出所有的情况和两张卡片上的数都是勾股数的情况即可.
试题解析：
（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=；
（2）列表法：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，
∴P2=，
∵P1=，P2=，P1≠P2
∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．
24、 (1)，不可能；(2)不存在；(3)1或11.
【解析】
试题分析：(1)根据每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比，结合表格，用待定系数法求y与x之间的函数关系式，再列方程求解，检验所得结果是还符合题意；(2)将表格中的n，对应的x值，代入到，求出k，根据某个月既无盈利也不亏损，得到一个关于n的一元二次方程，判断根的情况；(3)用含m的代数式表示出第m个月，第(m+1)个月的利润，再对它们的差的情况讨论.
试题解析：(1)由题意设，由表中数据，得
解得∴.
由题意，若，则.
∵x＞0，∴.
∴不可能.
(2)将n=1，x=120代入，得
120=2-2k+9k+27.解得k=13.
将n=2，x=100代入也符合.
∴k=13.
由题意，得18=6+，求得x=50.
∴50=，即.
∵，∴方程无实数根.
∴不存在.
(3)第m个月的利润为w==；
∴第(m+1)个月的利润为
W′=.
若W≥W′，W-W′=48(6-m),m取最小1，W-W′=240最大.
若W＜W′，W′-W=48(m-6),m+1≤12，m取最大11，W′-W=240最大.
∴m=1或11.
考点：待定系数法，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，二次函数的应用.