【2023届必备】2023版高考一轮复习训练9　导数的概念与运算、导数与函数的单调性

训练9　导数的概念与运算、导数与函数的单调性

一、单选题

1．已知f′(x)为函数f(x)＝ax－bln x的导函数，且满足f′(1)＝0，f′(3)＝2，则f′(2)等于(　　)

A．1  B．－  C.  D.

答案　C

解析　由f′(x)＝a－，

得f′(1)＝a－b＝0，f′(3)＝a－＝2，

解得a＝b＝3，则f′(x)＝3－，所以f′(2)＝.

2．(2022·平顶山模拟)已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则m的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵f(x)＝x(x＋2)－mln x(x>0)，

∴f′(x)＝2x－＋2(x>0)，

∴f′＝3－2m，

∵函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，

∴切线的斜率k＝f′＝3－2m＝2，

解得m＝.

3．(2022·无锡质检)已知函数f(x)＝在定义域上单调递增，且关于x的方程f(x)＝x＋2恰有一个实数根，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D．(0,1)

答案　C

解析　f(x)在定义域上单调递增，

∴

∴≤a<1，

∵y＝ex＋4a在x＝0处的切线为y－(4a＋1)＝x，即y＝x＋4a＋1，

又4a＋1≥2，故y＝x＋2与y＝ex＋4a(x>0)没有公共点，

∴y＝x＋2与y＝2－loga(x＋1)有且仅有一个公共点且为(0,2)，

∴y＝2－loga(x＋1)在x＝0处的切线的斜率必须大于等于1，

y′＝－，k＝－≥1，

∴ln a≥－1，

∴a≥，

综上所述，≤a<1.

4．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋x＋f′(x)＋1>2e－x，f(0)＝5，则不等式f(x)>(2x＋5)e－x－x的解集为(　　)

A．(－∞，0)∪(0，＋∞)

B．(－∞，0)∪(5，＋∞)

C．(0，＋∞)

D．(5，＋∞)

答案　C

解析　令g(x)＝ex[f(x)＋x]－2x，

则g′(x)＝ex[f(x)＋x]＋ex[f′(x)＋1]－2

＝ex[f(x)＋x＋f′(x)＋1]－2>ex·2e－x－2＝0，所以g(x)在R上单调递增，

又因为g(0)＝e0[f(0)＋0]－2×0＝5，由f(x)>(2x＋5)e－x－x，得f(x)＋x>(2x＋5)e－x，两边同时乘以ex，得ex[f(x)＋x]>2x＋5，得ex[f(x)＋x]－2x>5，即g(x)>g(0)，解得x>0，即不等式的解集是(0，＋∞)．

二、多选题

5．已知函数f(x)＝x3＋，则(　　)

A．f(x)在上是减函数

B．f(x)在，上是减函数

C．f(x)的单调递增区间为和

D．f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数

答案　BCD

解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

f′(x)＝′＝16x2－＝

＝

＝ ，

令f′(x)>0，得x<－或x>，

所以f(x)的单调递增区间为和，

f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，

令f′(x)<0，得－<x<0或0<x<，

所以f(x)在和上是减函数．

6．已知函数f(x)＝xln x－a有两个零点x1，x2(x1<x2)，若其导函数为f′(x)，则下列结论中正确的有(　　)

A．－<a<0   B．x1x2<

C．x2>1   D．f′>0

答案　ABD

解析　令g(x)＝xln x(x>0)，

则g′(x)＝1＋ln x，

当0<x<时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x>时，g′(x)>0，g(x)单调递增．

又x→0＋时，g(x)→0；x→＋∞时，g(x)→＋∞，

且g(1)＝0，g＝－，

作出函数g(x)的大致图象如图．

函数f(x)＝xln x－a有两个零点x1，x2(0<x1<x2)，

则y＝g(x)的图象与直线y＝a有两个交点，

∴－<a<0，A正确．

由图知0<x1<<x2<1，C错误．

构造函数H(x)＝g(x)－g

＝xln x－ln ，x∈，

则H′(x)＝(ln x＋1)>0，

∴H(x)在上单调递增．

∵H＝0，

∴H(x)<0，∴g(x)<g，

即g(x1)<g，

而g(x1)＝g(x2)，

则g(x2)<g.

∵∈，x2∈，g(x)在上单调递增，

∴x2<，即x1x2<，B正确．

由图可知g(x)＝xln x在上单调递减的快，在上单调递增的慢，

∴>，

而－＝>0，

∴>>.

又∵f′(x)＝1＋ln x单调递增，

∴f′>f′＝0，∴D正确．

三、填空题

7．(2022·株洲质检)已知函数f(x)＝(x－1)ex，则f(x)在点(1,0)处的切线方程为______________．

答案　ex－y－e＝0

解析　因为f′(x)＝xex，所以f′(1)＝e，所以f(x)在点(1,0)处的切线方程为y－0＝e(x－1)，即ex－y－e＝0.

8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝__________________.

①f ＝f ；

②f 为偶函数；

③当x∈时，导函数f′(x)<0.

答案　－sin 2x(答案不唯一)

解析　对于①，由f ＝f ，可知f(x＋π)＝f(x)，故π为f(x)的一个周期；

对于②，由f 为偶函数，易知f(x)的图象关于直线x＝对称；

对于③，由当x∈时，导函数f′(x)<0，可知f(x)在上单调递减，

综上所述，f(x)＝－sin 2x满足题意．

四、解答题

9．已知函数f(x)＝aln x－，a∈R.

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

解　(1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，

f′(x)＝＋.

曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，

所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.

(2)由于f′(x)＝.

当a≥0时，对于x∈(0，＋∞)，有f′(x)>0在定义域上恒成立，

即f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

当a<0时，由f′(x)＝0，

得x＝－∈(0，＋∞)．

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

综上所述，当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

10．已知函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．

解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，求导得f′(x)＝(－x2＋2)ex＝－(x＋)(x－)ex，

令f′(x)<0，得x<－或x>，令f′(x)>0，得－<x<，

所以函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－)和(，＋∞)，单调递增区间是(－，)．

(2)依题意，f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，

因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则∀x∈(－1,1)，f′(x)≥0⇔－x2＋(a－2)x＋a≥0⇔a≥，

令t＝x＋1∈(0,2)，＝＝t－，显然y＝t－在(0,2)上单调递增，于是当t＝2时，max＝，则a≥，

所以a的取值范围是a≥.