【2023届必备】2023版高考一轮复习训练17　平面向量线性运算、平面向量基本定理

训练17　平面向量线性运算、平面向量基本定理

一、单选题

1．(2022·咸阳模拟)已知向量m＝(x，2)，n＝(x＋1,3)，m∥n，则x的值为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

答案　C

解析　向量m＝(x，2)，n＝(x＋1,3)，且m∥n，

所以3x－2(x＋1)＝0，

解得x＝2.

2．下列说法正确的是(　　)

A．向量a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D．有相同起点的两个非零向量不平行

答案　C

解析　对于A，b 可能是零向量，故选项A错误；

对于B，两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；

对于C，因为0与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；

对于D，平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．

3. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则等于(　　)

A．－＋   B．－＋

C．－＋   D．－＋

答案　B

解析　＝＋ ＝＋＝(－)＋

＝－－－

＝－＋.

4. (2022·芜湖模拟)如图，不共线的三个向量a，b，c以圆心O为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角相等，若c＝xa＋yb，则x＋y等于(　　)

A．－2  B．－  C．－  D．－1

答案　A

解析　因为不共线的三个向量a，b，c以圆心O为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角相等，

所以三个向量的终点A，B，C组成一个等边三角形，

即O是这个等边三角形的中心也就是重心，故a＋b＋c＝0⇒a＋b＋xa＋yb＝0⇒x＝－1，y＝－1⇒x＋y＝－2.

二、多选题

5．下列命题中是假命题的为(　　)

A．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底

B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb

C．已知是空间的一个基底，若m＝a＋c，则也是空间的一个基底

D．若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y

答案　BD

解析　A项，构成空间基底的向量不共线，故A为真命题；

B项，需满足a，b不共线，故B为假命题；

C项，由a，b，m不共面，所以也是空间的一个基底，故C为真命题；

D项，需满足M，A，B三点不共线，故D为假命题．

6. 如图，在△ABC中，＝λ，其中λ∈[0,1]，B＝，AB＝4，BC＝5，则(　　)

A．当λ＝时，＝＋

B．当·＝－2时，λ＝

C．当λ＝1时，△ABD的面积最大

D．当λ＝时，AD⊥BC

答案　ABC

解析　对于A，∵＝λ，

∴－＝λ－λ，

即＝(1－λ)＋λ，

∴当λ＝时，＝＋，故A正确；

对于B，由·＝·(λ)＝4×5λ×cos＝－2可得λ＝，故B正确；

对于C，当λ＝1时，＝，D与C重合，△ABD的面积最大，故C正确；

对于D，当λ＝时，＝＋＝＋，

∴·＝·

＝·＋·

＝4×5×＋×52＝15－10≠0，故D错误．

三、填空题

7．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)

答案　－e1＋e2

解析　如图所示，

＝－

＝＋2

＝＋

＝－e2＋(e2－e1)

＝－e1＋e2.

8．在△ABC中，AB＝5，AC＝2，BC上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC的垂心且＝x＋y(x，y∈R)，则＝________.

答案　

解析　由题意，因为AD⊥BC，AB＝5，AC＝2，BC上的高AD＝4，

所以BD＝3，CD＝2，

所以＝，

即－＝－，

即＝＋，

因为H为△ABC的垂心，所以A，H，D三点共线，

因此存在实数λ，使得＝λ，

所以＝λ＋λ，

又＝x＋y，

所以＝.

四、解答题

9．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

(1)求证：A，B，D三点共线；

(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

(1)证明　由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，

∵＝2e1－8e2，

∴＝2.

又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．

(2)解　由(1)可知＝e1－4e2，

∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，

∴＝λ(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

即解得k＝12.

10. 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.

(1)用a，b表示向量，，，，；

(2)求证：B，E，F三点共线．

(1)解　延长AD到G，使＝，连接BG，CG，

得到▱ABGC，

所以＝a＋b，

＝＝(a＋b)．

＝＝(a＋b)．

＝＝b.

＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．

＝－＝b－a＝(b－2a)．

(2)证明　由(1)可知＝，

因为与有公共点B，

所以B，E，F三点共线．