2021-2022学年江西省上饶市玉山县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省上饶市玉山县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

4. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形

5. 如图，是内一点，，，，四边形的周长为，、、、分别是、、、的中点，的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，中，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 计算：______．
8. 已知二次根式有意义，请你写出一个符合条件的正整数的值______．
9. 在中，，，则______．
10. 如图，两条宽为的纸条交叉成角重叠在一起，则重叠四边形的面积为______．

11. 如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是______．

12. 如图，点是正方形的对角线延长线上的一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中：
    ；；；
    正确的是          填写所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 计算：
    ．
    ．
14. 在中，两条直角边，的长，满足．
    求的长．
    求的面积．
15. 如图，是由两个全等的矩形拼在一起的图形，请仅用无刻度直尺，直接在图中用连线的方式按要求画出图形，并用字母表示所画图形．
    
    在图中画出一个平行四边形要求不与原矩形重合；
    在图中画出一个菱形．
16. 已知，，求的值．
17. 如图，在平行四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，求证：．

18. 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，．
    像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
    解决问题：
    的有理化因式是______；将分母有理化得______；
    已知：的值．
19. 中，为的中点，为的平分线，于．
    求证：；
    若，，，求的长．

20. 如图，在中，于点，于点，点，分别是，的中点．
    求证：；
    若，，求的长．

21. 已知：矩形中，是对角线的交点，过任作一直线分别交、于点、如图．
    求证：；
    如图，四边形是由四边形沿翻折得到的，连接，求证：四边形是菱形；
    在的条件下，若的面积与的面积比为：，求的值．

22. 如图，在矩形中，厘米，厘米，点从开始沿边以厘米秒的速度运动，点从开始沿边厘米秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
    当秒时，求、两点之间的距离；
    为何值时，线段与互相平分？
    为何值时，四边形的面积为矩形面积的？

23. 如图，四边形、均为正方形，
    如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明；
    将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，当角发生变化时，的度数是否发生变化？若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由；
    在的条件下，过点作交的延长线于点，请直接写出线段与的数量关系：______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为：．；
C.；
D.；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
B、选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
在判断最简二次根式的过程中要注意：
在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数等于或大于，也不是最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，正确；
B、，正确；
C、，正确；
D、，故错误．故选D．
根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B中的三条线段不能构成三角形，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能够构成直角三角形，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确勾股定理的逆定理的内容，由勾股定理的逆定理可以判断三角形的形状．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】
解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确；
B、四边形是平行四边形，设和交于点，，，，，
，四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是选项；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的周长为，
，
，
故选：．
首先利用勾股定理求得的长，然后判定四边形是平行四边形，根据周长为求得，然后利用三角形中位线定理求得答案即可．
考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，解题的关键是利用勾股定理求得的长并利用中位线定理求得的长，难度中等．
 

6.【答案】 

【解析】解：过作的垂线交于，
可证明≌，≌，
所以．
由≌可进一步证得：≌，
，
又可证得≌，
．
易证≌，
，





．
故选：．
过作的垂线交于，通过证明的面积，依此即可求解．
本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
的值可取，
故答案为：答案不唯一．
根据二次根式的有意义的条件解答即可．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
，
故答案为．
直接根据勾股定理求解即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，过点作于，

由题意可得，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
重叠四边形的面积，
故答案为：．
由题意可得，，，可证四边形是平行四边形，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，求出的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，过作交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
边上的高和的边上的高相同，
的面积和的面积相等，
同理的面积和的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是，
的面积是，
，
，
阴影部分的面积是，
故答案为：．
连接，过作交的延长线于，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
连接，利用四点共圆证明是等腰直角三角形，可得结论；
如图，作辅助线，证明四边形是平行四边形，可得结论；
证明四边形是矩形，可作判断；
证明≌，则，可作判断．
【解答】
解：连接，，

、、、四点共圆，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故正确；
如图，在取一点，使得，连接、、，
四边形是正方形，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，

，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
；
故正确；
连接交于，如图，由知：，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故正确；

在和中，
，
≌，
，
，
故不正确；
结论正确的有：，
故答案为．  

13.【答案】解：原式

；

原式

． 

【解析】直接化简二次根式，再合并得出答案；
直接利用平方差公式以及完全平方公式分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】解：，
，
，，
；
的面积． 

【解析】先根据绝对值和平方的非负性求出和，再根据勾股定理即可求出答案；
直接利用三角形的面积公式求解．
本题考查了非负数的性质和勾股定理，属于基础题，解题的关键是求出和的值．
 

15.【答案】解：如图，四边形为所求平行四边形；
如图，四边形为所求菱形．
 

【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握矩形与菱形的性质是解题关键．
利用平行四边形的性质结合矩形的性质得出即可；
利用菱形的性质结合矩形的性质得出符合题意的答案．
 

16.【答案】解：，，
，，





． 

【解析】由题意可得与都为负数，再利用二次根式的化简对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质证明≌，得出对应角相等，即可证出．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：由题意可得，
的有理化因式是，
，
故答案为：，；
，，




．
根据题意，可以写出的有理化因式，并对分母有理化；
根据、的值，可以求得所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

19.【答案】证明：延长交于，
，
，
为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，，
为的中点，
；

在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
． 

【解析】延长交于，证≌，推出，，根据三角形的中位线性质得出即可；
根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，勾股定理的应用，解此题的关键是推出≌，题目比较好，难度适中．
 

20.【答案】解：连接、，
，，
，
在中和中，是的中点，
，，
，
是的中点，
；
在中，是的中点，
，
，
同理，
，
，
，
是的中点，，
． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到，，由三角形外角定理及得到，即，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
 

21.【答案】证法一：连接，则过点，
，
，
又，，
≌，
；

证法二：矩形是中心对称图形，点是对称中心，
、和、关于点中心对称，
；

证法一：
矩形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
由翻折得，，
四边形是菱形；

证法二：由翻折得，，，，
又，
≌，
．
，
，
，
，
，
四边形是菱形．

解法一：，，
又：：，
：：，
设，则，
过作于点，
则，，
，
，
；

解法二：，，
又：：，
：：，
连接，则过点，且，
设，则，，
，
，
，
． 

【解析】连接，可证明≌，则；
先证明四边形是平行四边形，再由翻折得，，则四边形是菱形；
又：：，可得：：，设，则，过作于点，则可求出和，从而求出比值．
图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．
 

22.【答案】解：如图所示：连接，过点作于点，
厘米，厘米，点从开始沿边以厘米秒的速度运动，点从开始沿边厘米秒的速度移动，
当秒时，，，
，则，
，

，，
当线段与互相平分，则四边形为矩形时，
则，即，
解得：．
故为秒时，线段与互相平分；

在上，
，
，
，
，
，
解得：．
为秒时，四边形的面积为矩形面积的． 

【解析】当秒时，表示出，的长，利用勾股定理求出的长即可；
根据线段与互相平分，则四边形为矩形，也就是，分别用含的代数式表示，解出即可；
用表示出四边形的面积，再求出矩形面积的进而得出即可．
本题考查了矩形的性质及勾股定理等知识，根据运动速度得出以及的长是解题关键．
 

23.【答案】，，理由为：
正方形，正方形，
，，，，
在和中，
，
≌，
，，
延长交于点，
，
，
，；
的度数不发生变化，的度数为理由为：
过作，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
为的平分线，
，
；

． 

【解析】

解：见答案；
见答案；
，理由为：在上截取，连接，
为等腰直角三角形，即，
，，
为等腰直角三角形，即，
，即，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
则，
故答案为：．
【分析】，，理由为：由正方形与正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用得出三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到，，再利用同角的余角相等即可得证；
的度数为，理由为：过作，，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而，可得出，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到为角平分线，再由，及一对对顶角相等，得到为直角，即为直角，利用角平分线定义即可得证；
，在上截取，可得出三角形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，接下来证明，即要证明三角形与三角形全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形为等腰直角三角形得到，利用等式的性质得到，利用可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．