【2023届必备】2023版高考一轮复习训练21　等差数列与等比数列

训练21　等差数列与等比数列

一、单选题

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，a4＋a5＝16，则S10等于(　　)

A．60   B．80

C．90   D．100

答案　D

解析　设公差为d，

因为a2＝3，a4＋a5＝16，故

解得

故S10＝10×1＋×2＝100.

2．(2022·安庆模拟)数列{an}是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与2a4的等差中项，则{an}的公比等于(　　)

A．2  B.  C．3  D.

答案　B

解析　设{an}的首项为a1，公比为q，因为3a2是a3与2a4的等差中项，

所以有6a2＝a3＋2a4，q≠0，即6＝q＋2q2，从而解得q＝或q＝－2(舍去)．

3．(2022·遂宁模拟)在递增的数列{an}中，a＝an·an＋2，若a1＋am＝130，a2·am－1＝256，且前m项和Sm＝170，则m等于(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　B

解析　因为在递增的数列{an}中，a＝an·an＋2，所以数列{an}是单调递增的等比数列，

因为a2·am－1＝256，所以a1·am＝256，

所以

解得 或 (舍)，

所以Sm＝＝170，

即＝85，①

又因为a1·qm－1＝128，即qm－1＝64，②

①②联立，解得q＝4，m＝4.

4．(2022·驻马店模拟)1975年，考古工作者在湖南省云梦县睡虎地秦墓出土了大量记载秦法律令的竹简，其中包括徭律一条．徭律是秦代关于徭役的法律，其中规定：服徭戍迟到处以申斥和赀罚．失期三日到五日，谇；六日到旬，赀一盾；过旬，赀一甲．意思是：迟到2天以内算正常，不处罚；迟到3～5天，口头批评；迟到6～10日，罚一面盾牌；迟到10天以上，罚一副甲胄．若有一队服徭役的农民从甲地出发前往乙地，甲、乙两地相距900里，第一天行60里，以后每天都比前一天少行2里，要求18天内到达，则该队服徭役的农民最可能受到的惩罚是(　　)

A．无惩罚   B．谇

C．赀一盾   D．赀一甲

答案　C

解析　由题意知，每日行走的路程成等差数列，记为{an}，

因为首项为60，公差为－2，所以an＝－2n＋62.

设从甲地到乙地用k天，则×k＝900，

即k2－61k＋900＝0，解得k＝25或k＝36(舍)，

即从甲地出发前往乙地所用的时间为25天，

因为要求18天内到达，所以迟到了7天，

又因为迟到6～10日，罚一面盾牌，故应赀一盾．

二、多选题

5．(2022·苏州模拟)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是(　　)

A．若d<0，则数列{Sn}有最大项

B．若数列{Sn}有最大项，则d<0

C．若数列对任意的n∈N*，Sn＋1>Sn恒成立，则Sn>0

D．若对任意的n∈N*，均有Sn>0，则Sn＋1>Sn恒成立

答案　ABD

解析　由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n，

对于选项A，若d<0，则Sn有最大值，则数列{Sn}有最大项，故选项A正确；

对于选项B，当数列{Sn}有最大项，即Sn对应的二次函数有最大值时，可知d<0，故选项B正确；

对于选项C，令Sn＝n2－2n，对任意的n∈N*，则数列{Sn}递增，满足Sn＋1>Sn恒成立，但S1＝－1<0，故选项C错误；

对于选项D，若对任意的n∈N*，均有Sn>0，则a1>0，d>0，则{Sn}必为递增数列，故选项D正确．

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S11＝110，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是(　　)

A．a12＝a3＋a9＝20

B．d＝－2

C．Sn有最大值

D．当Sn>0时，n的最大值为21

答案　BC

解析　设an＝a1＋(n－1)d，则S11＝＝11a6＝11a1＋55d＝110，即a1＋5d＝10，又a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，即(a1＋6d)2＝(a1＋2d)(a1＋8d)，化简得a1d＝－10d2.因为d≠0，所以a1＝－10d.联立解得d＝－2，a1＝20.

所以a12＝a1＋11d＝－2≠20，故A错；

又d＝－2，故B对；

由等差数列的前n项和公式可得Sn＝na1＋＝－n2＋21n，所以当n＝10或n＝11时Sn有最大值，故C对；

又Sn＝－n2＋21n＝－n(n－21)，所以当Sn>0时，0<n<21，故n的最大值为20，故D错．

三、填空题

7．(2022·开封模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a4＋a6＝0，则＝________.

答案　

解析　因为{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d，所以a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝2a1＋8d＝0，

可得a1＝－4d，

＝＝＝＝＝.

8．(2022·株洲模拟)已知数列{an}为等比数列，若数列{10n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为________________．(填一个即可)

答案　an＝－10n(答案不唯一)

解析　取an＝－10n，则＝＝10，

＝＝10，

所以数列{10n－an}和{an}都是等比数列．

四、解答题

9．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)．

(1)若bn＝an－2，求证{bn}为等比数列；

(2)求{an}的通项公式．

(1)证明　∵an＝an－1＋1，n≥2，

∴an－2＝(an－1－2)，

∴bn＝bn－1，n≥2，又b1＝a1－2＝－1，

∴{bn}是首项为－1，公比为的等比数列．

(2)解　b1＝a1－2＝－1，

bn＝(－1)×n－1，

∴an＝bn＋2＝2－，n∈N*.

10．在①S1，S2，S4成等比数列，②S5＝50，③S6＝3(a6＋2)．这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．

问题：已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且满足__________．

(1)求an；

(2)若bn－bn－1＝2an(n≥2)，且b1－a1＝1，求数列的前n项和Tn.

注：如果选择多种方法分别解答，按第一个解答计分．

解　(1)条件①，因为S1，S2，S4成等比数列，则S＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，因为d≠0，可得d＝2a1.

条件②，S5＝5a1＋10d＝50，可得a1＋2d＝10.

条件③，S6＝3(a6＋2)，可得6a1＋15d＝3(a1＋5d＋2)，可得a1＝2.

若选①②，则有可得则an＝a1＋(n－1)d＝4n－2；

若选①③，则d＝2a1＝4，

则an＝a1＋(n－1)d＝4n－2；

若选②③，则a1＋2d＝2＋2d＝10，可得d＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－2.

(2)bn－bn－1＝2an＝8n－4(n≥2)，且b1－a1＝1，则b1＝3，

所以当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)

＝3＋12＋20＋…＋(8n－4)＝3＋＝4n2－1，

b1＝3也满足bn＝4n2－1，

故对任意的n∈N*，bn＝4n2－1，

则＝＝，

所以

Tn＝

＝＝.