2021-2022学年安徽省合肥市经开区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市经开区八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列各式中与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 以下列长度单位：为三边，能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

4. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在▱中，平分，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒元下调至元，若设每次平均降价的百分率为，由题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 为了解体育锻炼情况，班主任从八班名同学中随机抽取位同学开展“分钟跳绳”测试，得分如下满分分：，，，，，，，，则以下判断正确的是(    )

A. 这组数据的众数是，说明全班同学的平均成绩达到分
B. 这组数据的中位数是，说明分以上的人数占大多数
C. 这组数据的平均数是，可以估计全班同学的平均成绩是分
D. 以上均不正确

8. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在矩形中，连接，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，交于点若，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形中，，点在边上，若，将沿对折至，延长交边于点，连结、则为(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共18分）

11. 要使代数式有意义，则实数的取值范围是______．
12. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，为中点，连接，则的长是______．

13. 甲，乙两人进行掷飞镖比赛，每人各掷次，所得环数的平均数相同．甲所得环数为：，，，，，乙所得环数的方差为，那么成绩较为稳定的是______填“甲”或“乙”
14. 如图，某小区有一块长为的矩形空地，阴影部分准备种植面积为的草地，旁边留出两块全等的矩形小路，那么小路的宽为______．

15. 某校数学社团设计了一个如图所示的数值转换程序．
    当输入时，输出的值为______；
    当输出时，输入的值为______．

三．解答题（本题共8小题，共52分）

16. 计算：．
17. 解方程：．
18. 某船从港口出发沿南偏东方向航行海里到达岛，然后沿某方向航行海里到达岛，最后沿某个方向航行了海里回到港口，判断此时的形状，该船从岛出发到是沿哪个方向航行的，请说明理由．

19. 如图是由边长为的小正方形构成的的网格，点，均在格点上，
    在图中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上；
    在图中画出以为对角线且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上．

20. 如图，在四边形中，，，的平分线交对角线于点，交于点．
    求证：四边形是菱形；
    若，，，四边形的面积．

21. 某校为进一步提高教职工的身体素质，提倡“每天一万步”活动，校工会随机抽取名教职工一天行走的步数，对这个数据按组距进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：

请根据以上信息解答下列问题：
填空：______，______，______，并补全频数分布直方图；
这名教职工一天行走步数的中位数落在______组；
若该校教职工共有人，请估计其中一天行走步数不少于步的人数．

22. 某水果店标价为元的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是，请回答下列问题：
    该水果经过两次降价后的价格是______元；
    从第二次降价的第天算起，第天为整数的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为元，设销售该水果第天的利润为元，求的值．

23. 如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，．
    如图，当时，求的长；
    如图，当点是的中点时，求线段的长；
    如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．；不符合题意．
      ．；符合题意．
      ．；不符合题意．
      ．；不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义求解．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项：，所以选项错误．
选项：，所以选项错误．
选项：，所以选项错误．
选项：，所以选项正确．
故选：．
每个选项分别计算验证即可．
本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，，不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
，，能作为直角三角形三边长，
故B符合题意；
C、，，
，
，，不能作为直角三角形三边长，
故C不符合题意；
D、，，
，
，，不能作为直角三角形三边长，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
，
故选：．
由一元二次方程有两个相等的实数根可得，即可求解．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与的关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，，
，，
平分，
，
，
，
故选：．
首先由在▱中，，，求得的长，然后由平分，可证．
本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设平均每次下调的百分率为，
第一次下调到，
第二次下调到，
．
故选：．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，参照本题，如果设平均每次下调的百分率为，根据“由原来每盒元下调到每盒元”，即可得出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据的众数是，而全班同学的平均成绩达到，故本选项不合题意；
B.这组数据的中位数是，说明分以上的人数占一半，故本选项不合题意；
C.这组数据的平均数是，可以估计全班同学的平均成绩是分，说法正确，故本选项符合题意；
D.选项C正确，故本选项不合题意；
故选：．
根据众数、平均数、方差以及中位数的定义，求得它们的值，进而得出结论．
本题主要考查了众数、平均数、方差以及中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
则，
故选：．
根据根与系数的关系得，，利用代数式变形分别得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，如图，
由作法得平分，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
在和中，
，
≌，
，
，
设，则，
在中，，
解得，
的面积．
故选：．
过点作，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着证明≌得，所以，设，则，在中利用勾股定理得到，解得，然后利用三角形面积公式计算的面积．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，
，，
沿对折至，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
．
故选：．
先求出、的长，再根据翻折的性质可得，，，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再设，然后表示出、，在中，利用勾股定理列出方程求出，从而可以求解．
本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的数量关系利用勾股定理列式求出的长度是解题的关键，也是本题的难点．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，

故答案是：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：菱形的周长为，
，且为的中点，
为的中点，
为的中位线，
，
故答案为：．
由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得的长．
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：甲组数据的平均数，
甲组数据的方差，
，
成绩较为稳定的是甲．
故答案为：甲．
计算出甲的平均数和方差后，与乙的方差比较，可以得出判断．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题可得，阴影部分的长为，宽为，
阴影部分的面积为，
，
解得，不合题意，舍去，
小路的宽为，
故答案为：．
依据阴影部分的面积为，列一元二次方程求解，即可得到小路的宽的值．
本题主要考查了矩形的性质以及一元二次方程的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的一元二次方程．
 

15.【答案】  或 

【解析】解：，
，
故答案为：；
，
或，
解得或，
输入的的值为或，
故答案为：或．
正确理解数值转换程序，便可根据的值求出，反过来若知道的值，可通过建立方程求出相应的的值．
本题考查了代数式求值，正确理解数值转换程序是解决此类题型的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简二次根式，再根据二次根式混合计算法则即可直接求解．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的化简以及性质的运用．
 

17.【答案】解：原方程通过因式分解可以变形为，
，，
，． 

【解析】利用因式分解法解方程即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，通过观察方程形式对方程分解因式是解题的关键．
 

18.【答案】解：该船从岛出发到是沿西偏南方向航行的．
理由：由题意得：海里，海里，海里，
，
为直角三角形，且，
由题意得，，

，
，
故该船从岛出发到是沿西偏南方向航行的． 

【解析】利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，再利用直角三角形的性质可求解，进而可求解．
本题主要考查勾股定理的应用，方向角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，正方形即为所求；
如图中，平行四边形即为所求．
 

【解析】根据正方形的定义画出图形即可；
画一个邻边分别为，的平行四边形即可．
本题考查作图应用与设计作图，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：由可知，，四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】证，则，再证，得四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
证四边形是平行四边形，得即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】       

【解析】解：样本容量为，
，
则，
，
补全图形如下：

故答案为：、、；
这名教职工一天行走步数的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据均落在组，
所以这名教职工一天行走步数的中位数落在组，
故答案为：．
估计其中一天行走步数不少于步的有人．
由组频数及频率得出样本容量，再用样本容量乘以组频率得出其频数，根据频数之和等于总人数得出的值，继而可得的值；
根据中位数的定义可得答案；
总人数乘以样本中、、组频率之和即可得出答案．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
元千克
故答案为：．
依题意得：，
整理得：．
解得：，．
又，
．
答：的值为．
根据“水果店标价为元的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是”得两次降价后的价格为元千克．
利用当天销售该水果获得的利润每斤的利润当天的销售量储藏和损耗费用，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出的值为．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
，
，

由折叠知，，
在中，，，

如图，连接，
是的中点，
，
沿折叠后得到，
，
，
在矩形中，
，
，
在和中，，
≌，
；
设，则，，
在中，，
解得．
如图，
由折叠知，，，
，
当最小时，的周长最小，
而当时，最小，
即：，
，
，
点，，在同一条直线上时，最小，
由折叠知，，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】先确定出，再利用含的直角三角形的性质即可得出结论；
连接，根据点是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
先判断出时，的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解的关键是求出，解和的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题．