2021-2022学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列函数是正比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法不正确的是(    )

A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 一组邻边相等的菱形是正方形
C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形

3. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 在青少年人工智能创新挑战赛校级选拔赛中，名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前名进入区级决赛，如果小高同学知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小高需要知道这名同学比赛成绩的(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

5. 某景区门票经过两轮涨价，每人次价格从元上调到元，已知两次调价的百分率相同，设每次调价的百分率为，根据题意可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知点为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

8. 如图，菱形中，对角线与相交于点，为的中点，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 不能确定

10. 病毒无情人有情，疫情期间某志愿者服务车队坚持向封控区居民送生活物资，某天甲、乙两车同时从服务站出发，以各自的速度匀速向同一社区行驶．甲车先到达该社区，在社区停留为居民服务小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇，乙车的速度一直保持在千米小时．如图是两车之间的距离千米与乙车行驶时间小时之间的函数图象．以下结论错误的是(    )

A. 甲车从服务站到社区的速度为千米小时
B. 甲车返回时行驶速度为千米小时
C. 甲车服务结束后到两车相遇，这期间关于的函数解析式为
D. 甲车服务结束后，经过小时，两车相距千米

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的众数是______．
12. 写出一元二次方程的一般形式：______．
13. 在平行四边形中，已知，，对角线与相交于点，则的周长比的周长多______．
14. 设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，已知，，则______．
15. “双减”减负不减质，为学生的终身成长赋能，学校开展了职业生涯规划课程，深受学生喜爱．课程结束后组织了一场模拟招聘活动，招聘按照笔试成绩占、面试成绩占计算总成绩．小明笔试分，面试分，那么小明的总成绩为______分．
16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 解下列一元二次方程：
    ，
    ．
18. 如图，在四边形中，，，，，．
    求的长；
    证明：是直角三角形．

19. 为庆祝中国共产主义青年团成立周年，校团委在初一初二年级展开团史知识竞赛，并从初一、初二年级各随机抽取名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
    初二年级抽取的学生竞赛成绩：，，，，，，，，，．
    初一、初二年级抽取的学生竞赛成绩统计表：初一年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图：
     

根据以上信息，解答下列问题：
______；______；
该校初一年级有名学生，请估计初一学生中竞赛成绩达到分及以上的共有多少名？
根据以上数据分析，两个年级团史知识竞赛的学生成绩谁更优秀？请选取一个方面进行解释评价．

20. 已知直线图象经过，两点．
    求直线的解析式；
    若直线与直线交于点，求点的坐标．

21. 如图，矩形的对角线，相交于点，且，．
    求证：四边形是菱形；
    若，求的度数．

22. 学校计划为校园科技读书节获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲、乙两种奖品的单价分别为元、元，共需购买件，设甲种奖品购买件，购买两种奖品的总费用为元．
    求关于的函数解析式；
    若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的倍，如何购买费用最少？并求出最少费用．
23. 已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
    求的取值范围；
    若，求及的值；
    是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
24. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，．
    
    请写出下列各点坐标： ______， ______；
    如图，求四边形的面积；
    如图，点与点关于轴对称，点为直线上一动点，在直线：上是否存在一点，使以、、、四点为顶点构成的四边形是平行四边形为边？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“准筝形”如图，四边形中，，则四边形是“准筝形”．
    “三条边相等的准筝形是菱形”是______命题；填“真”或“假”
    如图，在准筝形中，，，，求的长；
    如图，在准筝形中，与交于点，点为线段的中点，且，，在线段上存在移动的线段，点在点的左侧，且，当四边形周长最小时，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：为正比例函数，为一次函数，为二次函数，为反比例函数．
故选：．
利用正比例函数的定义对各选项进行判断．
本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意；
B、一组邻边相等的菱形不一定是正方形，符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形；不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意．
故选：．
根据矩形、正方形的判定定理判断即可得出答案．
本题考查了正方形、矩形的判定方法，理解记住判定定理是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
以、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以、、为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：．
由于比赛取前名参加决赛，共有名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
本题考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据涨价后的价格涨价前的价格涨价的百分率，则第一次涨价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等量关系，根据价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：点为第四象限内的点，
，，
一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴交于负半轴，观察选项，选项符合题意．
故选：．
根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小，
甲的成绩比乙的成绩稳定，
有：．
故选：．
方差越小，表示这个样本的波动越小，即越稳定．根据方差的意义判断．
本题考查了方差的意义，方差反映的是数据的稳定情况，方差越小，表示这个样本的波动越小，即越稳定；反之，表示数据越不稳定．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
为的中点，
是的中位线，
，
．
故选C．
首先根据菱形的性质可得，，再根据三角形中位线定义和性质可得，进而得到答案．
此题主要考查了菱形的性质，以及三角形中位线性质，关键是掌握菱形的四边相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程，
，
方程没有实数根．
故选：．
求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设甲车从服务站到社区的速度为，乙车的速度为千米小时，
根据图象可得：，
解得：，
甲车从服务站到社区的行驶速度为千米时，故A正确，不符合题意；
设甲车返回时行驶速度千米时，
由图象可得：，
解得，
甲车返回时行驶速度为千米时，故B正确，不符合题意；
设甲车返回到与乙车相遇过程中与之间的函数关系式为，
则，
解得：，
甲车返回到与乙车相遇过程与之间的函数关系式为，故C正确，不符合题意，
在中，令得，
甲车服务结束后，经过小时，两车相距千米，故D错误，符合题意；
故选：．
设甲车从服务站到社区的速度为，乙车的速度为千米小时，可得：，即可判断A正确；设甲车返回时行驶速度千米时，可得，可判断B正确；设甲车返回到与乙车相遇过程中与之间的函数关系式为，用待定系数法可得，可判断C正确；在中，令得，可判断D错误．
本题考查了一次函数的应用；理解函数图象上特殊点的横纵坐标表示的意义是解决本题的突破点．
 

11.【答案】 

【解析】解：利用平均数的计算公式，得，
解得，
则这组数据的众数即出现最多的数为．
故答案为：．
根据平均数的定义可以先求出的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个．
 

12.【答案】 

【解析】解：去括号得，
移项合并得．
故答案为：．
先去括号得到，然后移项合并得到一元二次方程的一般式．
本题考查了一元二次方程的一般形式：叫一元二次方程的一般式，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
的周长比的周长多：



，
故答案为：．
根据平行四边形性质求出，求出与的周长之差为，代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．
 

14.【答案】 

【解析】解：直角三角形的两条直角边分别为和，斜边长为，，，
．
故答案为：．
利用勾股定理求出的长即可．
此题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：

分，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出小明的总成绩．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：两个条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的上方，故不等式的解集为．
故答案为：．
由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
 

17.【答案】解：，
将方程变形，得，
即或，
解得：，；
，
将方程变形，得，
则或，
解得，． 

【解析】等式左边可提取公因式，转化为求解；
根据十字相乘法可将方程变形为，由此可得同解方程或，据此求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，关键是会利用因式分解法求解一元二次方程．
 

18.【答案】解：连接，

，，，
，
的长为；
证明：在中，
，，
，
是直角三角形． 

【解析】连接，在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：按照从小到大的顺序排列为，，，，，，，，，，一共个数据，
则，．
故答案为：，；
，
初一年级分及以上约有人；
初二更优秀，
因为两个年级平均分相同，但初二的众数及中位数更高．
由高一年级抽取的学生竞赛成绩结合众数和中位数的定义即可求解；
利用样本估计总体思想求解可得；
由初二的中位数高于初一的中位数，可得初二团史知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据图象可知，点，，
将，代入，
得，
解得，
直线解析式为：；
联立，
解得，
点坐标． 

【解析】待定系数法求解析式即可；
联立两直线的函数解析式，即可求出交点的坐标．
本题考查了一次函数的解析式，一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形；
解：在矩形中，
，
矩形是正方形，
，
，
，
，
． 

【解析】根据，，可以得到四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，可以得到，然后即可得到四边形是菱形；
根据一组邻边相等的矩形是正方形可得是正方形，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定与性质．
 

22.【答案】解：由题意得：；
，
解得：，
由得：，
，
随的增大而增大，
当时，元，
乙：件，
答：甲种奖品购买件，乙种奖品购买件时，费用最少，最少为元． 

【解析】分别算出甲、乙两种奖品的费用相加即是总费用；
一次函数的系数，故根据函数的性质可知随的增大而增大．根据题可求最小值．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式关系式是解题的关键．
 

23.【答案】解：方程有实数根，
．
解得．

依题意：，且
则：，；

，
 

【解析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
利用根与系数的关系得，，则可先求出，再求出的值；
利用根与系数的关系得，，则利用求出的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

24.【答案】   

【解析】解：在直线中，令，则，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
将代入，得，
，
联立方程，
解得，
；
过点作轴，


；
存在点，使以、、、四点为顶点构成的四边形是平行四边形为边，理由如下：
由得，
设，
当四边形为平行四边形时，
则，
解得，
点的坐标为，
，
解得，
点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，
则，
解得，
点的坐标为，
，
解得，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
先求出点坐标，再由，求出点坐标即可；
过点作轴，由求解即可；
设，分两种情况讨论；当四边形为平行四边形时，，点的坐标为；当四边形是平行四边形时，，点的坐标为．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】真 

【解析】解：如图，若，

，，
，
同理有，
四边形是平行四边形，
且，
▱是菱形；
故答案为：真；
，
，，，，
，
，，，
，
；
点为线段中点，
，
又，
当时，四边形的周长最小，
以为原点建立平面直角坐标系，

中，，
，，
，
过点作轴，令，则四边形为平行四边形，且，
，
作点关于轴对称点，则，连，
当，，三点共线时，，
将，代入，
，
解得，
，
令，，
即，
．
利用等腰三角形三线合一可证，，从而四边形是平行四边形，又，从而证明出菱形；
运用勾股定理可得，代入即可计算；
以为原点建立平面直角坐标系，求出点的坐标，过点作轴，令，则四边形为平行四边形，得出，作点关于轴对称点，则，连，当，，三点共线时，，求出点坐标即可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了新定义“准筝形”，菱形的判定，勾股定理，轴对称的性质等知识，利用代数方法解决几何问题是本题的关键．