2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一次函数与轴的交点为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 体育课上，某班两名同学分别进行了次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数

5. 小云同学统计了五一期间班上名同学在家进行家务劳动的次数，整理成了如下统计图．根据图中信息，可以推断班上同学家务劳动次数的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一次函数的图象上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法中正确的个数为(    )
   对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
   对角线相等且垂直的四边形是正方形；
   对角线相等的菱形是正方形；
   经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块，再在其上方放置不同质量的铁块已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系．据此可以判断下表中记录错误的数据是(    )

A. 第一次的数据 B. 第二次的数据 C. 第三次的数据 D. 第四次的数据

9. 如图，已知为等边三角形，菱形的边在线段上，且若，，连接并取中点，则线段的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，，点，均在线段上且满足线段上有一动点，分别以，为边向上作正方形，正方形，点，分别为，的中点，连接，取的中点那么当点从运动到时，点移动的路径长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 化简的结果为______．
12. 本学期小伟同学报名参加了学校书法社团用活动班，他的次考评成绩分别为，，，，，，，那么小伟同学考评成绩的众数为______．
13. 如图，已知直线与直线相交于点，那么关于的不等式的解集为______．

14. 如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于若此时，则______．

15. 如图为某公司统计的停车场当日上班时间：至：内的停车数量图中时间对应上班时间：，已知场内最多可停放辆汽车，则该停车场当日停满车辆的持续时间为______小时．

16. 如图，中，，，垂足为，在下列说法中：
    以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形；
    以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形；
    以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形；
    以，，为长度的线段首尾相连不能组成直角三角形；其中正确的说法有______填写正确说法的序号．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：；
    ．
18. 如图，四边形为矩形，，在线段上，且，证四边形是平行四边形．

19. 体育课上，老师对八班名同学测试了分钟单摇跳绳的个数，体育委员将统计结果绘制成了如下的频数分布表与频数分布直方图：
    频数分布表

试回答下列问题：
表中______，______；
补全频数分布直方图；
若分钟跳绳数最低于则视为不合格，由此估计，八年级全体名学生中，不合格的同学有多少人？

20. 已知一次函数的图象过点和且交轴于点，交轴于点．
    求这个函数的解析式，并在图中直接画出图象；
    已知点在线段上，点，求的面积用含的式子表示．

21. 在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
    的形状为______；
    画出边上的高；
    画出点关于的对称点；
    已知点，点在线段上，若，则点的坐标为______．

22. 为落实“精准联防联控，构筑群防群治严密防线“政策，某区现对，，，四个防疫物资存储站进行检查，发现，两个存储站的防疫物资仍有吨和吨的缺口，经防疫部门统筹调控，决定从，两个存储站进行调运．现已知站有防疫物资吨，站有防疫物资吨．
    假设共有吨物资将从站运往站；
    请你完成表格中其余吨数的填写；

已知从站调往站的运费为元吨，从站调往站的运费为元吨，从站调往站的运费为元吨，从站调往站的运费为元吨，试求出总运费元与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围；
在的条件下，通过优化运输方式，站到站的运费每吨减少了元，并经核算，总运费的最小值不低于元，试求的取值范围．

23. 如图，在正方形的边上有一点，边的延长线上有一点，且．
    判断的形状并证明：
    连接，作的平分线交于求证：；
    如图，在的条件下，作于求证：．
     

24. 在平面直角坐标系中，直线无论取何值时，都经过定点．
    点坐标为______；
    如图，直线与轴交于点，且，点位于直线上，若坐标系内有一点，与点，，可以组成菱形，试求点的坐标；
    如图，直线与轴交于点，且，点位于轴上点右侧，若，求点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得．
故选A．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，
一次函数与轴的交点为，
故选：．
将代入函数解析式求解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了次短跑训练成绩的方差．
故选：．
根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了次短跑训练成绩的方差．
此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义，属于基础题，比较简单．
 

5.【答案】 

【解析】解：将这名同学在家进行家务劳动的次数从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，
因此中位数是，
故选：．
根据中位数的意义求解即可．
本题考查中位数，理解中位数的意义，掌握中位数的计算方法是解决问题的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数，，
随的增大而增大，
，
．
故选：．
根据一次函数的增减性，，随的增大而增大解答．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故符合题意；
对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故不符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，故符合题意；
经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积，故符合题意；
故选：．
由平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定定理进行判断即可．
本题考查了正方形、平行四边形、菱形以及矩形的判定定理．注意菱形与正方形的区别与联系、矩形与正方形的区别与联系．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，
由表格中数据可得，当时，，当时，，
假设第次和第次数据都是正确的，
则，
解得，
，
当时，，
这与表格中的数据不符，
当时，
这与表格中的数据相符，
假设成立，
故第次数据是错误的．
故选：．
先假设第一次和第二数据都是正确的，求出函数解析式，把第三次和第四次数据代入解析式，判断是否与表格中的数据相符即可．
本题考查了一次函数的应用和待定系数法求函数解析，关键是对函数解析式中，的对应值的判定．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，

为等边三角形，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，，
，，，
，
，
，点是的中点，
，
故选：．
由等边三角形的性质和菱形的性质可求，，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，求出的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在点时，点在的位置，当点运动到点时，点在点的位置，如图所示：

点从点运动到点的路径为线段，
点从到的路径为线段，
连接，取其中点，连接，连接，
根据题意可知为的中位线，为的中位线，
，，
，，
，，
在正方形和正方形中，
，，
为的中点，为的中点，
，
，
同理可得，
，
，
点移动的路径长为，
故选：．
根据点的运动找出点的运动轨迹，为线段，根据题意可得为的中位线，为的中位线，根据正方形的性质和三角形的中位线定理求出和的长，进一步即可求出点的移动路径长．
本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，找出点的运动轨迹是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
把二次根式化为最简二次根式即可．
本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
 

12.【答案】分 

【解析】解：由题意知，小伟同学考评成绩出现最多的是分，
所以小伟同学考评成绩的众数为分，
故答案为：分．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线与直线相交于点，
根据图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
根据一次函数的图象即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，，
由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，根据折叠的性质求出，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是菱形的性质、翻转变换的性质，根据周角的概念和折叠的性质求出是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：停车场停满车的起始时间为：小时，
停车场停满车的结束时间为：小时，
小时，
即该停车场当日停满车辆的持续时间为小时．
故答案为：．
根据图象可得停车场停满车的起始时间和结束时间，进而得出该停车场当日停满车辆的持续时间车．
本题考查了函数的图象，正确求出停车场停满车的起始时间和结束时间是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
，，为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形；
不正确；
，，
又，
，
，
以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形，
正确．
，，


，
，
，
以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，
正确．
第个可以用特值法，当时，，此时，
所以，以，，为长度的线段首尾相连不能组成直角三角形，
正确．
故答案为：．
根据勾股定理和勾股定理逆定理以及三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得到答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，连结，交于点，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】连结，交于点，根据矩形的性质得到，，根据，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由题意可得，
故，
故答案为：；；
补全频数分布直方图如下：

人，
答：估计八年级分钟跳绳不合格的同学有人．
由频数分布直方图可得的值，用分布减去其它组的频数可得的值；
根据的值补全频数分布直方图即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．此外还利用了样本估计总体的思想．
 

20.【答案】解：一次函数的图象过点和，
，解得，
函数的解析式为：；

令，则，
令，则，
，
，，
设直线为，
把代入得，，
解得，
直线为，
作轴，交于，
点在线段上，
，，
，
． 

【解析】根据待定系数法即可求得；
由直线的解析式求得、的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，作轴，交于，则根据题意得到，，求得，根据即可求得．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，表示出点的坐标是解题的关键．
 

21.【答案】直角三角形   

【解析】解：如图，，，，
，
，
是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
如图，线段即为所求；
如图，点即为所求；

取格点，，连接，，，交于点，点即为所求．
，，
直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
由，解得，

故答案为：
利用勾股定理的逆定理判断即可；
取格点，连接交于点，线段即为所求；
取格点，，连接交点，点即为所求；
取格点，，连接，，，交于点，点即为所求．求出直线，的解析式，构建方程组确定交点的坐标．
本题考查作图轴对称变换，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】     

【解析】解：由题意可知，从站运往站吨，站运往站吨，站运往站吨；
故答案为：；；；
由题意得；
由题意得，
当时，即，
时，最小，此时，
解得，
当时，即，
时，取得最小值，此时，
解得，
的取值范围是．
根据“，两个存储站的防疫物资仍有吨和吨的缺口，经防疫部门统筹调控，决定从，两个存储站进行调运．现已知站有防疫物资吨，站有防疫物资吨”填表即可；
根据“从站调往站的运费为元吨，从站调往站的运费为元吨，从站调往站的运费为元吨，从站调往站的运费为元吨”即可得与的函数关系式；
根据“站到站的运费每吨减少了元，其余路线运费不变，总运费的最小值不低于元”得到、、之间的关系式，利用一次函数的性质分类讨论即可确定的取值范围．
本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系列出函数关系式．
 

23.【答案】解：为等腰直角三角形．
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形；
证明：由题意得，，
，
，
；
证明：过点作于点，则，

在等腰直角三角形中，，
四边形是正方形，，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
即． 

【解析】由正方形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
证出，由等腰三角形的判定可得出结论；
过点作于点，则，由等腰直角三角形的性质可得出，，，则可得出结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
 

24.【答案】 

【解析】解：直线，
时，，
定点的坐标为，
故答案为：；

，，
，，
在中，，
，
负值舍去，，
，
直线为，
分三种情况：
四边形为菱形时，如图：连接交于，

四边形为菱形，，
，，
当时，，
，
点的坐标为；
四边形为菱形时，如图：

四边形为菱形，，
，，
点位于直线：上，
直线为，
设，
，
，
点的坐标为或；
四边形为菱形时，如图：作轴于，

四边形为菱形，，
，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或；

过点作交的延长线于，

直线与轴交于点，且，
，
定点的坐标为，
，，
设，则，
，，
∽，
，
，
，，
，，
，
，
，
点的坐标为．
由直线，即可得定点的坐标；
由，可得，分三种情况：四边形为菱形；四边形为菱形；四边形为菱形；根据菱形的性质即可求解；
过点作交的延长线于，设，则，根据相似三角形的判定和性质求出、，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质和菱形的性质，一次函数的性质是解题的关键．