【2023届必备】2023版高考一轮复习训练25　空间向量及其应用

训练25　空间向量及其应用

一、单选题

1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵线面角的范围是.

〈a，n〉＝，

∴l与α所成的角为.

2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，N，M，

∴＝，＝，

∴cos〈，〉＝

＝＝

＝，

∴AN与BM所成角的余弦值为.

3．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，点P(1,2，－2)在α外，则点P到平面α的距离为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由题意知，点A(－1,2,1)在α内，点P(1,2，－2)在α外，

所以＝(2,0，－3)，

又向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，

所以点P到平面α的距离为

d＝＝＝.

4．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E满足＝2，点F在平面BC1D内，则A1F＋EF的最小值为(　　)

A.  B．6  C.  D．7

答案　B

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(3,0,3)，E(3,2,3)，C(0,3,0)，

因为BD⊥AC，BD⊥A1A，且AC∩A1A＝A，则BD⊥平面A1AC，

所以BD⊥A1C，同理得BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥A1C，

而BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面BC1D，

记A1C与平面BC1D交于点H，连接A1C1，C1O，AC，且AC∩BD＝O，

则＝＝，易得A1H＝2HC，H(1,2,1)，

从而得点A1(3,0,3)关于平面BC1D对称的点为G(－1,4，－1)，

所以A1F＋EF的最小值为

EG＝＝6.

二、多选题

5．下列命题中正确的是(　　)

A．已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量

B．一个平面的法向量有无数个，任意两个都是共线向量

C．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行

D．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直

答案　BCD

解析　选项A中，当a＝0时，也满足向量a与l平行，但a不是平面α的法向量，故A错误；

设向量n是平面α的一个法向量，则n是一个非零向量，向量n与平面α垂直．平面α的法向量有无数个，它们都与向量n平行，方向相同或相反，知选项B正确；C，D显然正确．

6．(2022·日照模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为平面ABCD上一动点，则下列命题正确的是(　　)

A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆

B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π

C．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线

答案　ACD

解析　如图，

对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，

所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；

对于B，在Rt△MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确；

对于C，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；

对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，设N(x，y，0)，

则＝(0,4,0)，＝(x，y，－4)，

因为D1N与AB所成的角为，

所以|cos〈，〉|＝cos ，

所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．

三、填空题

7．若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为－，则实数x的值为________．

答案　－3

解析　根据题意得cos〈a，b〉＝＝＝－，

即＝－，且x<2，解得x＝11(舍去)或x＝－3.

8. 在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，平面ABEF为矩形，且BE＝3AB＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当·取最小值时，的值为________．

答案　

解析　因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BC⊂平面ABCD，

于是得BC⊥平面ABEF，又四边形ABEF为矩形，即BE⊥AB，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,0,1)，E(0,3,0)，F(1,3,0)，

因为点N在BF上，且2FN＝BN，则N，

又M在线段AC上移动，

则有＝t＝(t，0，－t)，t∈[0,1]，

于是得点M(t，0,1－t)，

＝(－t，3，t－1)，＝.

·＝t＋6＋(t－1)2＝2t2－t＋7＝22＋，

因此，当t＝时，·取最小值，

此时，＝，

所以＝.

四、解答题

9. 在三棱锥D－ABC中，△ACD为正三角形，平面ACD⊥平面ABC，AD⊥BC，AC＝BC＝2.

(1)求证：BC⊥AC；

(2)若E是CD的中点，求直线CD与平面ABE所成角的正弦值．

(1)证明　设O为AC的中点，连接OD，∵AD＝CD，

∴OD⊥AC，

∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，且OD⊂平面ACD，

∴OD⊥底面ABC，∴OD⊥BC，

又∵AD⊥BC，而OD∩AD＝D，

∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC.

(2)解　设AB的中点为F，连接OF，而O为AC的中点，

∴OF∥BC，

∵BC⊥AC，

∴OF⊥AC，由(1)知OF，OC，OD两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0，－1,0)，D(0,0，)，C(0,1,0)，F(1,0,0)，

∵E是CD的中点，

∴E，

设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，

∵＝，

＝(1,1,0)，

∴

∴

不妨取y＝－1，则n＝(1，－1，)，

∵＝(0，－1，)，

设直线CD与平面ABE所成角为θ，

∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.

故直线CD与平面ABE所成角的正弦值为.

10. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AD，点E是棱PD的中点．

(1)证明：平面ABE⊥平面PCD.

(2)若AB＝AD，求平面ABE与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

(1)证明　因为四边形ABCD是矩形，

所以CD⊥AD，

因为PA⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD，

因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，

因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，

因为PA＝AD，且点E是棱PD的中点，

所以AE⊥PD，

因为PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PCD，

因为AE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面PCD.

(2)解　建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD＝2，则B(2，0,0)，C(2，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

从而＝(2，0，－2)，＝(2，2，－2)，＝(0,2，－2)，

设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，

则

令x＝1，得n＝(1,0，)，

易知平面ABE的一个法向量为＝(0,2，－2)，

所以cos〈n，〉＝＝＝－，

故平面ABE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.