【2023届必备】2023版高考一轮复习训练20　数列的概念与简单表示法

训练20　数列的概念与简单表示法

一、单选题

1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于(　　)

A.   B．cos

C.π   D．cos π

答案　D

解析　令n＝1,2,3,4，…，逐一验证四个选项，易得D正确．

2．(2022·太原模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)．若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{bn}，则{bn}的前2 023项和为(　　)

A．2 014   B．2 022

C．2 265   D．2 277

答案　D

解析　∵数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，

被3除后的余数构成一个新数列{bn}，

∴数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，

观察可得数列{bn}是以8为周期的周期数列，

∵2 023＝252×8＋7，且b1＋b2＋…＋b8＝9，

则{bn}的前2 023项和为252×9＋1＋1＋2＋0＋2＋2＋1＝2 277.

3．设数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝2(n∈N*)

B．an＝2(n∈N*)

C．an＝1－(n∈N*)

D．an＝2－(n∈N*)

答案　B

解析　∵an＋1－an＝，

∴当n≥2时，an－an－1＝，

an－1－an－2＝，…，a2－a1＝，

将上式累加得an－a1＝＋＋…＋，

an－1＝＝1－n－1，

即an＝2－n－1(n≥2)，

又n＝1时，a1＝1也适合，

∴an＝2－＝2.

4．(2022·许昌模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2an，a1＝1，则Sn等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　当n≥2时，Sn＝n2an，①

则Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，②

且S2＝22a2，即1＋a2＝4a2，所以a2＝.

②－①得Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，

即an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，即(n＋2)an＋1＝nan，

所以＝，即＝(n≥2)．

则an＝···…··a2＝···…··a2＝＝2.

所以Sn＝2

＝2＝.

二、多选题

5．已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是(　　)

A．x2 023＝1

B．x2 025＝b－a

C．x8＝x2 024

D．x1＋x2＋…＋x2 024＝a＋b

答案　BCD

解析　x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，

x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，

∴{xn}是周期数列，周期为6，且x1＋x2＋…＋x6＝0，

∴x2 023＝x1＝a，A不正确；

x2 025＝x3＝b－a，B正确；

x2 024＝x2＝x8，C正确；

x1＋x2＋…＋x2 024＝x1＋x2＝a＋b，D正确．

6．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(＋1)2－2，则关于数列{an}的说法正确的是(　　)

A．a2＝5

B．数列{an}为递增数列

C．an＝n2＋2n－1

D．数列{an}为周期数列

答案　BC

解析　由an＋1＝(＋1)2－2，

得an＋1＋2＝(＋1)2，即＝＋1，又a1＝2，

所以{}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，

即an＝n2＋2n－1，

所以a2＝7，故A错误，C正确；

an＝(n＋1)2－2，所以{an}为递增数列，故B正确；

数列{an}不具有周期性，故D错误．

三、填空题

7．(2022·株洲模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a10＝________.

答案　19

解析　因为Sn＝n2，所以a10＝S10－S9＝100－81＝19.

8．(2022·郑州模拟)设正数数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项之积为Tn，且Sn＋2Tn＝1，则数列{an}的通项公式是__________________．

答案　an＝

解析　当n＝1时，S1＋2T1＝1，即S1＋2S1＝1，则S1＝，

当n≥2时，∵Sn＋2Tn＝1，∴Sn－1＋2Tn－1＝1，

则Sn＝＝＝，整理可得Sn＝(n≥2)，

可得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，

则猜想Sn＝，代入Sn＝检验得

Sn＝＝＝，满足猜想，

∴Sn＝(n≥1)，

∴a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，

∴an＝

四、解答题

9．(1)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式；

(2)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有2Sn＝an＋a，求数列{an}的通项公式．

解　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，

当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，

∴数列{an}的通项公式为an＝

(2)∵2Sn＝an＋a，

当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a.

又a1>0，∴a1＝1.

当n≥2时，

2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，

∴(a－a)－(an＋an－1)＝0，

∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，

∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，

∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，

∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，

∴an＝n(n∈N*)．

10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)若{an}为递增数列，求实数k的取值范围．

解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.

∵n∈N*，

∴n＝2,3.

∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.

∵an＝n2－5n＋4＝2－，

由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

(2)方法一　∵通项公式an＝n2＋kn＋4，

可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，

∴－<，即得k>－3.

方法二　∵{an}是递增数列，则an＋1>an，

∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，

∴k>－2n－1，n∈N*恒成立，

∴k>(－2n－1)max＝－3，

∴k的取值范围为(－3，＋∞)．