【2023届必备】2023版高考一轮复习训练35　随机变量及其概率分布

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练35　随机变量及其概率分布，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练35　随机变量及其概率分布一、单选题1．设ξ的概率分布为ξ1234P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.2．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么(　　)A．n＝3   B．n＝4C．n＝10   D．n＝9答案　C解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.3．(2022·遂宁等八市联考)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　)A.  B．1  C.  D．2答案　B解析　记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝4)＝＝，则E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.4．(2022·济源质检) 如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　当小球经过第2层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为，所以P2(1)＝P2(2)＝.当小球经过第4层时，共碰到3次钉子，要使得小球经过第2号通道，必须满足1次向右、2次向左滚下，所以P4(2)＝C·3＝，同理可得P4(3)＝.要使得小球经过3号位置(即第5层3号通道)，可由第4层2号通道向右滚下，也可以由第4层3号通道向左滚下，因此，P5(3)＝P4(2)＋P4(3)＝.二、多选题5．(2022·泉州模拟)某地卫健委为监测当地居民的某健康指标，随机抽取100人，检测该健康指标的指标值T(T∈[－4,4])，并按[－4，－2)，[－2,0)，[0,2)，[2,4]四个区间分组制作图表如下所示，根据下列相关信息，则(　　) 指标区间[－4，－2)[－2，0)[0，2)[2，4]男、女人数比(男性∶女性)3∶22∶15∶31∶1城、乡人数比(城市户口∶乡村户口)1∶14∶13∶11∶1 A.该地居民的健康指标值T的众数的估计值为1B．该地居民的健康指标值T的中位数的估计值为0C．样本数据中，T∈[－4，－2)的男性中至少有1人是城市户口D．若从该地居民中随机任选3人，恰有1人的T∈[0,4]的概率为答案　ACD解析　对于A，因为T∈[0,2)的频率为0.4，所以众数的估计值为＝1，故A正确；对于B，当T＝0.5时，矩形左右两边面积相等，中位数的估计值为0.5，故B错误；对于C，因为T∈[－4，－2)时，男、女人数比为3∶2，所以在指标区间[－4，－2)中有6男、4女，再根据城、乡人数比(城市户口∶乡村户口)为1∶1，所以城市户口中至少有一个是男性，故C正确；对于D，T∈[0,4]的概率估计值为0.6，从该地居民中随机任选3人，恰有1人的健康指标值T∈[0,4]的概率为C12＝，故D正确．6．(2022·唐山模拟)下列说法正确的是(　　)A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝D．若随机变量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6答案　AC解析　选项A,5次都没投中的概率为5＝.所以游戏者闯关成功的概率为1－＝，故A正确．选项B，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的情况有：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种．共有CC＋CC＋CC＋C＝1 155(种)情况．而CC＝1 820，所以其中至少有一名女生的概率为≠，故B不正确．选项C，由P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则a＝1，解得a＝，所以P(X＝2)＝×＝，故C正确．选项D，由随机变量η～N(2，σ2)，则P(η<2)＝0.5，E(η)＝2，所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，故D不正确．三、填空题7．(2022·苏州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且＝，则P(3<ξ<5)＝____.答案　0.4解析　因为ξ～N(3，σ2)，所以该正态密度曲线关于直线x＝3对称，则P(ξ<1)＝1－P(ξ<5)，又＝得P(ξ<1)＝0.1，P(ξ<5)＝0.9，所以P(3<ξ<5)＝[P(ξ<5)－P(ξ<1)]＝0.4.8．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：(1)某人化验结果为阳性的概率为________；(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．答案　1.47%　解析　根据题意，设事件A为“呈阳性反应”，事件B为“患有此种病”．(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.(2)P(B|A)＝＝＝.四、解答题9．某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N(76,49)，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率直方图．(1)估算该校50名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)求这50名学生成绩在[80,100]的人数；(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名(从高到低)在全市前230名的人数记为X，求X的概率分布和均值．参考数据：X～N(μ，σ)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997.解　(1)＝45×0.008×10＋55×0.02×10＋65×0.032×10＋75×0.02×10＋85×0.012×10＋95×0.008×10＝68.2.(2)成绩在[80,100]的人数为×10×50＝10.(3)∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，∴P(X≥90)＝0.023,0.023×10 000＝230，∴全市前230名的成绩需在90分以上，而50人中90分以上的人数为0.008×10×50＝4.X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.则X的概率分布如表所示．X012P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.10．电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务．我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取了50个邮箱名称，得到如下2×2列联表，其中中国人的邮箱占. 中国人外国人合计邮箱名称里有数字15  邮箱名称里无数字 25 合计    (1)将2×2列联表补充完整，判断是否有99.9%的把握认为“邮箱名称里含有数字”与“国籍”有关？(2)用样本估计总体，将频率视为概率．在所有中国人邮箱名称里随机抽取3个邮箱名称，记3个中国人邮箱名称里含有数字的个数为X，求X的概率分布和均值．参考公式和数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥x0)0.100.050.0250.0100.0050.001x02.7063.8415.0246.6357.87910.828 解　(1) 中国人外国人合计有数字15520无数字52530合计203050 提出假设H0：邮箱名称里含有数字与国籍无关．由列联表数据，经计算可得χ2＝≈17.014>10.828，所以有99.9%的把握认为“邮箱名称里含数字”与“国籍”有关．(2)由(1)知中国人邮箱名称里含数字的概率为＝，则X～B，X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C2＝，P(X＝2)＝C2＝，P(X＝3)＝3＝，X的概率分布如表所示．X0123P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.