【2023届必备】2023版高考一轮复习训练19　复　数

训练19　复　数

一、单选题

1．(2022·扬州模拟)复数的共轭复数是(　　)

A．i＋2   B．i－2

C．－2－i   D．2－i

答案　B

解析　因为＝＝－2－i，

所以复数的共轭复数是－2＋i.

2．已知复数z满足z(2＋i)＝＋i，则复数z对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　A

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，

所以(a＋bi)(2＋i)＝a－bi＋i，即2a－b＋(a＋2b)i＝a＋(1－b)i，

所以可得a＝b＝，

所以z＝＋i，

所以复数z对应的点位于第一象限．

3．(2022·铜仁模拟)已知复数1＋i是关于x的方程x2＋px＋2＝0(p∈R)的根，则p等于(　　)

A．2  B．－2  C．1  D．－1

答案　B

解析　复数1＋i是关于x的方程x2＋px＋2＝0(p∈R)的根，

则(1＋i)2＋p(1＋i)＋2＝0，即2＋p＋(2＋p)i＝0，

则2＋p＝0，所以p＝－2.

4．(2022·南通模拟)设z是复数，则下列命题中正确的是(　　)

A．若z是纯虚数，则z2≥0

B．若z的实部为0，则z为纯虚数

C．若z－＝0，则z是实数

D．若z＋＝0，则z是纯虚数

答案　C

解析　对于A选项，若z为纯虚数，可设z＝bi(b∈R，b≠0)，则z2＝－b2<0，A选项错误；

对于B选项，取z＝0，则z为实数，B选项错误；

对于C选项，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝2bi＝0，则b＝0，∴z＝a∈R，C选项正确；

对于D选项，取z＝0，则z＋＝0，但z＝0∈R，D选项错误．

二、多选题

5．(2022·青岛模拟)已知复数z＝＋i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，若复数z0＝，则下列结论正确的是(　　)

A．z0在复平面内对应的点位于第四象限

B．|z0|＝1

C．z0的实部为

D．z0的虚部为

答案　ABC

解析　由题意得z0＝＝＝＝－i，

z0在复平面内对应点的坐标为，在第四象限，A正确；|z0|＝＝1，B正确；

z0的实部为，C正确；虚部是－，D错误．

6．(2022·临沂模拟)1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式eiθ＝cos θ＋isin θ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，则(　　)

A．＝i   B．||＝1

C.3＝1   D．cos ＝

答案　ABD

解析　因为eiθ＝cos θ＋isin θ，

所以＝cos ＋isin ＝i，故A正确；

＝cos ＋isin ＝＋i，

||＝＝1，故B正确；

3＝2×＝×＝－1，故C错误；

＝

＝cos ，故D正确．

三、填空题

7．(2022·柳州模拟)若复数z＝2＋(z＋1)i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．

答案　

解析　因为z＝2＋(z＋1)i，所以z(1－i)＝2＋i，

所以z＝＝＝，

故|z|＝＝.

8．(2022·武汉模拟)设复数z1＝＋i，若＝i，则|z1＋z2|＝________.

答案　2

解析　z1＝＋i，z2＝z1·i＝(＋i)i＝－1＋i，

z1＋z2＝－1＋＋(＋1)i，

所以|z1＋z2|＝|－1＋＋(＋1)i|＝＝2.

四、解答题

9．已知复数z＝(m2＋2m)＋(m2－2m－3)i，m∈R，其中i为虚数单位．

(1)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；

(2)若z满足z·－4iz＝9－12i，求m的值．

解　(1)∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，∴解得－2<m<－1，

∴m的取值范围是－2<m<－1.

(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，

∵z·－4iz＝9－12i，

∴x2＋y2－4i(x＋yi)＝9－12i，

即(x2＋y2＋4y)－4xi＝9－12i，

∴∴或

∴z＝3或z＝3－4i，

∵z＝(m2＋2m)＋(m2－2m－3)i，

∴当z＝3时，无解；

当z＝3－4i时，解得m＝1，

综上可知，m＝1.

10．已知z是虚数， z＋是实数．

(1)求z为何值时， |z＋2－i|有最小值，并求出|z＋2－i|的最小值；

(2)设u＝，求证： u为纯虚数．

(1)解　设z＝a＋bi(b≠0)，则

z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋

＝＋i，

所以b－＝0，又b≠0，可得a2＋b2＝1，

|z＋2－i|＝|(a＋2)＋(b－1)i|＝表示点P(a，b)到点A(－2,1)的距离，P在圆x2＋y2＝1上运动，O为圆心，

所以|z＋2－i|的最小值为AO－1＝－1，

解方程组并结合图形得

z＝－＋i.

(2)证明　由(1)得，a2＋b2＝1，

u＝＝＝

＝，又b≠0，所以u为纯虚数．