2022年河北省石家庄市第四十一中学中考数学四模试卷含解析

这是一份2022年河北省石家庄市第四十一中学中考数学四模试卷含解析，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　）

A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
2．点是一次函数图象上一点，若点在第一象限，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）

A．40° B．60° C．80° D．100°
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=1；
④当y=﹣2时，x的值只能取1；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜1．
其中，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方图．根据图中信息，下列说法：
①这栋居民楼共有居民140人
②每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多
③有的人每周使用手机支付的次数在35～42次
④每周使用手机支付不超过21次的有15人
其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．④
8．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
9．中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（ ）
A．0.96×107 B．9.6×106 C．96×105 D．9.6×102
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB=1：1．
其中正确的有（　　）

A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图所示，P为∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα+cosα=_____．

12．已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为________．
13．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC
其中正确的是_____（填序号）

14．函数y＝的自变量x的取值范围是_____．
15．若2a﹣b=5，a﹣2b=4，则a﹣b的值为________.
16．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
17．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．

19．（5分）如图所示，内接于圆O，于D；
（1）如图1，当AB为直径，求证：；
（2）如图2，当AB为非直径的弦，连接OB，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；
（3）如图3，在（2）的条件下，作于E，交CD于点F，连接ED，且，若，，求CF的长度．

20．（8分）如图，点A、B在⊙O上，点O是⊙O的圆心，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠A的余角.
（1）图①中，点C在⊙O上；
（2）图②中，点C在⊙O内；

21．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：
（1）△BCE∽△ADE；
（2）AB•BC=BD•BE．

22．（10分）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)

23．（12分）某水果店购进甲乙两种水果，销售过程中发现甲种水果比乙种水果销售量大，店主决定将乙种水果降价1元促销，降价后30元可购买乙种水果的斤数是原来购买乙种水果斤数的1.5倍．
（1）求降价后乙种水果的售价是多少元/斤？
（2）根据销售情况，水果店用不多于900元的资金再次购进两种水果共500斤，甲种水果进价为2元/斤，乙种水果进价为1.5元/斤，问至少购进乙种水果多少斤？
24．（14分）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．

请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是　 　人，并将以上两幅统计图补充完整；
（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有　 　人达标；
（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.
详解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选C．
点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题
2、B
【解析】
试题解析：把点代入一次函数得，

．
∵点在第一象限上，
∴，可得，
因此，即，
故选B．
3、A
【解析】
试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1
考点：线段垂直平分线的性质
4、C
【解析】
∵ ，
∴.
即的值在6和7之间.
故选C.
5、D
【解析】
根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．
故选D．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6、A
【解析】
根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立．
【详解】
由函数图象可得，
a＞1，b＜1，即a、b异号，故①错误，
x=-1和x=5时，函数值相等，故②错误，
∵-＝2，得4a+b=1，故③正确，
由图象可得，当y=-2时，x=1或x=4，故④错误，
由图象可得，当-1＜x＜5时，y＜1，故⑤正确，
故选A．
【点睛】
考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
7、B
【解析】
根据直方图表示的意义求得统计的总人数,以及每组的人数即可判断.本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解.
【详解】
解：①这栋居民楼共有居民3＋10＋15＋22＋30＋25＋20＝125人，此结论错误；
②每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多，此结论正确；
③每周使用手机支付的次数在35～42次所占比例为，此结论正确；
④每周使用手机支付不超过21次的有3＋10＋15＝28人，此结论错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查直方图的意义，解题的关键在于理解直方图表示的意义求得统计的数据
8、D
【解析】
试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
考点：轴对称图形．
9、B
【解析】
试题分析：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，故选B．
考点：科学记数法—表示较大的数．
10、D
【解析】
①根据作图过程可判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可推知∠CAD＝10°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用10°角所对的直角边是斜边的一半，三角形的面积计算公式来求两个三角形面积之比.
【详解】
①根据作图过程可知AD是∠BAC的角平分线，①正确；②如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝10°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝10°，∴∠1＝90°－∠2＝60°，即∠ADC＝60°，②正确；③∵∠1＝∠B＝10°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，③正确；④如图，∵在直角△ACD中，∠2＝10°，∴CD＝AD，∴BC＝CD＋BD＝AD＋AD＝AD，S△DAC＝AC∙CD＝AC∙AD.∴S△ABC＝AC∙BC＝AC∙AD＝AC∙AD，∴S△DAC：S△ABC＝AC∙AD：AC∙AD＝1:1，④正确.故选D.

【点睛】
本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
【解析】
根据正弦和余弦的概念求解．
【详解】
解：∵P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（3，4），

∴PB=4，OB=3，OP= =5,
故sinα= = , cosα= ,
∴sinα+cosα=,
故答案为
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是找出所求角的对应边．
12、4或
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为3的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、3的边都是直角边时：第三边的长为：；
∴第三边的长为：或4．
考点：3．勾股定理；4．分类思想的应用．
13、①②④
【解析】
由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH•PC，故④正确；
故答案是：①②④．
【点睛】
本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
14、x≠﹣1
【解析】
根据分母不等于2列式计算即可得解．
【详解】
解：根据题意得x+1≠2，
解得x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【点睛】
考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．
15、1．
【解析】
试题分析：把这两个方程相加可得1a-1b=9，两边同时除以1可得a-b=1．
考点：整体思想．
16、k≥-1
【解析】
首先讨论当时，方程是一元一次方程，有实数根，当时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．
【详解】
当时，方程是一元一次方程：，方程有实数根；
当时，方程是一元二次方程，
解得：且.
综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是.
故答案为
【点睛】
考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略
这种情况.
17、100 mm1
【解析】
首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可．
【详解】
根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽1mm，
下面的长方体长8mm，宽6mm，高1mm，
∴立体图形的表面积是：4×4×1+4×1×1+4×1+6×1×1+8×1×1+6×8×1-4×1=100（mm1）．
故答案为100 mm1．
【点睛】
此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；
（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最大，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，
有两种情况：

①如图1，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，
，
则；

②如图2，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE:CD=2a:a=2；

即CE:CD=或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，
此时CP的长度最大，
∵在Rt△QDC中，
∴，
即线段CP的最大值是.
点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.
19、（1）见解析；（2）成立；（3）
【解析】
（1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A，求出∠OBC=90°-∠A和∠ACD=90°-∠A即可；
（3）分别延长AE、CD交⊙O于H、K，连接HK、CH、AK，在AD上取DG=BD，延长CG交AK于M，延长KO交⊙O于N，连接CN、AN，求出关于a的方程，再求出a即可．
【详解】
（1）证明：∵AB为直径，
∴，
∵于D，
∴，
∴，，
∴；
（2）成立，
证明：连接OC，

由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）分别延长AE、CD交⊙O于H、K，连接HK、CH、AK，

∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵根据圆周角定理得：，
∴，
∴由三角形内角和定理得：，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
在AD上取，延长CG交AK于M，则，
，
∴，
∴，
延长KO交⊙O于N，连接CN、AN，
则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形CGAN是平行四边形，
∴，
作于T，
则T为CK的中点，
∵O为KN的中点，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
作直径HS，连接KS，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
20、图形见解析
【解析】试题分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为直角画图即可；（2）延长AC交⊙O于点E ，利用（1）的方法画图即可.
试题解析：
如图①∠DBC就是所求的角；
如图②∠FBE就是所求的角

21、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．
（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC2=DE•DB，
∴=，∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，
∴∠DAE=∠EBC，
∵∠AED=∠BEC，
∴△BCE∽△ADE，
（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC
∴AD2=DE•DB，
同法可得△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，
∵△BCE∽△ADE，
∴∠ADE=∠BCE，
∴△BCE∽△BDA，
∴=，
∴AB•BC=BD•BE．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
22、37
【解析】
试题分析：过点作交于点．构造直角三角形，在中，计算出,在中, 计算出.
试题解析：如图所示：过点作交于点．

在中，



又∵在中，


答：的长度为
23、（1）降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）至少购进乙种水果200斤．
【解析】
（1）设降价后乙种水果的售价是x元， 30元可购买乙种水果的斤数是，原来购买乙种水果斤数是，根据题意即可列出等式；（2）设至少购进乙种水果y斤，甲种水果（500﹣y）斤，有甲乙的单价，总斤数≤900即可列出不等式，求解即可.
【详解】
解：（1）设降价后乙种水果的售价是x元，根据题意可得：
，
解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解，
答：降价后乙种水果的售价是2元/斤；
（2）设至少购进乙种水果y斤，根据题意可得：
2（500﹣y）+1.5y≤900，
解得：y≥200，
答：至少购进乙种水果200斤．
【点睛】
本题考查了分式的应用和一元一次不等式的应用，根据题意列出式子是解题的关键
24、（1）120，补图见解析；（2）96；（3）960人.
【解析】
（1）由“不合格”的人数除以占的百分比求出总人数，确定出“优秀”的人数，以及一般的百分比，补全统计图即可；
（2）求出“一般”与“优秀”占的百分比，乘以总人数即可得到结果；
（3）求出达标占的百分比，乘以1200即可得到结果．
【详解】
（1）根据题意得：24÷20%=120（人），
则“优秀”人数为120﹣（24+36）=60（人），“一般”占的百分比为×100%=30%，
补全统计图，如图所示：

（2）根据题意得：36+60=96（人），
则达标的人数为96人；
（3）根据题意得：×1200=960（人），
则全校达标的学生有960人．
故答案为（1）120；（2）96人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．